Дискретная математика
Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством
называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1
, m2
, mn
– элементы множества.
Символика
A
Î
M
– принадлежность элемента к множеству;
А
Ï М –
непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,…
множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,…
- множество целых чисел Z.
множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.
А
Í В
– А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A =
B
Если А Í В и А ¹ В то А
Ì В
(строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M =
Æ
.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2
+1=0
пустое: M =
Æ
.
2) множество D, сумма углов которого ¹ 1800
пустое: M =
Æ
.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.
Пример:
Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n
.
Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
1) Списком элементов {a,b,c,d,e};
2) Интервалом 1<x<5;
3) Порождающей процедурой: xk
=pksinx=0;
Операции над множествами
1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.
А È В
Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна –
это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Объединение двух множеств
|
|
Объединение системы множеств можно записать
- объединение системы n множеств.
Пример:
объединение множеств, когда они
заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}
|
|
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.AÇB
Пересечение прямой и плоскости
1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;
2) если прямые II пл., то M¹Æ;
3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
Пересечение системы множеств:
4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.
С = А В
|
A
B
|
А В
|
|
|
|
|
A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. AB¹BA.
4) дополнение
E – универсальное множество.
-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.
Основные свойства
1) AUB
=
BUA
;
A
Ç
B
=
B
Ç
A
–переместительный закон объединения и пересечения.
2)
(
А
UB)UC = AU(BUC); (A
Ç
B)
Ç
C=A
Ç
(B
Ç
C)
– сочетательныйзакон.
3)
А
U
Æ
=A, A
ÇÆ
=
Æ
, A
Æ
=A, A A=
Æ
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а)
Æ
A
=
Æ
- нет аналога.
4)
Æ; E A =; A E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;
5.а)
свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
5)
A
Ç
(
BUC
)=(
A
Ç
B
)(
A
Ç
C
)
– есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.
Прямые произведения и функции
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB.
С=AхВ, если А=В то С=А2
.
Прямыми «х» n множеств A1
x,…,xAn
называется множество векторов (a1
,…an
) так
ÎA1
,…, An
ÎAn
.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎMx
xMy
называется функцией, если для каждого элемента хÎMx
найдется yÎМу
не более одного.
(x;y)ÎF, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:
Определение:
Между множествами MX
и MY
установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎMX
соответствует 1 элемент yÎMY
и обратное справедливо.
Пример:
1) (х,у) в круге
2) x = sinx
R- R
Пусть даны две функции f: A-B и g: B-C, то функция y:A-C называется композицией функций f и g.
Y=fogo – композиция.
Способы задания функций:
1) таблицы, определены для конечных множеств;
2) формула;
3) графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение:
Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема:
Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|
A
|
=2n
.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N2
– счетно.
Доказательство
Разобьем N2
на классы
К 1-ому классу отнесем N1
(1; 1)
|
|
Ко 2-му классу N2
{(1;2), (2;1)}
К i-му классу Ni
{(a;b)| (a+b=i+1}
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2
.
Аналогично доказывается счетность множеств N3
,…,Nk
.
Теорема Кантора:
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Доказательство
Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
|
|
1-я 0, a11
, a12
….
2-я 0, а21
, a22
….
………………….
Возьмем произвольное число 0,b1
,b2
,b3
|
b1
¹a11
, b2
¹a22
, …
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.
Отношение
Пусть дано RÍMn
– n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а Rb.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна
С= |
1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 |
|
|
Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если aj
Rai
тогда и только тогда, когда aj
Rai
обозначают R-1
.
Свойства отношений
Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
£рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы
сумм Cij
=Cji
. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.
Пр. Если а £b и b£a ==> a=b
Если дано "a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение £u³ для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Лекция: Элементы общей алгебры
Р. Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j1
,…, jm
}, т.е. система А = {М1
;j1
,…, jm
} называется алгеброй. W - сигнатура.
Если M1
ÌM и если значения j( M1
), т.е. замкнуто ==> A1=
{М1
;j1
,…, jm
} подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись ajb.
1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. ajb = bja – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A×B¹B×A – некоммутативно.
3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева
(ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e
=ae
be
– возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа
но не abc
¹ ab
ac
Р. Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; jI
) и B=(M; jI
) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:K-M при условии Г(jI
)=
jI
(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции jI
b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение jI
в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1
.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN
;
+) и (Q2;
+) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.