Формули Рiвносильнiсть формул Тотожно iстиннi формули

Реферат на тему:

Формули. Рiвносильнiсть формул. Тотожно iстиннi формули

Наведемо iндуктивне означення поняття формули

логiки предикатiв (предикатної формули
абопросто формули
) на предметнiй областi M
.

1. Усi предикати P
(x
1
,x
2
,...,xn
) на множинi M
є формулами. Такi формули називають елементарними

, або атомарними

.

2. Якщо A
i B
- формули, то (ØA
), (ØB
), (A
ÙB
), (A
ÚB
), (A
®B
), (A
~B
) теж є формулами.

3. Якщо A
- формула, а x
- вiльна змiнна в A
, то ("x
(A
)) i ($x
(A
)) теж формули.

4. Iнших формул, крiм утворених за правилами 1-3, немає.

Це означення дозволяє твердити, що усi формули алгебри висловлень є формулами логiки предикатiв, оскiльки висловлення - це нульмiснi предикати.

За допомогою наведеного означення неважко також переконатись, що вирази ("x
($y
(A
(x
,y
))®(B
(x
)Ú($z
(C
(x
,z
))))) i ("x
("y
(A
(x
,y
)ÙB
(x
))®($y
(C
(x
,y
)))) є формулами логiки предикатiв, а вираз ("x
(A
(y
)®($x
(B
(x
))))) не є формулою, оскiльки у виразi (A
(y
)®($x
(B
(x
)))), який є правильною формулою, змiнна x
є зв'язаною, тобто не є вiльною змiнною i квантор "x
до неї застосувати не можна.

Для зручностi можна запровадити такi умови скорочення кiлькостi дужок у формулах. По-перше, залишимо всi умови скорочення числа дужок, якi було прийнято в алгебрi висловлень, виходячи з прiоритету логiчних операцiй. По-друге, опускатимемо всi зовнiшнi дужки. Вважатимемо, що квантори мають бiльший прiоритет, нiж логiчнi операцiї. Опускатимемо також дужки, що позначають область дiї квантора, якщо остання є елементарною формулою. Нарештi, не писатимемо дужки мiж кванторами, що слiдують один за одним. При цьому виконання таких кванторних операцiй вiдбувається в порядку, зворотньому до їх написання (справа налiво).

Нехай F
(x
1
,x
2
,...,xn
) - деяка формула логiки предикатiв на множинi M
. При логiчнiй (iстинностнiй) iнтерпретацiї формули F
можливi такi три основнi ситуації.

1. Iснує набiр значень змiнних, для якого формула F
перетворюється на iстинне висловлення. У цьому разi формула F
називається виконуваною в областi

M
.

Якщо для F
iснує область M
, в якiй F
є виконуваною, то формула F
називається просто виконуваною

.

2. Якщо формула F
приймає значення 1 (тобто є виконуваною) для всiх наборiв значень з M
, то вона називається тотожно iстинною в

M
. Формула, тотожно iстинна у будь-яких M
, називається тотожно iстинною

або логiчно загальнозначущою

(скорочено - лзз

).

3. Якщо формула F
є невиконуваною в M
, то вона називається тотожно хибною в

M
. Формула, невиконувана в усiх M
, називається тотожно хибною

, або суперечнiстю

.

Приклад 5
.7. Формула $xA
(x
,y
)®"xA
(x
,y
) є виконуваною i вона ж є тотожно iстинною в усiх одноелементних областях M
. Формула F
(x
1
,x
2
,...,xn
)ÚØF
(x
1
,x
2
,...,xn
) тотожно iстинна, а формула F
(x
1
,x
2
,...,xn
)ÙØF
(x
1
,x
2
,...,xn
) тотожно хибна. Тотожно iстинними будуть формули "xP
(x
)®P
(y
) i P
(y
)®$xP
(x
).

Формули F
1
i F
2
називаються рiвносильними

(еквiвалентними

), якщо при всiх можливих пiдстановках значень замiсть їх змiнних вони набувають однакових значень; позначається F
1
= F
2
.

Наприклад, усi тотожно iстиннi (усi тотожно хибнi) формули рiвносильнi мiж собою. Очевидно також, що коли F
1
i F
2
рiвносильнi, то формула F
1
~F
2
є тотожно iстинною, і навпаки.

Множина тотожно iстинних формул логiки предикатiв є складовою частиною усiх формальних математичних теорiй, тому її дослiдження i опис є важливою задачею математичної логiки. Значення цiєї множини пiдтверджує той факт, що їй, як було зазначено вище, належать усi рiвносильнi спiввiдношення (тотожностi) логiки предикатiв.

Як i в логiцi висловлень постають двi проблеми. Перша - опис або побудова множини всiх тотожно iстинних формул, друга - перевiрка тотожної iстинностi заданої формули логiки предикатiв.

Якщо iснує процедура розв’язання другої з цих проблем, то на її основi можна сформулювати такий тривiальний алгоритм, що породжує шукану множину T
тотожно iстинних формул. Послiдовно будуємо всi формули, кожну з них за вiдомою процедурою перевiряємо на тотожну iстиннiсть i вносимо до множини T
тi, для яких результат перевiрки є позитивним.

Однак на вiдмiну вiд логiки висловлень, де така процедура iснує i зводиться до обчислення значень даної формули на скiнченнiй множинi значень її параметрiв, у логiцi предикатiв областi визначення предметних i предикатних змiнних формул є, взагалi кажучи, нескiнченними (злiченними або навiть незлiченними).

Метод обчислення значення формули шляхом пiдстановки значень замiсть змiнних i послiдовного виконання вказаних дiй є зручним для встановлення виконуваності заданої формули або доведення нерiвносильностi певних формул. Для цього достатньо пiдiбрати одну вiдповiдну пiдстановку. Застосовувати цей метод можна також, коли предметна область M
є скiнченною. Пов’язано це з тим, що для скiнченної множини M
= {a
1
,a
2
,...,an
} кванторнi формули можна перетворити у рiвносильнi їм звичайнi формули логiки висловлень:

"xP
(x
) = P
(a
1