Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
| X4
+ TX2 + PX + Q = 0 |
(1) |
имеет четыре корня X1
, X2
, X3
, X4
.
Известно, что:
| X1
+ X2 + X3 + X4 = 0, |
(2) |
| X1
X2 + X1 X3 + X1 X4 + X2 X3 + X2 X4 + X3 X4 = T, |
(3) |
| X1
X2 X3 + X1 X2 X4 + X1 X3 X4 + X2 X3 X4 = –P, |
(4) |
| X1
X2 X3 X4 = Q. |
(5) |
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
| X1
X2 + X3 X4 = T + (X1 + X2 )2 , |
(6) |
| (X1
+ X2 )(X1 X2 – X3 X4 ) = P. |
(7) |
Составляем квадратное уравнение:
| Y2
– (X1 X2 +X3 X4 )Y + X1 X2 X3 X4 = 0, |
(8) |
где Y1
= X1
X2
, Y2
= X3
X4
.
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1
+ X2
)2
перепишем уравнение (8) в виде:
Y2
– (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение (8) получаем:
| X1
X2 = 1 /2 (T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2 ), |
(9) |
| X3
X4 = 1 /2 (T
+ A2
– ([T + A]2 – 4Q)1/2 ). |
(10) |
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
| X1
X2 – X3 X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . |
(11) |
Учитывая, что A1/2
= X1
+ X2
перепишем формулу (7) в виде:
| X1
X2 – X3 X4 = Р/А1/2 . |
(12) |
Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
| P/A1/2
= ([T + A]2 – 4Q)1/2 . |
(13) |
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
| A3
+ 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. |
(14) |
Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1
+X2
)2
и двух квадратных уравнений:
| X2
– (X1 + X2 )X + X1 X2 = 0, |
(15) |
| X2
– (X3 + X4 )X + X3 X4 = 0. |
(16) |
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1
+ X2
= – (X3
+X4
) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
| X2
– A1/2 X + 1 /2 (T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0, |
(17) |
| X2
+ A1/2 X + 1 /2 (T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0. |
(18) |
Полное уравнение четвертой степени X4
+ KX3
+ TX2
+ PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.