Дана структурная схема:
Где:
W1
= 10;
W5
= K(1+10p)
W6
=10 / (1+2*10*0.2*p+102
p2
)
1. Получить передаточную функцию разомкнутой системы W(p)
Вывод передаточной функции производится вручную любым из методов алгебраических и структурных преобразований блок - схемы.
Перенесём средний сумматор против хода сигнала, преобразуем при этом схема станет:
Заменим звено с единичной ООС на эквивалентное:
Перенесём правый сумматор против хода сигнала, переставим местами сумматоры и получим звено суммы и звено с отрицательной обратной связью их эквивалентная передаточная функция:
2. Исследовать устойчивость разомкнутой системы от буквенного параметра методами Гурвица и Михайлова
Метод Михайлова:
Запишем характеристический полином системы:
D(p)=11000kp3
+ (100+1540k)p2
+ p(4+154k)+11k+1
D(p)=-11000jw3
- (100+1540k)w2
+ jw(4+154k)+11k+1
U(w)=-(100+1540)w2
+11k+1
V(w)= -11000jw3
+ jw(4+154k)
Для того, чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо чтобы:
Корень второго уравнения w=0 отбрасываем, т.к. для нахождения системы на границе устойчивости годограф Михайлова должен пройти через начало координат при w= 0.
Тогда из второго уравнения определяем
Подставим в первое и получим
1452k2
+ 132k+5>0
тогда:
Метод Гурвица:
Запишем характеристический полином системы:
D(p)=11000kp3
+ (100+1540k)p2
+ p(4+154k)+11k+1
В общем виде
D(p) =a3
p3
+a2
p2
+a1
p+a0
Так как система имеет третий порядок, то она будет находиться на границе устойчивости при равенстве нулю выражения:
a1
a2
-a0
a3
= (4+154k)*(100+1540k) –11000k*(11k+1)=0
или1452k2
+ 132k+5>0
что одинаково с выше полученным уравнением,
3. Получить передаточную функцию W(p) системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью
4. Исследовать устойчивость замкнутой системы от буквенного параметра методам Гурвица. Получить области устойчивых и неустойчивых значений параметра в классе вещественных чисел
Метод Михайлова:
Запишем характеристический полином системы:
Для того, чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо чтобы:
w2
=
512k2
+ 1137k+5>0
Метод Гурвица:
Запишем характеристический полином системы:
Вобщемвиде
D(p) =a3
p3
+a2
p2
+a1
p+a0
Так как система имеет третий порядок, то она будет находиться на границе устойчивости при равенстве нулю выражения:
a1
a2
-a0
a3
= (4+1014k)*(100+140k) –1000k*(101k+11)=0
512k2
+ 1137k+5>0
5. Сформировать набор значений параметра, включающий все граничные и по одному из каждого интервала устойчивости и неустойчивости замкнутой системы
k1
= -2.2163, k2
= - 0,0044, k3=1, k4
= -10 k5
= -1
6. Для каждого значения параметра из набора построить частотные характеристики, необходимые для исследования зависимости устойчивости замкнутой системы от параметра по критериям Найквиста и Михайлова
Вобщемвиде
D(p) =a3
p3
+a2
p2
+a1
p+a0
Годограф Михайлова построим по формулам c помощью пакета MAPLE:
Из графика видно, что гадограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, проходя через ноль, следовательно замкнутая система находится на границе устойчивости
Проведем анализ при k2
= -0,0044 по критерию Найквиста с помощью пакета MatLab:
k1=tf([44 6,16 –3,784 9,604],[-48,4 93,224 3,3224 0,9516])
subplot(121)
nyquist(k1,'b')
Из рисунка видно, что АФХ системы проходит через точку (-1;j0) , следовательно, замкнутая система на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим точку
Метод Михайлова:
Из графика видно, что годограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, следовательно, замкнутая система устойчива.
Проведем анализ k4
= -10 по критерию Найквиста с помощью пакета MatLab:
i1=tf([100000 14000 -8600 -890],[-110000 –15300 –1536 -109])
subplot(211)
pzmap(i1,'b')
subplot(212)
nyquist(i1,'b')
Из расположения корней на комплексной плоскости видно, что система не имеет корней с положительной вещественной частью, а АФХ системы не охватывает точку (-1;j0) , следовательно, замкнутая система устойчива.
Исследуем точку
Метод Михайлова:
Из графика видно, что годограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси не обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, следовательно, замкнутая система неустойчива.
7. Получить оценки качества временных характеристик разомкнутой системы
i1=tf([-22163 –3102,82 1906,018 189,467],[24379,3 3313,102 337,3102 23,3793])
subplot(211)
step(i1,'b')
subplot(212)
pzmap(i1,'b')
i1=tf([99.89 9.989 99.89 20],[99.89 11.989 100.9 2])
subplot(211)
step(i1,'b')
subplot(212)
pzmap(i1,'b')
Как видно, процесс имеет экспоненциальный характер.
i1=tf([0.005 0.0005 0.005 20],[0.005 2.0005 0.205 2])
subplot(211)
step(i1,'b')
subplot(212)
pzmap(i1,'b')
i1=tf([50 5 50 20],[50 7 50.2 2])
subplot(211)
step(i1,'b')
subplot(212)
pzmap(i1,'b')
Как видно, процесс имеет экспоненциальный характер.
i1=tf([50 5 50 20],[150 17 150.2 2])
subplot(211)
step(i1,'b')
subplot(212)
pzmap(i1,'b')
i2=impulse(i1)
Как видно, процесс имеет экспоненциальный характер.