РефератыИнформатикаРеРешение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА


Содержание


Введение


1. Создание С#


2. Постановка задачи


3. Метод Крамера


4. Программная реализации алгоритма метода Крамера


Заключение


Список использованных источников


Введение


На практике в большинстве случаев найти точной решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.


В настоящей курсовой работе рассмотрена важная, с точки зрения прикладных задач: метод Крамера для решение линейных алгебраических уравнений.


1. СОЗДЕНИЕ С #


Зачастую слишком многого требований от инструментов, с которыми работаем, особенно, когда это касается языков программирования. Хотя таких языков существует великое множество, но только некоторые из них по-настоящему сильны. Эффективность языка заключается в его мощности и одновременно — в гибкости. Синтаксис языка должен быть лаконичным, но ясным. Он должен способствовать созданию корректного кода и предоставлять реальные возможности, а не ультрамодные (и, как правило, тупиковые) решения. Наконец, мощный язык должен иметь одно нематериальное качество: вызывать ощущение гармонии. Как раз таким языком программирования и является С#. Созданный компанией Microsoft для поддержки среды .NET Framework, язык С# опирается на богатое наследие в области программирования. Его главным архитектором был ведущий специалист в этой области — Андерс Хейлсберг (Anders Hejlsberg).


С# -— прямой потомок двух самых успешных в мире компьютерных языков: С и C++. От С он унаследовал синтаксис, ключевые слова и операторы. Он позволяет построить и усовершенствовать объектную модель, определенную в C++. Кроме того, С# близко связан с другим очень успешным языком: Java. Имея общее происхождение, но различаясь во многих важных аспектах, С# и Java — это скорее "двоюродные братья". Например, они оба поддерживают программирование распределенных систем и оба используют промежуточный код для достижения переносимости, но различаются при этом в деталях реализации. Опираясь на мощный фундамент, который составляют унаследованные характеристики, С# содержит ряд важных новшеств, поднимающих искусство программирования на новую ступень. Например, в состав элементов языка С# включены такие понятия, как делегаты (представители), свойства, индексаторы и события. Добавлен также синтаксис, который поддерживает атрибуты; упрощено создание компонентов за счет исключения проблем, связанных с COM (Component Object Model — модель компонентных объектов Microsoft — стандартный механизм, включающий интерфейсы, с помощью которых объекты предоставляют свои службы другим объектам).


И еще. Подобно Java язык С# предлагает средства динамического обнаружения ошибок, обеспечения безопасности и управляемого выполнения программ. Но, в отличие от Java, C# дает программистам доступ к указателям. Таким образом, С# сочетает первозданную мощь C++ с типовой безопасностью Java, которая обеспечивается наличием механизма контроля типов (type checking) и корректным использованием шаблонных классов (template class). Более того, язык С# отличается тем, что компромисс между мощью и надежностью тщательно сбалансирован и практически прозрачен (не заметен для пользователя или программы).


На протяжении всей истории развития вычислительной техники эволюция языков программирования означала изменение вычислительной среды, способа мышления программистов и самого подхода к программированию. Язык С# не является исключением. В непрекращающемся процессе усовершенствования, адаптации и внедрения нововведений С# в настоящее время находится на переднем крае. Это — язык, игнорировать существование которого не может ни один профессиональный программист.


2. Постановка задачи


К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики [1,2].


(1)


Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:



Запишем систему n
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными.


Данная таблица n
2
элементов, состоящая из n
строк и n
столбцов, называется квадратной матрицей порядка n
. Если подобная таблица содержит nm
элементов, расположенных в n
строках и m
столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.


Используя понятие матрицы А
, систему уравнений (3) можно записать в векторно-матричном виде:



,


или, в более компактной записи,



где х
и b
— вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.


3. Метод Крамера


Алгоритм Крамера, согласно [1,2], выражается формулами



где


…,


При этом необходимым и достаточным условием существование единственного решения, является не равенство нулю главного определителя системы


.


Блок-схема алгоритма представлена на рисунке.



4. Программная реализации алгоритма МЕТОДА КРАМЕРА


Основным методом класса Programm, является метод Main. С него начинается выполнение программы. В нашем случае, он содержит простейший пользовательский интерфейс, по средством которого пользователь вводит размерность системы, элементы матрицы системы А
и вектора правых частей b
(1, глава 1), а после необходимых вычислений на экране появляется результат – элементы вектора x
.


В работе, алгоритм Крамера для большей читабельности, разбит на отдельные функции – методы:


staticdoubledet(intn, double [,]B) – метод вычисляющий определитель матрицы. Параметрами этого метода

являются – количество уравнений (n
), а так же матрица, в нашем случае B
. Определитель матрицы вычисляется непосдедственно, т.е. разложением по первой строке [3];


staticvoidequal(intn, double [,]A, double [,]B) – метод присваивающий матрицы (), где n
-размерность матриц;


staticintSLAU_kramer(intn, double[,] A, double[] b, double[] x) – метод реализующий метод Крамера, согласно блок схеме главы 2.


В качестве языка программирования мы использовали объектно – ориентированный язык С#. Наш выбор обусловлен его гибкостью в разработке и создании программых продуктов [4-7].


Текст программы приведет ниже.


usingSystem;


using System.Collections.Generic;


using System.Text;


namespace ConsoleApplication_Kramer


{


class Program


{


static void Main(string[] args)


{


int n; /* количество уравнений */


double [,] A = new double [3,3]; /* матрица системы */


double [] b = new double [3]; /* вектор правых частей */


double [] x = new double [3]; /* вектор решения */


char qq;


Console.Write("Введите количество уравнений(<=3) n -> ");


n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());


if (n > 3 || n <= 1)


{


Console.WriteLine("Ошибка в размерности системы (n=2,3)");


Convert.ToInt32(Console.ReadLine());


return;


}


for(int i=0; i<n; i++)


for(int j=0; j<n; j++)


{


Console.Write("A{0}{1} -> ",i,j);


A[i,j] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());


}


for(int i=0; i<n; i++)


{


Console.Write("b{0} -> ", i);


b[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());


}


if(SLAU_kramer(n,A, b, x)==1)


{


Console.WriteLine("Система не имеет решение");


Convert.ToInt32(Console.ReadLine());


return;


}


else


for(int i=0; i<n; i++)


Console.WriteLine("x"+i+" = "+x[i]);


Console.ReadLine();


}


private


static double det(int n, double [,]B)


{


if (n == 2)


return B[0,0] * B[1,1] - B[0,1] * B[1,0];


return B[0,0] * (B[1,1] * B[2,2] - B[1,2] * B[2,1]) - B[0,1] * (B[1,0] * B[2,2] - B[1,2] * B[2,0])+


B[0,2]*(B[1,0] * B[2,1] - B[1,1] * B[2,0]);


}


static void equal(int n, double [,]A, double [,]B)


{


for(int i=0; i<n; i++)


for(int j=0; j<n; j++)


A[i,j]=B[i,j];


}


static void change(int n, int N, double[,] A, double[] b)


{


for(int i=0; i<n; i++)


A[i,N]=b[i];


}


public


static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x)


{


double [,]An = new double [3,3];


double det1 = det(n, A);


if (det1 == 0) return 1;


for (int i = 0; i < n; i++)


{


equal(n, An, A);


change(n, i, An, b);


x[i] = det(n, An) / det1;


}


return 0;


}


}


}


Программа, реализующая метод Крамера, была протестирована на следующий тестовых примерах.


Решить систему второго порядка



решением систены является вектор


.


Результат выполнения программы представлен на рис. 1.



Рис. 1. Результат выполнения программы для системы второго порядка.


Решить систему третьего порядка



решением систены является вектор


.


Результат выполнения программы представлен на рис. 2.



Рис. 2. Результат выполнения программы для системы третьего порядка.


В ходе тестированя, так же были рассмотрены случаи неправильного ввода размерности, результат выполнения на рис.3 и случай несовместности системы уравнений рис.4.



Рис. 3. Результат выполнения программы в слуае ошибочного ввода размерности системы.



Рис. 4. Результат выполнения программы в случае несовместности системы.


Следует заметить, что в программе не ошуществляется проверка правильность ввода элементов матрицы и вектора правых частей.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


В работе, нами был программно реализован метод Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений. Мы использовали необходимое условие существования решения, т.е. не равенство нулю главного определителя системы.


Отличительная черта этого метода заключается в неоднократном вычислении определителя матрицы. С вычислительной точки зрения это трудоемкая операция с ростом количества элементов. В работе была рассмотрена система 3-го порядка, а определители вычислялись непосредственно.


Однако это не снижает ценность работы, так как переход к решению СЛАУ с неизвестным количеством уравнений осуществляется изменением метода, вычисляющий определитель матрицы.


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ


1. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 304 с.


2. Демидович Б.П.Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон,


Э.З. Шувалова. - М.: Наука, 1967.- 368 с.


3. Высшая математика для экономистов:Уч. Для вузов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман.-М.:Банки и биржи, 1998.-471 с.


4. Мохика Х. Язык С#: разработка Web-приложений на ASP.NET / Х. Мохика; пер. с англ. А.А. Слинкина. – М.: НТ Пресс, 2006. – 464 с. – (QuickStart).


5. Либерти Дж. Программирование на C#: пер. с англ. / Дж. Либерти. – 2-е изд. – СПб.: Символ, 2003. – 688 с.: ил.


6. С#: пер. с англ. / К. Ватсон, М. Беллиназо, О.Корнс и др. – СПб.: Питер, 2006. – 861 с.


7. Галисеев Г.В. Программирование на языке С#: самоучитель / Г.В. Галисеев. – М.: Вильямс, 2006. – 368 с.: ил.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Слов:1477
Символов:12993
Размер:25.38 Кб.