Міністерство освіти України
Коломийське В П У-17
Реферат
На тему:
Формула Ньютона – Лейбніца.
Учня групи № 15
Лінькова А.М.
Коломия 2002р.
|
|
Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y
=
k
x
,
y
=
x
²
Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що
Виберемо довільну точку x є [
a;
b]
і проведемо через
неї пенпендикуляр
хК
до осі
Ох
. Площа фігури
а А К х
змінюється зі змінною
х
. Позначемо цю функцію че-
рез
S
(
x
)
і покажемо, що існує її похідна причина, при-
чому
S΄
(
x
)=ƒ(
x
)
,
де
y
=ƒ(
x
)
– підінтегральна функція,
графік якої обмежує криволінійну трапецію.
Інакше
кажечи, покажемо, що
S
(
x
)
є первісною для
ƒ(
x
)
.
Надамо змінній
x
приросту
Δ
x
, вважаючи ( для спрощення міркування), що
Δ
x
> 0
. Тоді й фенкція
S
(
x
)
набуде приросту
Δ
S
(
x
)
. У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку
[
a
;
b
]
функція
y
=ƒ(
x
)
досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція
y
=ƒ(
x
)
є неперервною на відрізку
[
x
,
x
+
Δ
x
]
, то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,
m
Δ
x
<
Δ
S
(
x
) <
M
Δ
x
Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо
За непервністю функції
y
=ƒ(
x
)
lim m =lim M = ƒ(x)
Δ
x→0
Δ
x→0
функція є однією з первісних функції
y=ƒ(x )
.
Позначимо через
F
(
x
)
будь-яку первісну для функції
y
=ƒ(
x
)
. За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком
C
. Тому
S
(
x
) =
F
(
x
)+
C
.
(1)
При
x
=
a
криволінійна трапеція вироджується у відрізок
a
A
, тому
S
(
x
) = 0
.
Підставивши у рівність (1) замість
х
число
а
, а замість
S
(
x
)
число
0
, одер-жимо
C
= -
F
(
a
)
. Після підстановки замість
C
у рівність (1) його значення маємо
S
(
x
) =
F
(
x
)-
F
(
a
).
(2)
Коли
x
=
b
, то площа криволінійної трапеції дорівнює числу
S
=
S
(
b
)
. Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд
S
(
b
) =
F
(
b
)-
F
(
a
).
Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює
b
значенню ∫ ƒ(x) dx.
Тому можна зробити висновок, що
a
b
∫ ƒ(x) dx =
F
(
b
)-
F
(
a
).
(3)
a
Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку
[
a
;
b
]
дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при
x
=
b
i
x
=
a
.
Різницю
F(b)-F(a)
позначають.
Тому рівність (3) можна записати так:
Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,
(кв. од.);
(кв. од.).
П р и к л а д 3.
Обчислимо за формулою
Ньютона – Лейбніца площу фігури,
обмеженої зверху синусоїдою
y
=
sin
x
,
знизу – віссю
Ох
, а з боків – прямими
.
Розв’
язання:
( кв. од.).
Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:
де
тобто якщо відрізок
[
a
;
b
]
розбито на два
відрізки точкою
с
, то інтеграл на відрізку
[
a
;
b
]
дорівнює сумі інтегралів на від- різках
[
a
;
b
]
i
[
a
;
c
].
де
Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.
Приклад 4. Обчислити
Розв
’
язання:
Приклад 5. Обчислити
Розв
’
язання:
Приклад 6. Обчислити
Розв’яззати: