Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".
Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.
Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.
Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.
Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.
Завдання
Завдання 1.
Задана система трьох лінійних рівнянь.
Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.
Розв’язання:
Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою
X=A-1
×B,
деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,
А-1
- обернена матриця до матриці А,
B - вектор вільних членів,
X - вектор розв'язків системи.
Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика
(Math):
яка визивається командою View
®
Toolbars
®
Math
:
mathcad інженерний розрахунок рівняння
Кнопками панелі Математика
необхідно визвати панелі:
Калькулятор
(кнопкою ):
Матриця (
кнопкою ):
А потім виконати наступні дії: 1. Створимо матрицю А: |
Пояснення до виконуваних дій: Використавши кнопку панелі Matrix: Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи: |
2. Створюємо вектор В: |
Задаємо 4 рядки 1 стовпець: Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи: |
3. Обраховуємо вектор Х: |
Знак присвоєння: =
|
4. Виводимо результат розрахунків: |
Результати рішення системи: x = 0.091 y = - 0.243 z = - 0,601 t = 0.210 |
5. Робимо перевірку: |
Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В. |
Завдання 2
Знайти корінь нелінійного рівняння x3
+ sin (x - 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001
Розв’язання:
Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x)
= 0.
Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:
1 етап
- відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x),
на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f
(x
). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x)
з віссю ОХ
і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.
2 етап
- уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e.
1 етап.
Графічне відділення коренів рівняння.
Побудуємо графік функції f (x) = x3
+ sin (x - 3) +1.
Опишемо функцію в видіфункції користувача
:
Вставимо в документ графічну область командою Insert
®
Graph
®
XY-
Plot
:
Маркери (-) отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х
і іменем функції f (x):
Відформатуємо графік командою F
ormat
®
Graph
®
XY-Plot
:
Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):
Як видно із графіка функція f (x)
перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1
2 етап
- уточнення кореня до точністі e =0.0001.
Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root
(
f (
x),
x
).
Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:
точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;
початкове значення змінної х
(будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).
Порядок дій: TOL: =0.0001 |
Пояснення: TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. |
| x: = - 1 | Початкова умова, знайдена із графіка. |
x: = root (f (x), x) x= - 1.2361 |
Застосування функції root
Вивід значенння уточненого кореня х
В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність e
Отже корінь рівняння х
|
Завдання 3
Розв’язати систему нелінійних рівнянь:
sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0
y2
- x2
+x = 0
с точністю e=0.00001.
Розв’язання:
Відомо, що розв’язком системи є такі значення х
і у
, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.
Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х
і у
.
Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.
Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:
y=
f1 (
x)
y=
f2 (
x),
тобто в нашому випадку:
.
Після цього побудувати графіки функцій:
.
| Порядок дій: | Пояснення: |
Описуємо дві функції користувача |
Функції asin
, sin і Öвибрати з панелі Calculator. |
| Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x) | |
Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х
Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а
|
|
Із графіка приблизно знайти значення: х
координати точки перетинання графіків |
|
Задаємо початкові значення розвязку: x: =1.2 y: = 0.4 |
Задаємо початкові значення для х
і у . |
| Задаємо точність обчислень | |
Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності. |
Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою G
. Вектору R
Отже х
|
Проводимо перевірку розв’язку: |
Перевірка розв’язку: Замість х
Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння. |
Література
1. Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.
2. Дьяконов В. MATHCAD8/2000: специальный справочник - СПБ: Питер, 2001. - 592 с.