Решение прикладных задач численными методами

Кафедра №83

информатики и вычислительной математики

Дисциплина: «ИНФОРМАТИКА»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:
«Решение прикладных задач численными методами»

Москва 2009 г.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Получение практических навыков по применению численных методов при решении прикладных задач на ЭВМ общего назначения, с использованием программ сложных циклических алгоритмов, включая редактирование программ в ЭВМ, отладку программ, выполнение расчетов на периферийные устройства.

Время: 12 часов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Работа состоит из 2-х частей.

Цель первой части курсовой работы: получить практические навыки в использовании численных методов решения не линейных уравнений используемых в прикладных задачах.

Для выполнения 1 части работы необходимо:

· Составить программу и рассчитать значения функции в левой части нелинейного уравнения для решения задачи отделения корней;

· Составить логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом, указанным в таблице;

· Ввести программу в компьютер, отладить, решить задачу с точностью ε=0,0001
и вывести результат;

· Предусмотреть в программе вывод на экран дисплея процессора получения корня.

Задание на выполнение первой части курсовой работы:

Вариант №21.

Уравнение: 0,25
x
3

+
x
-1,2502=0:

Отрезок, содержащий корень:
[0;2].

I.
Математическое описание численных методов решения

Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии).

Этот метод позволяет отыскать корень уравнения с любой наперёд заданной точностью εε . искомый корень x
уравнения уже отделен, т.е.указан отрезок [а, в]
непрерывности функции f
(
x
)
такой, что на концах этого отрезка функция f(x) принимает различные значения:

f
(
a
)*
f
(
b
)>0

В начале находится середина отрезка [ a, b ]:

и вычисляется значение функции в точке с,
т.е. находится f
(
c
). Если
f
(
c
)=0,
то мы точно нашли корень уравнения. Если же f
(
c
)≠0
,то знак этой величины сравнивается со знаками функции y
=
f
(
x
)
в концах отрезка [ a, b ]. Из двух отрезков [ a, с], [ с, b ] для дальнейшего рассмотрения оставляется тот, в концах которого функция имеет разные знаки. С оставленным отрезком поступаем аналогичным образом. расчет прекращается, когда оставленный отрезок будет иметь длину меньше 2ε. В этом случае принимаем за приближенное значение корня середину оставленного отрезка и требуемая точность будет достигнута.

II.
График функции.

Для выделения корней рассчитаем значения функции на заданном отрезке [0,2] с шагом 0,0001 и по полученным данным построим график функции.

Как видно из рисунка график пересекает ось Х один раз, следовательно, на данном отрезке [ 0, 2] наше уравнение имеет один корень.

Алгоритмы нахождения корней уравнения

I
.
C
труктурная схема алгоритма: Метод дихотомии

да

Листинг программы имеет вид

#include<stdio.h>

#include<math.h>

double f(double x)

{

return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;

}

int main(void)

{

int n=0;

double x,a=0.,b=2.,eps=0.0001;

while (fabs(a-b)>2*eps)

{

x=(a+b)/2,

n++;

printf("step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lfn",n,x,f(x));

if (f(x)==0)

{

printf("Tothnii koreni x=%lfnkolithestvo iteratsii n=%in",x,n);

return 0;

}

else if (f(a)*f(x)<0) b=x;

else a=x;

}

printf("Reshenie x=%11.8lf pri Eps=%lfnkolithestvo iteratsii n=%in",x,eps,n);

return 0;

}

Метод хорд:

1.
Этот метод заключается в том, что к графику функции проводится хорда. Находим точку пересечения с осью OX и опускаем из этой точки прямую параллельную OY. Из точки пе-ресечения прямой и графика проводим хорду и операция повторяется до тех пор, пока точка пересечения хорды с осью OX не приблизиться к корню функции до заданной погрешности.

Шаг первый:

Нас интересует точка пересечения с осью ОХ.

Сделаем допущение: х=x1

y=0

Введем обозначение

x0

f()=f(x0
)

Подставим в уравнение

Отсюда

x1=x0
-

Шаг второй:

x2=x1-

Для

n

-го шага:

xn
=xn
-1
-

Условием нахождения корня является:

2. Нелинейное уравнение и условие его решения: 0,25
x
3

+