1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm
, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.
Візьмемо систему векторів а1
, а2
..., аn
, що належать Rm
. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
а=Х1
а1
+Х2
а2
+...Хn
an
,Xs
є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm
.
Справді, якщо а= в=, Хs
,Ys
є R
а, в є V, то виконується рівність
La+Bb
=, тобто La+Bb є V.
Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1
, а2
,...,аn
, або підпростором, породженим векторами а1
, а2
,...,аn
.
2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1
, а2
,...аm
називається m-вимірним вектором.
Числа а1
, а2
,...аm
називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.
Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm
.
Векторні простори R1, R2
,R3
можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.
Означення: Вектори а1
, а2
,...,аn
називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1
а1
+Х2
а2
+...Хn
an
= О (1)
виконується лише при Х1
= 0, Х2
= 0,..., Хn
=0.
Якщо рівніст
, Х2
,...Хn
не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1
, а2
,...,аn
.
у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовийвектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.
3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1
, а2
,...,аn
називається її рангом і позначається
r= rank (а1
, а2
,...,аn
).
Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.
Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.
Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.
З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.
1.У заданій системі векторів а1
, а2
,...,аn
відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1
, а2
,...,аn
дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1
.
2.Множимо вектор а1
на Ві
(і=2,...,n) і віднімаємо від вектора аі
(і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.
3.Зі здобутих векторів ві
= аі
– Ві
аі
(і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.
Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.