РефератыИнформатика, программированиеЭВЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

Министерство Топлива и Энергетики Украины


СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ


Практическое занятие №3


по дисциплине


«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»


Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.


Вариант №8


Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В


Левицкий П.В.


Проверил:_______________________


Севастополь 2008


ПЛАН


1. Данные варианта задания.


2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка


2.1. Решение дифференциальных уравнений N-гопорядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения:


· при y(t) = 0 и заданных начальных условиях ;


· при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;


· при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;


· при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;


2.2. Решение дифференциальных уравнений N-гопорядка операторным методом:


· при y(t) = 0 и заданных начальных условиях;


· при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;


· при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;


· при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;


1. Данные варианта задания


ПРИЛОЖЕНИЕ №1


( к практическому занятию №3)


Дифференциальное уравнения 4-го порядка



Т а б л и ц а № 1

























вар


Коэффициенты дифференциального
уравнения 4–го порядка
Правая часть уравнения и начальные условия
а0
а1
а2
а3
а4
b0

y(t) = 1(t)


x0(0) = 1


x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0


y(t) = cos(aּπּt)


x0(0) = -1


x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0


8 10 20 1.7 0.16 0.08 10 a = 0.35

2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка


2.1 Решение дифференциальных уравнений N-гопорядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения


2.1.1 При
y
(
t
) = 0 и заданных начальных условиях


Дифференциальное уравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехнической системы имеет вид:


Водим уравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.



При заданных по условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:





















Данное линейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем


в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:













Зададим вектор начальных значений:



СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.


· rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,


· Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;


· Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;


o у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;


o t0 — начальная точка расчета,


o t1 — конечная точка расчета,


o M — число шагов, на которых численный метод находит решение;


o D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.


Таким образом, воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядит так:


Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий ic и правую часть дифференциального уравнения y(t):













Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.



Применим функцию:








-Интервал времени.





-Значение искомой координаты.



Рисунок1. Матрица решений системы уравнений.


По этой таблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.


Результаты численного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы с прокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному М получили 1500 строк.




Рисунок2. Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные в виде таблицы.


Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. График изображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150, Х=4,563*10^130



Рисунок 3. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.


2.1.2 При
y
(
t
) = 1(
t
) и нулевых начальных условиях


В этом случае необходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциального уравнения.


>
























Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.


2.1.3 При
y
(
t
) = 1(
t
) и заданных начальных условиях


Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х0
(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.



Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х0
(0) = 1


Зададим начальные условия для искомой переменной х0
(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).




Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х0
(0) =- 1.


2.1.4 При
y
(
t
) =
cos
(
a
ּ
π
ּ
t
) и нулевых начальных условиях.


a = 0.35















Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.


При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._


При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.


a = 0.35



Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).


2.2. Решение дифференциальных уравнений N-гопорядка операторным методом.


2.2.1 При
y
(
t
) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )


К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:


К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.







Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:




На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).



Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.


2.2.2 При
y
(
t
) = 1(
t
) и нулевых начальных условиях


-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)







Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.


2.2.3 При
y
(
t
) = 1(
t
) и заданных начальных условиях







Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.


2.2.4 При
y
(
t
) =
cos
(
a
ּ
π
ּ
t
) и нулевых начальных условиях






Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;


3. Выводы по работе №3


В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.


Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на sв квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.


Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

Слов:1514
Символов:15183
Размер:29.65 Кб.