Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения

Содержание

Введение

1 Постановка задачи

2 Математические и алгоритмические основы решения задачи

3 Программная реализация решения задачи

4 Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

Введение

В те далекие времена,
когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные
величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а
также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ,
вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с
двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во
II тысячелетии до новой эры египетский
писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции
неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде,
совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке
счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись
с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние
ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными
величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано
описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки
скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!",
"Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является
"Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление
уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством
по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого
IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми.
Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб
аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и
противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем
слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной
точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые
действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой  уравнение сводится к квадратному
уравнению  с последующим решением двух
двучленных уравнений  и  ( и  - корни соответствующего
квадратного уравнения).

Если
 и , то биквадратное уравнение имеет
четыре действительных корня:

,

.

Если
,  то биквадратное уравнение имеет
два действительных корня  и
мнимых сопряженных корня:

.

Если
 и , то биквадратное уравнение имеет
четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Случай ,  аналогичен разобранному.

,

Целью данной курсовой
работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней
биквадратного уравнения.

1.
Постановка задачи

Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0,
где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой
переменной: положив x2 = y, придем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.

Требуется разработать
программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

x4+4x2-21=0.

Решение:

Положив x2 = y,
получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1=
-7, y2=3.

Теперь задача сводится к
решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет
действительных корней, из второго находим

,

которые являются корнями
заданного биквадратного уравнения..

Ответ: .

Пример
2.

Решить
биквадратное уравнение.

2х4
– 5х2+2=0

Решение:

Обозначим
х2=t. Тогда х4=(х2)2=t2
и уравнение примет вид:

2t2–5t+2=0

D=(–5)2
– 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,

t1=(5+3)
/ 4=2 и t2=(5 – 3) / 4=1 / 2.

Так
как t=x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения
уравнений

х1=2
и х2=1/2.

Имеем

Ответ:

2.
Математические и алгоритмические основы решения задачи

Рассмотрим биквадратное
уравнение

ax4 + bx2
+ c = 0.

Введем подстановку

y = x2.

Получим квадратное
уравнение общего вида

ay2 + by + c =
0.

Таким образом, для
решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе
двух уравнений второй степени:

y = x2

ay2 + by + c =
0.

Решим квадратное
уравнение относительно переменной "y". Получим три возможных варианта
решений:

дискриминант отрицателен:
уравнение не имеет действительных решений;

дискриминант не
отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;

дискриминант не
отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.

В первом случае, когда
дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так
как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay2
+ by + c = 0, не имеет решения.

Последние два случая
соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное
уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт,
что первое уравнение системы ax2 = y имеет смысл только при
значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay2
+by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того,
если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay2 +by +c = 0
отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения.

И только в том случае,
когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет
четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.

Словесное описание
алгоритма решения задачи:

Ввести a, b, c.

Присвоить d = b2
- 4ac

Если d<0 перейти к 15

Присвоить y1 = (-b - SQRT(d)) /
(2*a)

Присвоить y2 = (-b + SQRT(d)) /
(2*a)

Если y1<0 и y2< 0
перейти к 15

Если y1<0 и y2>=0
перейти к 9

Если y1>=0 и y2<0
перейти к 13

Присвоить x1 = SQRT(y2)

Присвоить x2 = -x1

Выдать
"x1=";x1, "x2=";x2

Перейти к 16

Присвоить y2 = y1

Перейти к 9

Выдать
"Действительных решений нет"

Закончить

3. Программная
реализация решения задачи

Файл UBikvur.h

//---------------------------------------------------------------------------

#ifndef
UBikvurH

#define
UBikvurH

//---------------------------------------------------------------------------

#include
<Classes.hpp>

#include
<Controls.hpp>

#include
<StdCtrls.hpp>

#include
<Forms.hpp>

#include
"HandTuning.h"

#include
<ExtCtrls.hpp>