1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи
. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
= (1)
При такой записи коэффициенты k,k1
,...,kn
называют коэффициентами
передачи
, а T1
,...,Tn
-постоянными времени
данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T1
,...,Tn
имеют размерность времени.
Вторая форма записи
.
Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):
=
= (2)
2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)==
==
=W1
(s)+W2
(s)+...+Wn
(s)
Здесь W1
(s),W2
(s),...,Wn
(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция
h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(jw)=U(w)+jV(w)
где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.
W(jw)=A(w),
где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
j(w)=argW(jw)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.
4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
ao
y(t)=bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao
=2
bo
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao
:
y(t)=g(t)
y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==kd(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t)
w(t)=2Чd(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k
W(jw)=k (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k
V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0
L(w)=20lg2
U(w)=2
V(w)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
ao
y(t)=bo
g(t-t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao
=2
bo
=4
t=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao
:
y(t)= g(t-t)
y(t)=kg(t-t) (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t-t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-t)=G(s)e-ts
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)e-ts
W(s)= ke-ts
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==kd(t-t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t-t)
w(t)=2Чd(t-t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k e-ts
W(jw)=k e-jwt
=k(costw-jsintw) (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k costw
V(w)=-ksintw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)= tw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0,1w
L(w)=20lg2
U(w)=2cos0,1w
V(w)=-2sin0,1w
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1
+ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1
=1,24
ao
=2
bo
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)=g(t)
T1
+y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1
=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T1
p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1
sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= eЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T1
=0.62
h(t)=2Ч1(t)
w(t)=3.2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)==-j
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk - arctg
j(w)=-arctgT1
(9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T1
=0.62
A(w)=
j(w)=arctg0.62w
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1
-ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1
=1,24
ao
=2
bo
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
-y(t)=g(t)
T-y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(Tp-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
TsY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= eЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T=0.62
h(t)=2Ч1(t)
w(t)=3.2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)==j=U(w)+jV(w)
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk - arctg
j(w)=-arctg(-Tw) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T=0.62
A(w)=
j(w)=-arctg(-0.62w)
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2
+a1
+ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2
=0,588
a1
=50,4
ao
=120
bo
=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
++y(t)=g(t)
+T1
+y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1
=,T2
2
=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1
>2T2
), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1
=0,42
2T2
=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2
+T1
p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2
Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2
Y(s)+T1
sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)== , где
T3,4
=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) =
=k Ч1(t)(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1==
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= =
= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw) ==
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)==..............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=................
j(w)=............... (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=...................
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2
+a1
+ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2
=0,588
a1
=0,504
ao
=12
bo
=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
++y(t)=g(t)
+T1
+y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1
=,T2
2
=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1
<2T2
), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T1
=0,042
2T2
=0,14
0,042
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2
=T, .
Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2
+2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2
Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2
Y(s)+2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)<
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)==
=
Заменим в этом выражении ,.Тогда
H(s)==
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k Ч1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1===
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw)=
U(w)=
V(w)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - arg(2xTjw - T2
w2
+1)= - arctg
j(w)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2
- a1
+ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2
=0,588
a1
=0,504
ao
=12
bo
=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
- +y(t)=g(t)
-T1
+y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1
=,T2
2
=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1
<2T2
), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T1
=0,042
2T2
=0,14
0,042
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2
=T, .
Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2
- 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2
Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2
Y(s) - 2xTsY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)==
=
Заменим в этом выражении ,.Тогда
H(s)==
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k Ч1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1===
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw)=
U(w)=
V(w)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T2
w2
)= - arctg
j(w)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2
+ao
y(t) =bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2
=0,0588
ao
=12
bo
=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)=g(t)
+ y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T2
=-постоянная времени.
Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T2
p2
+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=s2
Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T2
s2
Y(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Заменим .Тогда
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1===
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= kw0
sinw0
tЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
U(w)=
V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)==(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - arg(1-T2
w2
)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg (10)
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ
4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1
=bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1
=1,24
bo
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1
:
=g(t)
=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
py(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=ktЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
w(t)==kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)=
U(w)=0
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - argjw
j(w)= - arctgw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
+a1
=bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2
=0,0588
a1
=0,504
bo
=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1
:
+ =g(t)
T+=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(Tp2
+p)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
=s2
Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Ts2
Y(s)+sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= - kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kTЧ1(t)=
= (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - argjw - arg
j(w)= - arctgw - arctgTw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1
=b1
+bo
g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1
=1,24
bo
=4
b1
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1
:
=+g(t)
=k1
+kg(t) (2),
где k1
=, k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
py(t)=(k1
p+k)g(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(t)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=k1
sG(s)+kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= Ч 1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k1
Чd(t)+kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
U(w)=k1
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=............
j(w)=............ (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg........
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
ao
y(t)=b1
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao
=2
b1
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao
:
y(t)=
y(t)=k (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=ksG(s)
W(s)=ks (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=k
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧd(t) (5)
Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1=ks
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=ks
W(jw)=jkw (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=0
V(w)=kw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=kЅwЅ (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgkw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgkЅwЅ
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.
4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1
+ao
y(t) =b1
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1
=1,24
ao
=2
b1
=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1
:
+y(t)=
T+y(t)=k (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1
=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
TsY(s)+Y(s)=ksG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=Ч1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)= =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=Чd(t) eЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)=
W(jw)==
6.Найдем АЧХ:
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)==
Найдем ФЧХ:
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgkw-arctgTw
L(w)=20lgA(w)
L(w)=20lg
4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
Данное звено описывается следующим уравнением:
a0y(t)=b1+b0g(t)
y(t)=+g(t)
k1=
k=
p=
y(t)=k1pg(t)+kg(t)
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
Y(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)=k1s+k
H(s)==k1+
h(t)=k1d(t)+k1(t)
W(jw)=k1jw+k
U(w)=k
V(w)=k1w
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctg
L(w)=20lgA(w)
L(w)=20lg
4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
a0y(t)=b2+b1+b0g(t)
y(t)=++g(t)
y(t)=k2+k1+kg(t)
y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)
Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)
W(s)=k2s2+k1s+k
H(s)=k2s+k1+
h(t)=k2+k1d(t)+k11(t)
w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k
w(t)=k2+k1+kd(t)
W(jw)=k1jw+k - k2w2
U(w)=k - k2w2
V(w)=k1jw
A(w)=
j(w)=arctg
L(w)=20lg