РефератыИнформатикаЧиЧисленные методы расчетов в Exel

Численные методы расчетов в Exel

Федеральное агентство по образованию


Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования


Северо-Западный государственный заочный


технический университет


Институт управления производственными и


инновационными программами


Кафедра информатики


Контрольная работа по дисциплине


«Математика. Часть 2.»


Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”


Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.


Анализ и прогнозирование в EXCEL.


Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.


Задача 3. Комплексные числа.


Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна


ИУПиИП


Курс: II


Специальность: 80502.65


Шифр: 578030493


Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна


Подпись преподавателя:


Санкт-Петербург


2007


Тема .


Численные методы и расчеты в EXCEL.


Задача 1.


Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.


Анализ и прогнозирование в EXCEL.


I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона

.


II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках


x1
; x2
; x3
; x4
:


1)

при помощи полинома Ньютона

для реализации ее в EXCEL

;


2)

при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений


(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ)

.


Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами

:
































x

0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y

0.860
0.819
0.779
0.741
0.705
0.670
0.638
0.606
0.577
0.549
Значения

x1

= 0.149
x2

= 0.240
x3
= 0.430

x4

= 0.560

Основные понятия.


Цель работы:

научиться пользоваться программой EXCEL

для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL

.


Задача интерполяции
сводится к требованию точного совпадения в узловых


точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов)

.


По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.

Само слово интерполяция

происходит от латинского “interpolation”

, что в переводе значит “изменение, переделка”
.


Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0
, xn
)

. Происходит от “экстра…”

и латинского “polio”

, что значит “приглаживаю, изменяю”

.


Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или


функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными).

Слово происходит от латинского“approximo”

, что значит “приближаюсь”

.


Графически задача интерполяции

заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию

, которая бы проходила через все узлы интерполяции.

Чаще всего в качестве интерполирующей функции

F (x)

используются многочлены

Pn
(x).

Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn
(x),

обеспечивающий требуемую интерполяцию

е

.


Наиболее успешно для интерполяции

используется полином Ньютона

, для записи которого в случае интерполяции

функции с равноотстоящими

узлами

используются конечные разности

.


Термин “полином”

имеет то же значение, что и слово “многочлен”

и происходит от “поли…” —

часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys”

– многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”

, т.е. имя
.


Конечной разностью

первого порядка
называется разность:


Дyi

= yi + 1
- yi

, i
= 0,1, .... , n
1


Аналогично определяются конечные разности

второго
и более высоких
порядков.


Интерполяционный полином Ньютона.


Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

записывается в виде:


Pn
(x) = y0
+ (x-x0
) · Дy0
/1!h + (x-x0
)(x-x1
) · ДІy0
/2!hІ+....+ (

x

-

x

0

)(

x

-

x

1

)…..(

x

-

xn

-1

) ·

Д

n

y

0

/

n

!

hn


Решение.


Выполнение задания I.


Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона

для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные
разности
указаны в “Приложение 2”
.

Из таблицы видно, что значения x

являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h

= 0,05
.
Степень полинома

определяется числом (порядком) конечных
разностей
( в данном случае их девять ).


Pn
(x
) = P9
(x)= y0
+ (x-x0
) Дy0
/ 1!h + (x-x0
) (x-x1
) ДІy0
/2!h2
+..


..+ (x-x0
)
(x-x1
) (x-x2
) (x-x3
) (x-x4
) (x-x5
) (x-x6
) (x-x7
) (x-x8
) (x-x9
)
Д
9
y0
/ 9!
h9
=


0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·
0,05 2
+


(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3
+(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4
+


(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5
+


(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6
+


(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+


(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!
· 0,05 8
+


(
x
- 0,15) (
x
- 0,20) (
x
- 0,25) (
x
- 0,30) (
x
- 0,35) (
x
- 0,40) (
x
- 0,45) (
x
- 0,50) (
x
- 0,55) · (-0,119) / 9!
· 0,05 9
.


Выполнение задания II.


1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.


Шаг первый:


Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL
:


а

)
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).


б

)
Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.


в

)
Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.


Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.


Шаг второй:


Ввод формул:


а

)
Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка
:


а.1)

в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 =
y1
– y0
,
которая примет вид: =C6–C5
;


a.2)

копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6


получаем формулу =C7-C6
(т.е.Дy1
=y2
- y1
= 0,779 – 0,819 = -0,040
),в ячейке D7


получаем формулу =C8-C7
(т.е. Дy2
= y3
– y2
= 0,741 – 0,779= -0,038
) и т.д. до ячейки D13, где


получаем формулу


=C14-C13
(т.е. Дy8
= y9
– y8
= 0,549 – 0,577= -0,028
)


б)

Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка
:


б.1)

в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула


=D6-D5
(т.е. ДІy0
= Дy1
- Дy0
= -0,040 - ( -0,041) = 0,001
). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.


В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1
(т.е. ДІy7
= Дy8
- Дy7
= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001
).


в)

Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого
порядка
:


для вычисления всех конечных разностей
необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все


остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.


Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.


Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”
.


Шаг третий:


Ввод формул:


а)

Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:


а.1)

для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0
/1!h)

в ячейку M5 введем формулу


=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2
. В ячейке N2 находится текущее значение x

. При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции
, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).


а.2)

для вычисления второго промежуточного коэффициента


(x-x0
) (x- x1
)/2!h

І

= (x-x0
)/1·h · (x-x1
)/ 2·h = a · b,


гдеa

коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0
)/1h,


b

коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x1
) / 2h,


вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2
.


а.3)

после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов


копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:


=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 ,
в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2
и


т.д.


Шаг четвертый:


Ввод формул:


а)

Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:


а.1)

для вычисления первого полинома Ньютона
, который равен (x-x0
) · Дy0
/ 1!h = (x-x0
) / 1h ·Дy0
,

содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка
. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5
. Знак $
перед номером строки необходим, т.к. в полиноме
Ньютона
находятся только конечные разности
с индексом ноль, т.е. все конечные
разности
берутся только из строки с номером 5;


а.2)

для ввода остальных членов полинома Ньютона
копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5
, в N7 формулу =M7*F$5
, в N8 формулу =M8*G$5
и т.д. до ячейки N13.


Шаг пятый
:


Ввод формул:


а)

Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:


а.1)

объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий


"Сумма коэффициентов полинома”;


а.2)

в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13)
. Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y0
.

При x

=

0,149
в ячейке N16 получается число 0,001.


Шаг шестой:


Ввод формул:


а)

Ввод формул для вычисления значения полинома:


а.1)

объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома"
;


а.2)

в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5
. В ячейке N18 появится число 0,861
, которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x =

0,149


Шаг седьмой:


Вычисление сумм коэффициентов полинома
и значений полинома


при x =

0,240
; x =

0,430
; x =

0,560.


а)

в ячейку N2 вводим 0,240
. Результат:


в ячейке N16 — (-0,073);
в ячейке N18 — (0.787);


б)

в ячейку N2 вводим 0,430
. Результат:


в ячейке N16 — (-0,209);
в ячейке N18 — (0,651);


в)

в ячейку N2 вводим 0.560
. Результат:


в ячейке N16 — (-0,287);
в ячейке N18 — (0,573).


Шаг восьмой:


Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.


Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”.

Режим значений — “Приложение 2.


2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).


Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой.


Табличный процессор EXCEL
предоставляет возможность аппроксимации

с использованием “функций аппроксимации кривой”


Пусть в узлах x0
, x1
, …, x n

известны значения f(x0
), f(x1
), … ,f(x n
).

Необходимо осуществить экстраполяцию

(прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1
), f(x n+2

), … .


В категории Статистические функции EXCEL

для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ

и ПРЕДСКАЗАНИЕ

, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов


x (x0
, x1
, … , x n
)

и y (y0
,y1
, … , y n
)

методом наименьших квадратов.


Функция ТЕНДЕНЦИЯ

имеет структуру:


ТЕНДЕНЦИЯ (y

массив, x

массив,
x

список)


y

массив , x
массив

— даны из условия.


x

список
-- это те значения x

, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).


Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ

имеет структуру:


ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x
; y
массив; x
массив)


После аппроксимации

эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y

(для одного из заданных значений аргументов.


Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.


Шаг первый:


Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.


Шаг второй:


Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.


Шаг третий:


Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций

.


Шаг четвертый:


а)

В первом окне выберем категорию Статистические
, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,


затем щелкнем по OK.


б)

В окне “Известные значения
y
введем адрес блока ячеек C3:L3.


в)

В окне “Известные значения

x
введем адрес блока ячеек C2:L2.


г)

В окне “Новые значения

x
укажем адрес блока ячеек C5:F5.


Шаг пятый:


Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.


В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)


в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)


в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)


в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)


В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610


в ячейке D6 — 0,7951


в ячейке E6 — 0,6576


в ячейке F6 — 0,5635


Таблицы прилагаются.


Режим формул — “Приложение 3”
.

Режим значений “Приложение 4”.


Работа с функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.


Шаг первый:


Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.


Шаг второй:


Для размещения результата активизируем ячейку С6.


Шаг третий:


а)

При помощи Мастера функций
вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,


категория Статистические.


б)

В окне “x”
укажем адрес ячейки C6.


в)

В окне “Известные значения

y
укажем адрес блока ячеек C3:L3.


г)

В окне “Известные значения

x
укажем адрес блока ячеек C2:L2.


Шаг четвертый:


Для подтверждения этой функции щелкнем по OK
. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.


В результате мы увидим:


В режиме формул:


в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)


в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)


в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)


в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)


В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506


в ячейке D6 — 0,7877


в ячейке E6 — 0,6564


в ячейке F6 — 0,5665


Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 5”.

Режим значений — “Приложение 6”.


Итоговая сравнительная таблица.


Для сравнения значений функции в точках:


x 1

= 0,149;


x 2

= 0,240;


x 3

= 0,430;


x 4

= 0,560;


полученных при помощи трех разных способов:


1

полинома Ньютона,


2

функции ТЕНДЕНЦИЯ,


3

функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;


создадим сравнительную таблицу,






















<
br />


















x

Значение полинома


Ньютона


Прогнозирование значения функции при помощи функций:
ТЕНДЕНЦИЯ
ПРЕДСКАЗАНИЕ
0,149
0,861 0,86
*
0,861 0,86
*
0,8506 0,85
*
0,240
0,787 0,79
*
0,795 0,80
*
0,7877 0,79
*
0,430
0,651 0,65
*
0,658 0,66
*
0,6564 0,66
*
0,560
0,573 0,57
*
0,564 0,56
*
0,5665 0,57
*

*
Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.


Вывод:

значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.


Задача 2.


Решение систем уравнений в EXCEL.


Решить заданную систему уравнений:


1)

методом обратной матрицы;


2)

методом простых итераций.


0,1 x1
+ 4,6 x2
+ 7,8 x3
= 9,8


2,8 x1
+ 6,1 x2
+ 2,8 x3
= 6,7


4,5 x1
+ 5,7 x2
+ 1,2 x3
= 5,8


Цель работы:

научиться решать в EXCEL

системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.


Основные понятия.


Уравнение

это
математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).


Матрица

это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik
(чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.


Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.


Минором некоторого элемента аij
определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.


Алгебраическим дополнением элемента аij
определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.


Итерация

это повторное применение каких-либо математических операций.
Происходит от латинского “iteratio”

,что в переводе значит “повторение”.


Решение.


1).

Математический расчетрешения системы уравнений
методом
обратной матрицы.


Дана система трех линейных уравнений
с тремя неизвестными
.


а).

Рассмотрим матрицы:


— матрица системы
(составлена из коэффициентов при неизвестных
):


0,1 4,6 7,8


А = 2,8 6,1 2,8


4,5 5,7 1,2


— матрица неизвестных:


x1


X =x2


x3


— матрица свободных членов:


9,8


B = 6,7


5,8


б).

Найдем детерминант

(определитель) матрицы
А.


Поопределению: det
A = a11
· A11
+ a12
· A12
+ a13 ·
A13

,


где a11
, a12
, a13


элементы первой строки матрицы
A
,


A11
, A12
, A13

— их алгебраические дополнения
.


- если detA = 0,

то обратной матрицы не существует
;


- если detA ≠ 0,

то обратная матрица существует
.


Для того, чтобы найти детерминант
необходимо сосчитать алгебраические дополнения.


По определению: Aik
= (-1)i+k
· Mik
,


где i

- номер строки матрицы,


k

- номер столбца матрицы,


M

- минор.


- если сумма i+k
четная, то Aik
= 1 · Mik


A11
=

6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64


A12
=

2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24


A13

=
2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49


Теперь мы можем сосчитать детерминант.


detA

= 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982


detA ≠ 0 =>

обратная матрица
существует и можно продолжать вычисления.


в).

Найдем обратную матрицу А-1

.


Поопределению:


A11
A21
A31


A-1
= A12
A22
A32
· 1/ detA ,


A13
A23
A33


где А11
, …, А33

- алгебраические дополнения матрицы А
.


Для нахождения обратной матрицы А-1

, сначала сосчитаем все алгебраические
дополнения матрицы А
:


A21

= 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = +
38,94


5,7 1,2


A22

= 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98


4,5 1,2


A23

= 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13


4,5 5,7


A31

= 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7


6,1 2,8


A32

= 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56


2,8 2,8


A33

= 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24


2,8 6,1


Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1

, подставив в формулу полученные данные:


1/detA

= 1 / - 47,982 = - 0,0208411


- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1

= - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516


- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089


Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу
, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:


A-1
· A = E,

где E

- единичная матрица
, то обратная матрица
найдена верно.


0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8


A-1
· A

= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
2,8 6,1 2,8


0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2


Произведем промежуточные вычисления:


С11

= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1


C12

= 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0


C13

= 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0


C21

= (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0


C22

= (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1


C23

= (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0


C31

= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0


C32

= 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0


С33

= 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1


1
0 0


A-1
· A

= 0 1
0 = E


0 0 1


Обратную матрицу
нашли верно.


г).

Найдем матрицу X
(матрицу неизвестных).


По определению: X = A-1
· B

,


где B — исходная матрица B
(матрица свободных членов).


0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737


X

= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
6,7 = 0,391105


0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069


Матрицу X
нашли, соответственно корни уравнений
:


x1

= 0,521737


x2

= 0,391105


x3

= 1,019069


д).

Проверка. Подставим в исходную
систему уравнений
полученные значения:


0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8


2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7


4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8


Система уравнений
методом обратной матрицы
решена верно.


1.1).

Составление программы для решения системы уравнений
методом обратной матрицы

в EXCEL.


Шаг первый:


Для решения системы уравнений в EXCEL
необходимо подготовить таблицу с исходными
данными:


а).

Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).


Шаг второй:


Необходимо обратить матрицу А
.
Применяемая для обращения матрицы функция
МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.


а).

Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица
.


б).

При помощи Мастера функций
вызовем функцию МОБР, категория Математические.


в).

В окне “Массив”

укажем адрес массива исходной матрицы
A6:C8.


г).

Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.


В ячейках A11:C13 появится:


— в режиме формул — =МОБР(А6:C8)
;


— в режиме значений — массив обратной
матрицы
.


Шаг третий:


Для умножения обратной матрицы
на столбец свободных членов
:


а).

Выделим ячейки E11:E13.


б).

При помощи Мастера функций
выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические
.


в).

В окно “Массив 1”

введем адрес массива обратной матрицы
A11:C13.


г).

В окно “Массив 2”

введем адрес массива матрицы свободных членов
E6:E8.


д).

Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.


В ячейках E11:E13 появится:


— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8)
;


— в режиме значений — компоненты векторов решения x1
, x2
, x3
.


Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”.

Режим значений — “Приложение 8”.


1.2).

Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.


Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

















Математический расчет методом обратной матрицы

Обращение матрицы в EXCEL

x1

0,521737
0,521737318
x2

0,391105
0,391104998
x3

1,019069
1,019069651

1.3).

Вывод.


Сначала предложенную нам систему уравнений
мы решили методом обратной
матрицы
. Затем в EXCEL

составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений
путем обращения матрицы
.


Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.


Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.


Таким образом, мы выявили, что в EXCEL

результаты получаются более точные
.


2)

Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.


Для того, чтобы решить систему
трех линейных уравнений методом простых итераций,
необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы
x1
, x2
, x3

были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса

.


Заданная нам система имеет вид:


0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3

= 9,8


2,8x1
+ 6,1x2

+ 2,8x3
= 6,7


4,5x1

+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8


a)

Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения
. Получится система вида:


4,5x1

+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8


2,8x1
+ 6,1x2

+ 2,8x3
= 6,7


0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3

= 9,8


б)

Для решения системы уравнений методом простых итераций
необходимо представить полученную систему уравнений
в итерационной форме
, записав каждое из трех уравнений
в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.


4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8


x1

= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5


2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7


x2

= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1


0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8


x3

= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7


В итерационной форме
получили систему:


x1
= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5


x2
= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1


x3
= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7


в)

Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.


При использовании итерационного метода
решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости
метода для данной системы. Первое условие
у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1
, x2
, x3

в полученной системе являются максимальными по модулю).


г)

Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).


Теперь необходимо проверить условие “НОРМА”
(обозначается ║C
║), т.е. необходимо оценить сходимость
метода для данной системы
, которая зависит только от матрицы коэффициентов
[ C ].
Процесс сходится
только в том случае,если норма матрицы
[ С ]
меньше единицы
, т.е.


║C║=√Σaaj
2
<1


В итерационной форме
имеем систему:


x1
= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5


x2
= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1


x3
= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 7,8


или


x1
= 0 - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 1,288889


x2
= 2,8x1
/ 7,8 - 0 - 2,8x3
/ 6,1 + 1,0983607


x3
= 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 - 0 + 1,2564103


Проверка выполнения второго условия
“НОРМА”
:


0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5


[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1


- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0


║C║ = √ У aij
2
< 1


║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2
+ (-1,2 / 4,5)2
+ (-2,8 / 6,1 )2
+ (-2,8 / 6,1)2
+ (-0,1 / 7,8)2
+ (-4,6 / 7,8)2


║C║= √ (-1,2666667)2
+(-0,2666667)2
+(-0,4590164)2
+(-0,4590164)2
+(-0,0128205)2
+(-0,5897436)2


║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)


║C║ =√ 2,4449144


║C║ = 1,5636222 > 1


Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.


Вывод:

так каквторое условие сходимости итерационного процесса не
выполнено
, то решение данной системы уравнений не может быть
получено методом простых итераций.


Задача 3.


Комплексные числа.


Даны два комплексных числа
, записанные в показательной форме
.


z1
= 3e -(р/4) i


z2
= е (р/4) i


1). Записать эти числа в тригонометрической форме
;


2). Найти сумму
z1
+ z2

и произведение
z1
· z2

, переведя их в алгебраическую форму
записи;


3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты
.


Основные понятия.


Комплексным числом называется выражение вида


z = x + iy , где


“x” и “y” — действительные числа,


“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2
= -1.


Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.


Решение.


1).

Тригонометрическая форма записи.


Положение точки z

на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x

, y

, но и полярными координатами r

, ц.

Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа


z = r cos
ц
+ i r sin
ц
= r ( cos
ц
+ i sin
ц
),


где cos
ц
+ sin
ц
= ei

ц

=>
ц
=
р
/4


При этом r

называют модулем, а ц

- аргументом комплексного числа.


1.1)

z1
= 3 · (cos
р
/4 ­ i sin
р
/4) = 3√2/2 ­ i 3√2/2


1.2)

z2
= r · ei
ц
= r (cos
р
/4 + i sin
р
/4) = √2/2 + i √2/2


2).

Алгебраическая форма записи:


2.1)

Сумма.


Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то


z1
+ z2
= (x1
+ iy1
) + (x2
+ iy2
) = (x1
+ x2
) + i (y1
+ y2
)


z1
+ z2

= (3√2/2 + √2/2) + i (­3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 ­ i 2√2/2= = 2√2 - i√2


2.2)

Произведение.


Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то


z1
· z2
= (x1
+ iy1
) · (x2
+ iy2
) = (x1
x2
­ y1
y2
) + i (x1
y2
+ x2
y1
)


z1
·z2

=(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=


= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3


3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.


Для упрощения преобразуем значения x

и y

из простых дробей в десятичные.


x1
= 3√2/2 = 2,1 y1
= - 3√2/2 = -2,1


x2
= √2/2 = 0,7 y2
= √2/2 = 0,7


x3
= 2√2 = 2,8 y3
= -√2 = -1,4


x4
= 3 y4
= 0


y


0,7

Z2


0,7

2,1
2,8


0
Z4


3

x


- 1,4

Z3


- 2,1

Z1


Операнды

Z1
иZ2


Результаты

Z1
+Z2
= Z3


Z1

·Z2
= Z4

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Численные методы расчетов в Exel

Слов:5719
Символов:48596
Размер:94.91 Кб.