"Длинная" арифметика
Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,
30! = 265252859812191058636308480000000?
В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.
Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной арифметики".
Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.
Существуют и другие представления "длинных" чисел. Рассмотрим одно из них. Представим наше число
30! = 265252859812191058636308480000000
в виде:
30! = 2 * (104)8 + 6525 * (104)7 + 2859 * (104) + 8121 * (104)5 + 9105 * (104)4 + 8636 * (104)3 + 3084 * (104)2 + 8000 * (104)1 + 0000 * (104)0.
Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1.
Таблица 1
| Номер элемента в массиве А |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| Значение |
9 |
0 |
8000 |
3084 |
8636 |
9105 |
8121 |
2859 |
6525 |
2 |
Мы можем считать, что наше "длинное" число представлено в 10000-10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.
Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.
Примечание. Мы работаем с положительными числами!
Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.
Const MaxDig = 1000; {Максимальное количество цифр — четырехзначных!}
Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления,
в элементах массива храним четырехзначные числа}
Type Tlong = Array[0..MaxDig] Of Integer;
{Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе}
Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.
Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2.
Таблица 2
| А[0] |
А[1] |
А[2] |
А[3] |
Ch |
Примечание |
| 3 |
674 |
851 |
23 |
- |
Конечное состояние |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
Начальное состояние |
| 1 |
2 |
0 |
0 |
3 |
1-й шаг |
| 1 |
23 |
0 |
0 |
8 |
2-й шаг |
| 1 |
238 |
0 |
0 |
5 |
3-й шаг |
| 2 |
385 |
2 |
0 |
1 |
4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2] |
| 2 |
851 |
23 |
0 |
6 |
5-й шаг |
| 2 |
516 |
238 |
0 |
7 |
6-й шаг |
| 3 |
167 |
385 |
2 |
4 |
7-й шаг |
| 3 |
674 |
851 |
23 |
Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы).
1. В А[0] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно.
2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i+1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А[1]. В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".
Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:
For i := A[0] DownTo 1 Do
Begin
A[i+l] := A[i+l] + (Longint(A[i]) * 10) Div Osn;
A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn;
End;
Пусть мы вводим число 23851674 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.
| i |
А[1] |
А[2] |
А[3] |
ch |
| 2 |
516 |
238 |
0 |
7 |
| 2 |
516 |
380 |
2 |
|
| 1 |
160 |
385 |
2 |
После этого остается только добавить текущую (считанную в ch) цифру "длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0].
В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:
Procedure ReadLong(Var A : Tlong);
Var ch : char; i : Integer;
Begin
FillChar(A, SizeOf(A), 0) ;
Read(ch);
While Not(ch In ['0'..'9']) Do Read(ch);
{пропуск не цифр во входном файле}
While ch In ['0'..'9'] Do
Begin
For i := A[0] DownTo 1 Do
Begin
{"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i]
в младшую цифру числа из A[i+l]}
A[i+l] := A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn;
A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn
End;
A[1] := A[l] + Ord(ch) - Ord('0');
{добавляем младшую цифру к числу из А[1]}
If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]);
{изменяем длину, число задействованных элементов массива А}
Read(ch)
End
End;
Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.
Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:
| A[0] |
A[1] |
A[2] |
A[3] |
| 3 |
3274 |
58 |
1284 |
При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:
Procedure WriteLong(Const A : Tlong);
Var ls, s : String; i : Integer;
Begin
Str(Osn Div 10, Is);
Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа}
For i := A[0] - l DownTo 1 Do
Begin
Str(A[i], s);
While Length(s) < Length(Is) Do s := '0' + s;
{дополняем незначащими нулями}
Write(s)
End;
WriteLn
End;
Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена.
У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.
Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:
Var A, B, C : Tlong;
Begin
Assign(Input, 'Input.txt'); Reset(Input);
ReadLong(A); ReadLong(B) ;
Close(Input);
SumLongTwo(A, B, C);
Assign(Output, 'Output.txt');
Rewrite(Output);
WriteLong(C);
Close(Output)
End.
Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А=870613029451, В=3475912100517461.
| i |
A[i] |
B[i] |
C[1] |
C[2] |
C[3] |
C[4] |
| 1 |
9451 |
7461 |
6912 |
1 |
0 |
0 |
| 2 |
1302 |
51 |
6912 |
1354 |
0 |
0 |
| 3 |
8706 |
9121 |
6912 |
1354 |
7827 |
1 |
| 4 |
0 |
3475 |
6912 |
1354 |
7827 |
3476 |
Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов. И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными" числами используется машинное представление "задом наперед".
Результат: С = 3476782713546912.
Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.
Procedure SumLongTwo(A, B : Nlong; Var C : Tlong);
Var i, k : Integer;
Begin
FillChar(C, SizeOf (C), 0) ;
If A[0] > B[0] Then k := A[0] Else k : =B[0];
For i := l To k Do
Begin С [i+1] := (C[i] + A[i] + B[i]) Div Osn;
C[i] := (C[i] + A[i] + B[i]) Mod Osn
{Есть ли в этих операторах ошибка?}
End;
If C[k+l] = 0 Then C[0] := k Else C[0] := k + l
End;
Четвертая задача. Реализация операций сравнения для "длинных" чисел (А=В, А<В, А>В, А<=В, А>=В).
Function Eq(A, B : TLong) : Boolean;
Var i : Integer;
Begin
Eq := False;
If A[0] <> B[0] Then Exit
Else Begin
i := l;
While (i <= A[0]) And (A[i] = B[i]) Do Inc(i);
Eq := i = A[0] + l
End
End;
Реализация функции А > В также прозрачна.
Function More(A, B : Tlong) : Boolean;
Var i : Integer;
Begin If A[0] < B[0] Then More := False
Else If A[0] > B[0] Then More := True
Else Begin
i := A[0];
If i = 0 Then More := False
Else If A[i] > B[i] Then More := True
Else More:=False
End
End;
Остальные функции реализуются через функции Eq и More.
Function Less(A, B : Tlong) : Boolean; {A < B}
Begin
Less := Not(More(A, B) Or Eq(A, B))
End;
Function More_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A >= B}
Begin
More_Eq := More(A, B) Or Eq(A, B)
End;
Function Less_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A <= B}
Begin
Less_Eq := Not More(A, B)
End;
Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига. О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать", что числа равны. Решение может иметь следующий вид:
Function More(Const А, В : Tlong; Const sdvig : Integer) : Byte;
Var i : Integer;
Begin
If A[0] > B[0] + sdvig Then More := 0
Else
If A[0] < B[0] + sdvig Then More := l
Else Begin
i := A[0];
While (i > sdvig) And
(A[i] = B[i-sdvig]) Do Dec(i);
If i = sdvig Then Begin
More:=0;
{совпадение чисел с учетом сдвига}
For i := 1 To sdvig Do
If A[i] > 0 Then Exit;
More := 2;
{числа равны, "хвост" числа А равен нулю}
End
Else More := Byte(A[i] < B[i-sdvig])
End
End;
Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt.
Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.
Procedure Mul(Const A : TLong; Const К : Longlnt; Var С : TLong);
Var i : Integer;
{результат - значение переменной С}
Begin
FillChar (С, SizeOf(С), 0);
If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль}
Else Begin
For i:= l To A[0] Do
Begin
C[i+l] := (LongInt(A[i]) * K + C[i]) Div Osn;
C[i] := (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn
End;
If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1
Else C[0]:= A[0]
{определяем длину результата}
End
End;
Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига
Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.
Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.
Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.
Procedure Sub (Var A : TLong; Const B : TLong; Const sp : Integer);
Var i, j : Integer;
{из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А}
Begin
For i := l To B[0] Do
Begin Dec(A[i+sp], B[i]);
j: = i;{*}
{реализация сложного заимствования}
while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do
Begin{*}
Inc(A[j+sp], Osn) ;
Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*}
end; {*}
{Реализация простого заимствования.
Если операторы, отмеченные *, заменить
на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то,
по понятным причинам, логика не будет работать
при всех исходных данных. Можно сознательно сделать
ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}
{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn);
Dec (A[i+sp+l]);End;}
End;
i := A[0];
While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i);
A[0] := i
{корректировка длины результата операции}
End;
Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В — 2000073859998.
Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка.
Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:
Procedure Long_Div_Long(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Begin
FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0] := 1;
FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0] := 1;
Case More(A, B, 0) Of
0: MakeDel(A, B, Res, Ost);
{А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру}
1: Ost:=A; {А меньше В}
2: Res[l] := l; {А равно В}
End;
End;
А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например,
1000143123567 |73859998
- 73859998 |----------
--------- |13541 (Целая часть частного)
261543143
- 221579994
----------
399631495
- 369299990
---------
303315056
- 295439992
----------
78750647
- 73859998
--------
4890649 (Остаток)
Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу... Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В*10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.
| Down |
Up |
С = В * ( (Down + Up) Div 2) |
Ost = 564 |
| 0 |
10 |
315 = 63 * ( (0 + 10) Div 2) |
C < Ost |
| 5 |
10 |
441 = 63 * ( (5 + 10) Div 2) |
C < Ost |
| 7 |
10 |
504 = 63 * ( (7 + 10) Div 2) |
C < Ost |
| 8 |
10 |
567 = 63 * ( (8 + 10) Div 2) |
C > Ost |
| 8 |
9 |
504 = 63 * ( (8 + 9) Div 2) |
C < Ost |
Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше.
Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.
| Down |
Up |
С |
Ost = 27856 |
| 0 |
10000 |
1770000 |
C > Ost |
| 0 |
5000 |
885000 |
C > Ost |
| 0 |
2500 |
442500 |
C > Ost |
| 0 |
1250 |
221250 |
C > Ost |
| 0 |
625 |
110448 |
C > Ost |
| 0 |
312 |
55224 |
C > Ost |
| 0 |
156 |
27612 |
C < Ost |
| 78 |
156 |
41418 |
C > Ost |
| 78 |
117 |
34338 |
C > Ost |
| 78 |
97 |
30798 |
C > Ost |
| 78 |
87 |
29028 |
C > Ost |
| 78 |
82 |
28320 |
C > Ost |
| 78 |
80 |
27966 |
C > Ost |
| 78 |
79 |
27612 |
C < Ost |
Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244.
Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.
Function FindBin(Var Ost : Tlong; Const В : TLong; Const sp : Integer) : Longint;
Var Down, Up : Word; C : TLong;
Begin
Down := 0;Up := 0sn;
{основание системы счисления}
While Up - l > Down Do
Begin
{Есть возможность преподавателю сделать
сознательную ошибку. Изменить условие
цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.}
Mul(В, (Up + Down) Div 2, С);
Case More(Ost, C, sp) Of
0: Down := (Down + Up) Div 2;
1: Up := (Up + Down) Div 2;
2: Begin Up := (Up + Down) Div 2; Down := Up End;
End;
End;
Mul(B, (Up + Down) Div 2, C);
If More (Ost, C, 0) = 0 Then Sub(Ost, C, sp)
{находим остаток от деления}
Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost := C end;
FindBin := (Up + Down) Div 2;
{целая часть частного}
End;
Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.
Procedure MakeDel(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Var sp : Integer;
Begin
Ost := A; {первоначальное значение остатка}
sp := А[0] - В[0];
If More(А, В, sp) = l Then Dec(sp);
{B * Osn > A, в результате одна цифра}
Res[0] := sp + l;
While sp >= 0 Do
Begin
{находим очередную цифру результата}
Res[sp + 1] := FindBin(Ost, B, sp);
Dec(sp)
End
End;
Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя.
1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).
2-е занятие. Функции сравнения (задача 4).
3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6).
4-е занятие. Деление длинных чисел (задача 7). Безусловно, эта схема не догма. В зависимости от уровня подготовки учащихся на самостоятельное выполнение может быть вынесена значительная часть материала. Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами.
Темы для исследований
1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т.д.
2. "Длинные" числа могут быть отрицательными. Как изменятся описанные выше операции для этого случая?
3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами.
Список литературы
С.М. Окулов/ "Длинная" арифметика/