Задача №1. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис, заданы сопротивления всех резисторов и падение напряжения на одном из них. Найти токи в каждом резисторе и мощность, потребляемую всей цепью, если U= 360 В.
Решение: Начертим эквивалентную схему. Обозначим узлы цепи буквами А, В, С, D, E, F. Покажем направление токов во всех участках цепи. Индексы токов и напряжений для каждого сопротивления должны быть такими, как индекс сопротивления.
Схема имеет смешанное соединение. Определим общее сопротивление цепи.
Начнем с участка CD: R6
и R7
соединены параллельно, тогда
Ом;
На участке DE R10
и R9
также соединены параллельно, тогда
Ом;
На участке CF соединены последовательно R6,7
R10,9
R8
, тогда
R6,7,10,9,8
= R6,7
+R10,9
+R8
;
R6,7,10,9,8
= 6 + 4,77 + 4 = 14,77 Ом;
На участке CF соединены параллельно сопротивления R6,7,10,9,8
и R5
, тогда общее сопротивление участка CF:
Ом;
На участке АС R2
и R3
также соединены параллельно, тогда
Ом;
На участке АВ соединены последовательно R2,3
R6,7,10,9,8,5
R4
, тогда
R2,3,6,7,10,9,8,5,4
= R2,3
+R6,7,10,9,8,5
+R4
; R2,3,6,7,10,9,8,5,4
= 1,5+ 8,5 + 8 = 18 Ом;
На участке АВ соединены параллельно сопротивления R2,3,6,7,10,9,8,5,4
и R1
, тогда общее сопротивление участка АВ
Ом;
По закону Ома для участка цепи определим ток I:
; А;
По формуле определим мощность, потребляемую цепью:
Р = 360 32 = 11520 Вт;
Определим токи в каждом сопротивлении.
По закону Ома для участка цепи;
I1
= U/R1
, I1
= 360/30 = 12 А;
Определим напряжение UAF
: по 2 закону Кирхгофа
UAF
= UA
В
- UF
В
;
По закону Ома для участка цепи
UF
В
= I4
· R4
; UF
В
= 20 · 8 = 160 В;
UAF
= 360 – 160 = 200 В;
Определим ток I2.3
: так как сопротивления R2.3
и R6.7.10.9.8.5
и R4
соединены последовательно, то,
I2.3
= I6.7.10.9.8.5
= I4
= 20 A;
Напряжение
UA
С
= I2.3
· R2.3
= 20 · 1,5 = 30 В;
По 2 закону Кирхгофа
UCF
= UA
F
- UA
С
; UCF
= 200 – 30 = 170 В;
Зная напряжение UA
С
определим токи на сопротивлениях R2
и R3
(сопротивления соединены параллельно):
I2
= UA
С
/ R2
= 30/3=10 А; I3
= UA
С
/ R3
= 30/3=10 А;
Зная напряжение UС
F
определим токи на сопротивлениях R5
и R6.7.10.9.8
:
I5
= UС
F
/ R5
= 170/20 = 8,5 А; I6,7,10,9,8
= UС
F
/ R6.7.10.9.8
= 170/14,77 = 11,5
Так как сопротивления R6,7
и R10.9
и R8
соединены последовательно, то
I6,7,10,9,8
= I6.7
= I10,9
= I8
= 11,5 А;
По закону Ома для участка цепи
UС
D
= I6.7
· R6.7
= 11,5·6 = 69 В;
Зная напряжение UС
D
определим токи на сопротивлениях R6
и R6
(сопротивления соединены параллельно):
I6
= UС
D
/ R6
= 69/15=4,6 А; I7
= UС
D
/ R7
= 69/10=6,9 А;
По закону Ома для участка цепи
UD
Е
= I10,9
· R10,9
= 11,5·4,77 = 55 В;
Зная напряжение UD
Е
определим токи на сопротивлениях R10
и R9
(сопротивления соединены параллельно):
I10
= UD
Е
/ R10
= 55/7=7,85 А; I9
= UD
Е
/ R9
= 55/15 = 3,65 А;
Ответ: Р = 11520 Вт; I = 32 А; I1
= 12 А; I2
= 10 А; I3
= 10 А; I4
= 20 А; I5
= 8,5 А; I6
= 4,6 А; I7
= 6,9 А; I8
= 11,5 А; I9
= 3,65 А; I10
= 7,85 А;
Задача №2. Для неразветвленной цепи переменного тока с активными, индуктивными и емкостными сопротивлениями определить следующие величины:
Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи и пояснить ее построение, если: R1
= 4 Ом, R2
= 8 Ом; XL
1
= 10 Ом; XL
2
= 6 Ом;
Решение:
Определим полное сопротивление цепи по формуле:
; R = R1
+ R2
= 4 + 8 = 12 Ом
арифметическая сумма всех активных сопротивлений;
XL
= XL
1
+ XL
2
= 10 + 6 = 16 Ом
арифметическая сумма однотипных индуктивного и емкостного сопротивлений;
Ом;
Из треугольника сопротивлений определим угол φ:
;
По таблицам тригонометрических величин найдем значение угла сдвига фаз: φ = 53,1°;
Из формулы
Q = S Sinφ
определим полную мощность цепи S:
; Sin 53,13º = 0,8; ВА;
По формуле P = S · Cos φ определим активную мощность цепи:
Р = 80 · 0,6 = 48 Вт;
Из формулы Р = I2
· R определим ток цепи I;
А;
По закону Ома для цепи переменного тока определим напряжение U:
U = I · Z = 2 · 20 = 40 В;
Построение векторной диаграммы:
При построении векторной диаграммы исходим из следующих условий:
Ток одинаков для любого участка цепи, так как разветлений нет;
На каждом сопротивлении при прохождении тока создается падение напряжения, значение которого определяем по закону Ома для участка цепи;
Задаемся масштабом: mu
= 2 в/см; mI
= 0,5 А/см;
Для построения векторов напряжений определим напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях:
UR1
= I ·R1
= 2 · 4 = 8 В;
UR2
= I ·R2
= 2 · 8 = 16 В;
UX1
= I ·XL1
= 2 ·10 = 20 В;
UX2
= I ·XL2
= 2 ·6 = 12 В;
Определим длины векторов:
LUR
1
= UR
1
/mu
= 8/2 = 4 см;
LUR2
= UR2
/mu
= 16/2 = 8 см;
LUL1
= UX1
/mu
= 20/2 = 10 см;
LUL2
= UX2
/mu
= 12/2 = 6 см;
LI
= I/mI
= 2/0,5 = 4 см;
По горизонтали откладываем вектор тока Ī, вдоль вектора тока Ī откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении ŪR
1
(при активном сопротивлении ток совподает с напряжением). От конца вектора ŪR
1
откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении ŪR
2
(при активном сопротивлении ток совподает с напряжением). От конца вектора ŪR
2
откладываем вектор напряжения ŪL
1
на индуктивном сопротивлении в сторону опережения от вектора тока Ī на 90º (при индуктивном сопротивлении направление тока опережает от направления напряжения на 90º). От конца вектора ŪL
1
откладываем вектор ŪL
2
. Геометрическая сумма векторов ŪR
1
, ŪR
2
, ŪL
1
, и ŪL
2
равна напряжению Ū, приложенному к цепи. Косинус угла φ между вектором Ū и Ī является коэфф
Задача № 3. Цепь переменного тока, схема которой приведена на рис., содержит различные элементы сопротивлений, образующие две параллельные ветви. Определить токи в ветвях; ток в неразветвленной части цепи I; активную мощность Р, реактивную Q и полную мощность цепи S; коэффициент мощности Cos φ, напряжение цепи U, если задано: R1
= 4 Ом; R2
= 6 Ом; XL2
=8 Ом; XC1
=3 Ом; P1
= 256 Вт;
Построить в масштабе векторную диаграмму напряжения и токов и объяснить ее построение. Какой элемент надо дополнительно включить в цепь и какой величины, чтобы получить резонанс токов? Начертить схему такой цепи.
Дано: R1
= 4 Ом; R2
= 6 Ом; XL2
=8 Ом; XC1
=3 Ом; P1
= 256 Вт;
Определить: I - ?; I1
- ?; I2
- ?; P - ?; Q - ?; S - ?; Cos φ - ?; U - ?;
Решение:
1. Полное сопротивление первой ветви:
; Ом;
2. Полное сопротивление второй ветви:
; Ом;
3. Ток в первой ветви определим по формуле: Р=I2
· R; ;
А;
4. Коэффициент мощности первой ветви:
;
;
5. Активная и реактивная составляющие первой ветви:
А;
А;
6. Так, как имеется две параллельные ветви, то напряжение, приложенное к первой ветви U1
равно напряжению, приложенное ко второй ветви U2
.
U1
= U2
= U;
Из формулы Р=U∙I∙Cos φ1
определим напряжение, приложенное к цепи U:
; В;
7. Ток во второй ветви I2
:
; А;
8. Коэффициент мощности второй ветви:
;
;
9. Активная и реактивная составляющие второй ветви:
А;
А;
; А;
Коэффициент мощности цепи:
; ;
; ;
P = U∙I∙Cosφ; Р = 40∙8,94∙0,984 = 351,88 Вт; Реактивная мощность цепи:
Q = U∙I∙Sinφ = 40∙8,94∙0,179 = -64,01 Вар;
10. Полная мощность цепи:
S = U∙I = 40∙8,94 = 357,6 ВА;
11. Построение векторной диаграммы (рис.5):
Векторную диаграмму токов строим в масштабе mI
=1 А/см; mu
= 5 В/см. Длины векторов:
LI
А1
= IA
1
/mA
= 6,4/1 = 6,4 см;
LI
А2
= IA
2
/mA
= 2,4/1 = 2,4 см;
LI
С1
= IС1
/mA
= 4,8/1 = 4,8 см;
LIL
2
= IL
2
/mA
= 3,2/1 = 3,2 см;
LU
= UR1
/mu
= 40/5 = 8 см;
От точки О горизонтально вправо проводим вектор напряжения , общий для всех ветвей.
11.1. От точки О горизонтально вправо проводим вектор активного тока : на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.
11.2. От конца вектора откладываем вертикально вверх вектор емкостного тока : на емкости ток опережает напряжение на угол 90º.
11.3. Ток равен геометрической сумме векторов токов и .
11.4. От точки О горизонтально вправо проводим вектор активного тока : на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.
11.5. От конца вектора откладываем вертикально вниз вектор индуктивного тока : на индуктивности напряжение опережает ток на угол 90º.
11.6. Ток равен геометрической сумме векторов токов и .
11.7. Ток неразветвленной части цепи равен геометрической сумме векторов токов и .
12. Условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость.
Для получения явления резонанса токов в данной схеме, нужно включить во вторую ветвь индуктивное сопротивление XL
2
= 3 Ом (такое же по величине, как и емкостное). В этом случае направление тока совпадет с направлением напряжения.
Ответ: I = 8,94 А; I1
=8А; I2
= 4А; P =351,88 Вт; Q = -64,01 Вар; S =357,6 ВА; Cos φ = 0,984; U =40 В;
Задача №4.
В четырехпроводную сеть трехфазного тока включены по схеме «звезда», три группы сопротивлений. Характер сопротивлений указан на рис.
Определить RB
, RC
, XB
, IA
, IB
, PC
, QA
, QC
, если известно: XА
= 4 Ом, С
= 3 Ом, IC
= 76 A, PB
= 8670 Bт, QB
= 11550 Вар. Номинальное напряжение U = 660В. Начертить векторную диаграмму цепи и определить ток в нулевом проводе. Построение диаграммы пояснить.
Решение:
1. Определим фазное напряжение из формулы
:
В; UФ
= UС
= UВ
= UА
;
2. По закону Ома для цепи переменного тока определим полное сопротивление ZС
:
Ом;
Из формулы
определим активное сопротивление RC
:
Ом;
3. Из формулы
определим реактивную мощность QС
:
; ; ;
Вар;
4. Из формулы
определим активную мощность РС
:
; ; ;
Вт;
Из формулы
определим полное сопротивление ZA
:
Ом;
5. По закону Ома для цепи переменного тока определим ток IA
:
А;
6. Из формулы
определим реактивную мощность QА
:
; ; ;
Вар;
7. Из формулы
определим полную мощность SВ
:
ВА;
8. Из формулы
определим SinφB
:
;
9. Из формулы
определим ток IВ
:
А;
10. Из формулы
определим сопротивление RВ
:
Ом;
Из формулы
определим сопротивление XВ
:
Ом;
11. Построение диаграммы.
11.1. Выбираем масштаб для напряжений: mU
= 100 в/см; для токов: mI
= 10 А/см;
11.2. Построение диаграммы начинаем с векторов фазных напряжений UA
, UB
, UC
, располагая их под углом 120° друг относительно друга.
Длины векторов Ū:
LUA
= LUB
= LUC
= U/ mU
= 380/100 = 3,8 см;
11.3. Соединив концы фазных напряжений получим треугольник линейных напряжений ŪAB
, ŪB
С
, ŪСА
.
11.4. Ток IА
опережает напряжение UА
на угол 90°;
Длина вектора
LIA
= IA
/mI
= 95/10 = 9,5 см;
11.5. Ток IВ
отстает напряжение UВ
на угол φВ
;
Cos φВ
= 0,6; φВ
= 53,1°;
Длина вектора
LI
В
= IВ
/mI
= 38/10 = 3,8 см;
11.6. Ток IС
отстает напряжение UС
на угол φС
;
Cos φВ
= 0,8; φВ
= 36,8°;
Длина вектора
LI
С
= IС
/mI
= 76/10 = 7,8 см;
11.7. Ток в нулевом проводе равен геометрической сумме трех фазных токов. Измеряя длину вектора тока Ī0
, которая оказалась равной 16,8 см, находим ток
I0
= LIo
mI
= 16,8 · 10 = 168 А.
Ответ: RC
= 4 Ом; XB
= 8 Ом; IA
= 95 А; IB
= 38 А; PC
= 23104 Вт; QA
= 36100 Вар; QC
= 17328 Вар; I0
= 168 А;