БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»
МИНСК, 2008
1.
Параметры кодов
Определение 1.
Код – это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:
1
Основание кода – число элементов множества , выбранное для построения кода. Например, если:
а)
, то для троичного кода;
б)
для двоичного кода.
Практически .
Замечание – Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.
2
Длина кода (значность) – число символов кодового слова.
Определение 2.
Последовательности элементов (символов) длиной называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово
имеет длину ; ,
Параметр определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:
а)
равномерные (блоковые), ;
б)
неравномерные, ;
в)
бесконечные, . К бесконечным относят коды:
1) свёрточные;
2) цепные;
3) непрерывные.
У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется на блоки по информационных символов, и далее они кодируются – символьными кодовыми словами.
Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины , которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих кадров информационных символов.
На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.
k-битовый n-битовый n-битовый k-битовый
блок блок блок блок
Блоковый код
k0
битов/кадр n0
битов/кадр n0
битов/кадр k0
битов/кадр
Непрерывный код
Рисунок 1.1
3
Размерность кода – число информационных позиций кодового слова.
4
Мощность кода – число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.
– максимальное число кодовых комбинаций при заданных и . Например, ; ; .
Определение 3.
Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).
Определение 4.
Если число кодовых слов кода
, то код называется избыточным.
Пример
– Пусть , , .
Код – избыточный; .
5
Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова .
Пусть , , . Тогда на длине слова из семи символов – три избыточных.
6
Скорость передачи кода . Для приведенного примера .
7
Кратность ошибки . Параметр указывает, что все конфигурации из
или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.
8
Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга) .
Определение 5.
Если и кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как – . Например, ;.
Замечание – С позиции теории кодирования показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.
9
Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода) .
Определение 6.
Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием. , где ; ; .
Определение 7.
Код значности , размерности и расстояния называется - кодом.
Пример
– Можно построить следующий код:
; ; ; .
Данный код можно использовать для кодирования 2–битовых двоичных чисел,
используя следующее (произвольное) соответствие:
Найдем кодовое расстояние этого кода:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, для этого кода .
Замечание – характеризует корректирующую способность кода .
10
Вес Хэмминга вектора равен числу ненулевых позиций , обозначается . Например, .
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение (1.1)
Пример
– ;
|
.
Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно , где ; ; .
Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если и принадлежат линейному коду , то – также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, с
Теорема 1.
Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.
Т.к. , то возникает вопрос о величине , такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.
2 Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в – мерном векторном пространстве. Например, для вектор находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора и .
X0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X1
0 0 1 0 1 1
X2
Рисунок 1.2
Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а)
кодовые слова полного кода определяют – мерное пространство, состоящее из последовательностей (– трехмерное пространство, состоящее при из 8 последовательностей полного кода);
б)
кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество) – мерного пространства, состоящее из последовательностей.
Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор: . В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.
Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод: для
того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в – мерном пространстве
как можно дальше друг от друга. Из этой же – мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга: – это число рёбер, которые нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.
2.1 Обнаружение и исправление ошибок
Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.
Пример
1
. Пусть ; . Разрешенным для передачи является множество кодовых слов:
.
Очевидно, что код имеет . Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.
Пример
2.
Пусть теперь подмножество разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц.
.
Заданный код имеет . Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества :
.
Если , то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода ) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код обнаруживает:
– одиночные ошибки;
– ошибки нечетной кратности (для - тройные).
Например, тройная ошибка кодового слова ; , переводит его в запрещенный вектор .
Вывод – В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности кодовое расстояние кода должно быть
.
Пример
3
. Пусть ; ; код задан векторами и .
При возникновении одиночных ошибок или множества векторов
кодовому слову соответствует следующее запрещенное подмножество
|
.
|
Кодовому слову соответствует запрещенное подмножество
==
Таким образом, коду – разрешенному для передачи подмножеств векторов соответствует два запрещенных подмножества векторов и :
=
= .
=
Стратегия исправления ошибок заключается в следующем:
– каждая из одиночных ошибок приводит к запрещенному кодовому слову того или иного запрещенного подмножества ( и );
– структура кодового запрещенного подмножества, относящаяся к соответствующему исходному разрешенному подмножеству, позволяет определить местоположение ошибки, т.е. исправить ошибку.
Для исправления ошибок кратности кодовое расстояние должно удовлетворять соотношению . (1.2)
Используя эту формулу, можно записать
,
где обозначает целую часть числа .
Замечание – Существуют модели каналов (например, канал с дефектами), в которых величина может быть больше, чем в выражении (1.2).
ЛИТЕРАТУРА
· Митюхин А.И., Игнатович В.Г. Линейные групповые коды: Учеб. пособие. – Мн. :БГУИР, 2002.
· Митюхин А.И. Элементы абстрактной алгебры: Учеб.пособие. – Мн.: БГУИР, 2000.
· Лосев В.В. Помехоустойчивое кодирование в радиотехнических системах передачи информации: Метод. Пособие Ч.1. Линейные коды. – Мн.: ВШ, 2004.