1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Множество
- совокупность некоторых объектов
Элементы множества
- объекты составляющие множество
Числовые множества
- множества элементами которых являются числа.
Задать множество значит указать все его элементы:
1 Способ:
А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...
A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.
2 Способ
: Конструирование из других множеств:
AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A B = {c: cÎA Ù сÏB}
U - универсальное множество (фиксированное)
U³A; U A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
Свойства:
1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность; AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U
2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А
A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ
Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’
"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’
Отображение множеств:
f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)
aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f
Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)
Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im
Отображение f инъективно
если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)
Отображение f сурьективно
если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.
Счетные множества
- множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
Теорема:
Множество Q счетно.
Докозательство: Q=
Лемма 1
: " nÎN Z/n - счетно.
Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10®0/n 5®-2/n
2®+1/n 6®+3/n
3®-1/n 7®-3/n
4®+2/n ...
Лемма 2
: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.
А1={а11
, а12
, а13
,...}
А2={а21
, а22
, а23
,...}
А3={а31
, а32
, а33
,...}
...
Применяем диагональную нумерацию (а11
- 1; а21
- 2; а12
- 3; а31
- 4; а22
- 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно
2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.
Действительные числа
- множество чисел вида [a0
],а1
a2
а3
... где а0
ÎZ а1
,а2
,а3
,... Î{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао
],а1
а2
а3
...ак
(0) = ао
+ а1
/10 + а2
/100 + ... +ак
/10k
= [ао
],а1
а2
а3
...а’к
(9), где а’к
=ак-1
х=[хо
],х1
х2
х3
...хк
...
у=[уо
],у1
у2
у3
...ук
...
х’к
- катое приближение икса с недостатком = [хо
],х1
х2
х3
...хк
у”к
- катое приближение игрека с избытком = [уо
],у1
у2
у3
...ук
+ 1/10k
х’к+1
> х’к
(х’к
- монотонно растет)
у”к+1
£ у”k
(у”k -
не возрастает), т.к. у”к
=[уо
],у1
у2
у3
...ук
+ 1/10к
у”к+1
= [уо
],у1
у2
у3
...ук
ук+1
+ 1/10к+1
у”к
- у”к+1
= 1/10к
- ук+1
+ 1/10к+1
³ 0
10 - ук+1
- 1 / 10к+1
³ 0
9 ³ ук+1
Определение:
1) х > у <=> $ к: х’к
> у”к
2) х = у <=> х’к
не> у”к
& у”к
не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
Свойства:
1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у
2) х>у & у>z => х>z
3) х не> х
Док-во (2): х>у у>z
х’к>у”к у’m>z”m
n=max{k;m}
х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n
у”n>у’n => х’n>z”n
Определение:
Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R
Теорема:
Q плотно в R.
Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у
х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ
3.Несчетность множества действительных чисел.
Теорема:
R несчетно.
Доказательство от противного:
1«х1
=[х1
], х11
х12
х13
... |
2«х2
=[х2
], х21
х22
х23
... | Пусть здесь нет девяток в периоде
3«х3
=[х3
], х31
х32
х33
... |
... | (*)
к«хк
=[хк
], хк1
хк2
хк3
... |
... |
Найдем число которого нет в таблице:
с=[с], с1
с2
с3
...
[с]¹[х1
] => с¹х1
с1
Ï {9;х21
} => с¹х2
с2
Ï {9;х32
} => с¹х3
...
ск
Ï {9;хк+1к
} => с¹хк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b
Замечания:
1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)
2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)
Доказательство:
" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n
Докажем, что m = n:
Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n
следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b
Докажем, что с
единственное(от противного):
Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b
8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)
Если $n0
: "n>n0
xN
£yN
£zN
и $ Lim xN
=x, $ Lim zN
=z, причем x=z, то $ Lim yN
=y => x=y=z.
Доказательство: "n>n0
xN
£yN
£zN
Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xN
Î(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zN
Î(х-Е,х+Е) => "n>max{n0
,n’,n”} yN
Î(x-E,x+E)
4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
Определение:
АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).
Определение:
Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).
Определение:
SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A
InfA = n, если 1) n - нижняя грань A
2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
Определение
: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m
2) "e>0 $ aE
ÎA, такое, что aE
>a-e
InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n
2) "e>0 $ aE
ÎA, такое, что aE
<a+e
Теорема:
Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.
Доказательство:
Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.
[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m1
=max[10*{a-[m]:aÎA}]
m2
=max[100*{a-[m],m1
:aÎA}]
...
mк
=max[10K
*{a-[m],m1
...mK-1
:aÎA}]
[[m],m1
...mK
, [m],m1
...mK + 1
/10K
]ÇA¹Æ=>[m],m1
...mK
+ 1/10K
- верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m1
...mK
- точная верхняя грань и что она единственная:
"к: [m’K
,m”K
)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K
Единственность(от противного):
аÎА, пусть а>m”K
=> $ к: а’K
>m”K
=> а³а’K
>m”K
- это противоречит ограниченности => a£m
Точная верхняя грань:
Пусть l<m, тогда $ к: m’K
>l”K
, но так как "к [m’K
,m”K
) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K
,m”K
) => а>l =>l - не верхняя грань.
Теорема:
Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA
6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Определение:
Последовательность аN
называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0
: n>n0
|аN
|<Е)
Теорема:
Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.
Доказательство: Пусть Lim aN
=Lim bN
=0, cN
=aN
+bN
, dN
=aN
-bN
. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0
(в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN
, т.е. $ n’: "n>n’: |aN
|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN
|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN
|<Е/2 & |bN
|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN
|=|aN
+bN
|£|aN
|+|bN
|<E/2 + E/2 = E => |dN
|=|aN
-bN
| £ |aN
|+|bN
|<E/2 + E/2 = E
Теорема:
Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.
Доказательство: Пусть aN
- бм посл-ть, bN
- ограниченная посл-ть zN
=aN
*bN
.
Т.к. bN
- ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN
|£с¹0
Т.к. aN
- бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN
, т.е. $ n0
: "n>n0
|aN
|<Е/с.Таким образом "n>n0
: |zN
|=|aN
*bN
|=|aN
|*|bN
|<Е/с * с=Е
Следствие:
произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть
Теорема:
Пусть aN
- бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN
|£aN
=> bN
- бм
Доказательство: aN
- бм => $ n”: "n>n”: |aN
|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN
|£|aN
|<Е
Определение:
Последовательность аN
называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n0
: n>n0
|аN
|>Е)
Теорема:
Если aN
- бм, то 1/aN
- бб последовательностьть, обратное тоже верно.
Доказательство:
"=>" aN
-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0
: "n>n0
|aN
|<1/E =>1/|aN
|>Е.
"<=" 1/|aN
| - бб последовательность => "Е>0 $ n0
: "n>n0
1/|aN
|>1/Е => |aN
|<Е
Теорема:
Пусть aN
- бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bN
³|aN
| => bN
- бб.
Доказательство: aN
- бб => $ n”: "n>n” |aN
|>Е. Для n>max{n’,n”} bN
³|aN
|>Е
7.Арифметика пределов
Предложение:
Число а
является пределом последовательности aN
если разность aN
-a
является бм (обратное тоже верно)
Докозательство: Т.к. Lim aN
=a, то |aN
-a|<Е. Пусть aN
=aN
-a. |aN
|=|aN
-a|<Е
Обратное: Пусть aN
=aN
-a, т.к. aN
- бм => |aN
|£Е. |aN
|=|aN
-a|<Е
Теорема:
Если Lim xN
=x, Lim yN
=y, то:
1. $ Lim (xN
+yN
) и Lim (xN
+yN
)=х+у
2. $ Lim (xN
*yN
) и Lim (xN
*yN
)=х*у
3. "n yN
¹0 & y¹0 => $ Lim (xN
/yN
) и Lim(xN
/yN
)=х/у
Доказательство:
Пусть xN
=х+aN
, aN
- бм; yN
=у+bN
, bN
- бм
1) (xN
+yN
)-(х+у)=aN
+bN
(По теореме о сумме бм: aN
+bN
- бм => (xN
+yn
)-(х+у)-бм, дальше по предложению)
2) xN
*yN
- х*у = х*aN
+у*bN
+aN
*bN
(По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN
*yN
- х*у - бм, дальше по предл-нию)
3) xN
/yN
- х/у = (у*aN
-х*bN
) / (у*(у+bN
))= (у*aN
-х*bN
) * 1/у * 1/уN
доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn
- сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN
тоже сходящаяся последовательность: Lim уN
=y => по определению предела получаем $ n0
: "n>n0
|уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<уN
<у/2+у, откуда получаем: |уN
|³уN
>у/2.|уN
|>у/2=>1/|уN
|<2/у => "n: 1/|уN
|£max{2/у, 1/у1
, 1/у2
,...1/уno
}
Теорема:
Если хN
сходится к х, yN
сходится к у и $ n0
: "n>n0
последовательность хN
£уN
, то х£у
Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN
-x|<E и $n”: "n>n” |yN
-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN
будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN
будут лежать в Е-окрестности точки у, причем
(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: хN
>уN
- противоречие с условием => х£у.
5. Определение предела последовательности и его единственность.
Определение:
Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хÎХ).
Определение:
Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают аN
.
Способы задания:
1) Аналитический: Формула общего члена
2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а1
=а; аN+1
=аN
+ а
3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN
= n-ый десятичный знак числа Пи
Определение:
Число а
называется пределом последовательности аN
, если "e>0$ n0:
"n>n0
выполняется неравенство |аN
-a|<e. Обозначение Lim aN
=a.
Если не существует числа а
, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а
).
Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а
, содержит все члены последовательности аN
начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а
находится ко нечное число членов последовательности аN
.
Определение:
Число а
назывется пределом посл-ти аN
если вне всякой окрестности точки а
содержится конечное число членов последова тельности.
Теорема:
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство(от противного):
Пусть последовательность аN
имеет предел а
и предел с
, причем а
¹
с
. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а
и с
бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с
|/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.
Теорема:
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность аN
сходится к числу а
. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
Замечания:
1) Обратное не верно (аn=(-1)N
, ограничена но не сходится)
2) Если существует предел последовательности аN
, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.
Порядковые свойства пределов:
Теорема о предельном переходе:
Если Lim xN
=x, Lim yN
=y, $n0
: "n>n0
хN
£yN
, тогда x£y
Доказательство(от противного):
Пусть х>у => по определению предела $ n0
’: "n>n0
’ |хN
-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0
”: "n>n0
” |yN
-y|<E. "n>max{n0
’, n0
”}: |хN
-х|<|х-у|/2 & |уN
-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0
’, n0
”} хN
Î(х-Е,х+Е) & уN
Î(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0
’, n0
”} хN
>yN
- противоречие с условием.
Теорема:
Если $n0
: "n>n0
aN
£bN
£cN
и $ Lim aN
=a, $ Lim cN
=c, причем a=c, то $ Lim bN
=b => a=b=c.
Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN
<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN
. При n>max{n0
,n’,n”} (a-E)<aN
£bN
£cN
<(a+E), т.е. " n>max{n0
,n’,n”}=>bN
Î(a-E,a+E)
9. Предел монотонной последовательности
Определение:
Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n1
>n2
(n1
<n2
): xN1
³xN2
(xN1
£xN2
).
Замечание:
Если xN1
строго больше (меньше) xN2
, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).
Теорема:
Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Доказательство: Пусть хN
ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN
: nÎN}
По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $xE
: (х-Е)<хE
=> $ n0
xNo
>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0
xN
³xNo
>(x-E), получили xN
£x=SupX, значит "n>n0
xN
Î(x-E,х]<(x-E,x+E)
10.Лемма о вложенных промежутках
Определение:
Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:
1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)
2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток
3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч
4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч
5) Mножество хÎR - числовая прямая
Определение:
Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a
Лемма:
Пусть aN
монотонно возрастает, bN
монотонно убывает, "n aN
£bN
и (bN
-aN
)-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN
,bN
] (с Ç[aN
,bN
])
Доказательство:
aN
£bN
£b1
aN
монтонно возрастает & aN
£b1
=> $ Lim aN
=a
a1
£aN
£bN
bN
монтонно убывает & a1
£bN
=> $ Lim bN
=b
aN
£a b£bN
aN
£bN
=> a£b
Lim (bN
-aN
)=b-a=0(по условию)=>a=b
Пусть c=a=b, тогда aN
£c£bN
Пусть с не единственное: aN
£c’£bN
, с’¹с
aN
£c£bN
=>-bN
£-c£-aN
=> aN
-bN
£c’-c£bN
-aN
=> (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN
-bN
)£Lim(c’-c)£Lim(bN
-aN
) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>
0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.
Перефразировка Леммы:
Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(bN
-aN
)=0, тогда концы промежутков aN
и bN
стремятся к общему пределу с (с разных сторон).
42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.
Определение:
Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0
Î(a;b). Точка x0
, называется точкой локалниого min(max), если для всех xÎ(a;b), выполняется
f(x0
)<f(x) (f(x0
)>f(x)).
Лемма:
Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0
. Если эта производная f‘(x0
)>0(f‘(x0
)<0), то для значений х, достаточно близких к x0
справа, будет f(x)>f(x0
) (f(x)<f(x0
)), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)<f(x0
) (f(x)>f(x0
)).
Доказательство: По определению производной,.
Если f‘(x0
)>0, то найдется такая окрестность (x0
-d,x0
+d) точки x0
, в которой (при х¹x0
) (f(x)-f(x0
))/(x-x0
)>0. Пусть x0
<x<x+d, так что х-х0
>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0
)>0, т.е. f(x)>f(x0
). Если же x-d<x<x0
и х-х0
<0, то очевидно и f(x)-f(x0
)<0, т.е. f(x)<f(x0
). Ч.т.д.
Теорема Ферма:
Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0
этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0
, то необходимо f‘(x0
)=0.
Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x0
. Предположение, что f‘(x0
)¹0, приводит к противоречию: либо f‘(x0
)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0
), если x>x0
и достаточно близко к x0
, либо f‘(x0
)<0, и тогда f(x)>f(x0
), если x<x0
и достаточно близко к x0
. В обоих случаях f(x0
) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.
Следствие:
Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.
43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).
Теорема Ролля
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]
2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)
3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)
Тогда между a
и b
найдется такая точка c
(a<c<b
), что f’(с)=0.
Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.
Рассмотрим два случая:
1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство m£f(x)£M в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с
можно взять любую точку из (a;b).
2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с
между a
и b
. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0
этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0
, то необходимо f‘(x0
)=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.
Теорема Коши:
Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)¹g(a)
2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)
3) g’(x)¹0 в отткрытом промежутке (a;b)
Тогда между a
и b
найдется такая точка c
(a<c<b
), что
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций
2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)
3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0
Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с
, что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).
Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое равенство.
Теорема Лагранжа:
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]
2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)
Тогда между a
и b
найдется такая точка c
(a<c<b
), что
Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:
Промежуточное значение с
удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где qÎ(0;1). Тогда принимая x0
=a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:
Следствие:
Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0
ÎI, x0
+hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x0
+h)-f(x0
)=f’(x0
+qh)*h ([x0
;x0
+h] h>0, [x0+
h;x0
] h<0)
11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Определение:
Пусть аN
некоторая числовая посл-ть и kN
-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN
и n®kN
получа ем посл-ть aKn
-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN
=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.
Теорема:
Если Lim аN
=а, то и Lim аKn
=а.
Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а
лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.
Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0
: "n>n0
|аN
-а|<Е, ввиду того что kN
®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN
>n0
тогда при тех же значениях n будет верно |аKn
-а|<Е
Теорема Больцано-Вейерштрасса:
Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: хN
- ограничена => "n: а£хN
£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN
(в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1
,b1
] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1
,b1
] промежуток [а2
,b2
] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN
. Продолжая процесс до бесконечности на к
-том шаге выделим промежуток [аK
,bK
]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN
. Длина к
-того промежутка равна bK
-аK
= (b-a)/2K
, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK
³аK+1
& bK
£bK+1
. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n аN
£c£bN
.
Теперь построим подпоследовательность:
хN1
Î[а1
,b1
]
хN2
Î[а2
,b2
] n2
>n1
. . .
хNK
Î[аK
,bK
] nK
>nK-1
а£хNk
£b. (Lim aK
=LimbK
=c из леммы о вложенных промежутках)
Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk
=c - ч.т.д.
12.Верхний и нижний пределы последовательности.
xN
- ограниченная последовательность =>"n аN
£хN
£bN
хNK
®х, так как хNK
-подпоследовательность => "n а£хN
£b =>а£х£b
х - частичный предел последовательности хN
Пусть М - множество всех частичных пределов.
Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM
Верхним пределом посл-ти xN
называют SupM¹Sup{xN
}: пишут Lim xN
Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{xN
}: пишут lim
xN
Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.
Достижимость:
Теорема:
Если хN
ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK
: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN
.
Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN
$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ => $ подпоследовательность хNS
®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0
: "s>s0
=>
х’-1/к<хNS
<х’+1/к
х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS
<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)
х-2/к<хNS
<х+1/к
Берем к=1: х-2<хNS
<х+1, т.е $ s0
: "s>s0
это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS
с номером больше s0
и нумеруем его хN1
k=1: х-2/1<хN1
<х+1/1
k=2: х-2/2<хN2
<х+1/2 n1
<n2
...
k=k: х-2/к<хNK
<х+1/к nK-1
<nK
При к®¥ хNK
®х
13.Фундаментальные последовательности
.
Определение:
Последовательность {аN
} - называется фундаментальной, если "Е>0 $ n0
: "n>n0
и любого рÎN выполнено неравенство |аN
+р-аN
|<Е. Геометрически это означает что "Е>0 $ n0
, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0
номерами, меньше Е.
Критерий Коши сходимости посл-ти
: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость: Пусть Lim xN
=x, тогда "Е>0 $ n0
: "n>n0
|хN
-х|<Е/2. n>n0
, n’>n0
|хN
-хN’
|=|хN
-х+х-хN’
|<|хN
-х|+|х-хN’
|<Е/2+Е/2<Е
Достаточность: Пусть хN
- фундаментальная
1) Докажем что хN
ограничена: Е1
=1998 $ n0
: |хN
-хN’
|<Е, n>n0
, n’>n0
"n>n0
|хN
-хN0
|<Е1
х N0
-1998<хN
<х N0
+1998 => хN
- ограничена
2) По теореме Больцано-Вейерштрасса
$ подпосл-ть хNK
®х. Можно выбрать к
настолько большим, чтобы |хNK
-х|<Е/2 и одновременно nк
>n0
. Следовательно (из фунд-ти) |хN
-хNK
|<Е/2 =>
|хNK
-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK
<х+Е/2 => |хN
-хNK
|<Е/2 => хNK
-Е/2<хN
<хNK
+Е/2 => х-Е<хN
<х+Е => |хN
-х|<Е
14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.
Формула Ньютона для бинома:
nÎN
Разложение Паскаля
(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)
...
*:
к=0,1,...,n
Доказательство(по индукции):
1) n=0 - верно (1+х)0
=1 =>(1+х)0
=
2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:
= Ч.т.д
16.Последовательности
(во всех пределах n
®¥
)
1) Lim= 0 (p>0)
- это означает что, мы нашли такое n0
=: "n>n0
||<E
2) Lim=1
xN
= - 1
=1+xN
n=(1+xN
)n
n=
xN
2
<2/(n-1)
При n®¥®0 => xN
®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN
)=1+0=1
16.Последовательность (1+1/n)n
и ее предел.
xN
=; yN
=; zN
=yN
+
xN
монотонно возрастает: докажем:
xN
=(1+1/n)n
=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2
+... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN
=>yN
<zN
<3
Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n
³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):
x=1/n => (1+1/n)n
³1+n/n=2
Получили: 2 £ xN
<3 => xN
- ограничена, учитывая что xN
- монотонно возрастает => xN
- сходится и ее пределом является число е
.
17. Последовательности
(во всех пределах n
®¥
)
1) Lim=1, a>0
a) a³1:
xN
=xN+1
==> $ Lim xN
=x
xN+1
=xN
*
xN
=xN+1
*
xN
=xN+1
*xN
*(n+1)
Lim xN
=Lim (xN+1
*xN
*(n+1)) => x = x*x => x = 1
б) 0<a<1 b=1/a xN
=
Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1
2) Lim = 0, a>1
xN
=xN+1
=
т.к. Lim= Lim=Lim=1
=> $ n0
: "n>n0
xn+1/xn<1 => СТ x=limxn
xN+1
=xN
*
Lim xN+1
= Lim xN
* => x = x*1/a => x=0
Докажем, что если xN
®1 => (xN
)a
®1:
a) "n: xN
³1 и a³0
(xN
) [
a
]
£(xN
)a
<(xN
)[
a
]+1
=> по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN
)[
a
]
=Lim (xN
)[
a
]+1
=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN
)a
=1
б) "n: 0<xN
<1 и a³0
yN
=1/xN
=> yn>1 Lim yN
=lim1/xN
=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN
)a
=1 => lim 1/(xN
)a
=1 => Lim (xN
)a
=1
Объединим (а) и (б):
xN
®1 a>0
xN1
,xN2
,...>1 (1)
xM1
,xM2
,...<1 (2)
Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек xN
.
в) a<0
(xN
)a
=1/(xN
)- a
a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN
)- a
= 1 => Lim (xN
) a
= 1
1
5. Доказательство формулы e=...
yN
=; zN
=yN
+
1) yN
монотонно растет
2) yN
<zN
3) zN
-yN
®0
4) zN
монотонно убывает
Доказателство:
zN
-zN+1
= yN
+ - yN+1
-= +-=
2=y1
<yN
<zN
<z1
=3
e
= Lim yN
= Lim zN
- по лемме о вложенных промежутках имеем: yN
<e
<zN
= yN
+ 1/(n*n!)
Если через qN
обозначить отношение разности e
- yN
к числу 1/(n*n!), то можно записать e
- yN
= qN
/(n*n!), заменяя yN
его развернутым выражением получаем e
= yN
+ qN
/(n*n!), qÎ(0,1)
Число e
иррационально:
Доказательство(от противного): Пусть e
=m/n, mÎZ, nÎN
m/n = e
= yN
+ qN
/(n*n!)
m*(n-1)!= yN
*n! + qN
/n, где (m*(n-1)! & yN
*n!)ÎZ, (qN
/n)ÏZ => противоречие
23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.
Определение по Коши:
f(x) сходится к числу А при х®х0
если "Е>0 $d>0: 0<|х-х0
|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е
Определение по Гейне:
f(x) сходится к числу А при х®х0
если " последовательности хN
®х0
, хN
¹х0
f(xN
)®А
Теорема:
Два определения эквивалентны:
Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.
1) (К)=>(Г)
"Е>0 $d>0: 0<|х-х0
|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши
хN
®х0
, хN
¹х0
, т.к. хN
®х0
=> $ n0
: "n>n0
0<|xN
-x0
|<Е (Е=d) => 0<|xN
-x0
|<d => по определению Коши |f(xN
)-А|<Е
2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:
Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)
Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x0
|<d => |f(x)-A|³E
Отрицание (Г): $ хN
®х0
, хN
¹х0
: |f(xN
)-A|³E
$ хN
®х0
, хN
¹х0
=> $ n0
: "n>n0
0<|xN
-x0
|<Е (Е=d) => по отрицанию определения Коши |f(xN
)-А|³Е
Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+¥), определяется предел при хN
®¥ следующим образом: limf(х) при хN
®¥ = Limf(1/t) t®+0
(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN
®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и хN
®¥ = lim f(1/t) t®0
24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.
Lim(х0
±|h|) при h®0 - называется односто
Теорема:
Пусть интервал (x0
-d,x0
+d){x0
} принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0
существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0
и они равны между собой.
Необходимость:
Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $d >0: -d<х-х0
<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x0
сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0
+d) => x попадает в интервал (x0
-d,x0
+d) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x0
-d,0) => x попадает в интервал (x0
-d,x0
+d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.
Достаточность:
Lim (х0
±|h|) при h®0: Lim(х0
+|h|) = Lim(х0
-|h|)=А
"Е>0 $d’ >0: 0<х-х0
<d’ => |f(х)-А|<Е
"Е>0 $d” >0: -d”<х-х0
<0 => |f(х)-А|<Е
Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е
Определение:
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0
если при х®х0
Lim f(х)=f(х0
). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0
) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0.
Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0
)|<Е выполнено и при х=х0
=> в определении можно снять ограничение х¹х0
=> получим второе равносильное определение:
Определение 2:
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0
, если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е
Аналогично сняв ограничение х¹х0
- получим определение по Гейне:
Определение 3:
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0
, если " посл-ти хN
®х0
, f(xN
)®f(a)
Если при х®х0
limf(х)¹f(х0
), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х0
. Это происходит если:
а) f(х) неопределена в точке х0
б) Предел f(х) в точке х0
не существует
в) f(х) определена в х0
и limf(х) в точке х0
существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется
Различают:
1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0
)
2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.
Если правый и левый предел в х0
совпадают, то х0
называют устранимой точкой разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0
- точка бесконечного разрыва.
Пусть x0
- точка разрыва, x0
называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.
Если значение правого (левого) предела в точке х0
совпадает со значением f(x0
), то f(x) называется непрерывной справа (слева).
Если предел f(x) справа (слева) в точке х0
не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х0
), то говорят что функция f(x) имеет в точке х0
разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х0
.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.
26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.
Теорема:
Все пределы в точке х0
: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда
1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G
2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G
3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G
Доказательство:
1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0
<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х0
<d” => |g(х)-G|<Е
Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х0
<d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е
2) Пусть посл-ть хN
®х0
(хN
¹х0
, xN
ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(xN
)=F & Lim g(xN
)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN
)*g(xN
)=Lim f(xN
)*Lim g(xN
)= F*G => по определению предела по Гейне при х®х0
Lim f(x)*Lim g(x)=F*G
3) Пусть посл-ть хN
®х0
(хN
¹х0
, xN
ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(xN
)=F & Lim g(xN
)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN
)/g(xN
)=Lim f(xN
)/Lim g(xN
)=F/G => по определению предела по Гейне при х®х0
Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и g(x)¹0.
Порядковые свойства пределов:
Теорема:
Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х0
A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B
Доказательство(от противного):
Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-х0
|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х0
|<d” => |g(х)-B|<Е.
Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0
|<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для
хÎ(х0
-d, х0
+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.
Теорема:
Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х0
Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А
Доказательство:
"Е>0 $d’>0: |х-х0
|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х0
|<d” => h(х)<A+Е.
Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0
|<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) => A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E
27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х
®0.
1) Sin x:
Lim Sin x = Sin x0
(при х®х0
)
|Sin x-Sin x0
|=2*|Sin((x-x0
)/2)|*|Cos((x+x0
)/2)| < 2*|(x-x0
)/2|=|x-x0
| => -|x-x0
|<Sin x-Sin x0
<|x-x0
| при х®х0
=> -|x-x0
|®0 & |x-x0
|®0 => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0
)®0
2) Cos x:
Lim Cos x = Cos x0
(при х®х0
)
Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0
= Sin (П/2 - x0
) = Sin y0
|Sin y-Sin y0
|=2*|Sin((y-y0
)/2)|*|Cos((y+y0
)/2)| < 2*|(y-y0
)/2|=|y-y0
| => -|y-y0
|<Sin y-Sin y0
<|y-y0
| при y®y0
-|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y0
)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0
)]®0 => (Cos x-Cos x0
)®0
3) Tg x
- непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ
4) Ctg x
- непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ
Теорема:
Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2
Доказательство:
Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R2
) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2
28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
Определение:
Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:
1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)
2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток
3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч
4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч
5) Mножество хÎR - числовая прямая
Теорема:
Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х0
Î[a,b]: f(х0
)=c.
Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0
Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х0
=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0
)=f(х0
)-с=0 => f(х0
)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а1
)*g(b1
)<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2
)*g(b2
)<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n
-го промежутка [aN
,bN
] будем иметь: g(aN
)<0, g(bN
)>0, причем длина его равна bN
-aN
=(b-a)/2n
®0 при n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках => $ точка x0
из промежутка [a,b], для которой Lim aN
=Lim bN
= x0
. Покажем, что x0
-удовлетворяет требованию теоремы: g(aN
)<0, g(bN
)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN
)£0, Lim g(bN
)³0, используем условие непрерывности: g(x0
)£0 g(x0
)³0 => g(x0
)=0 => f(х0
)-c=0 => f(х0
)=c
Следствие:
Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)
Доказательство: Пусть у1
,у2
ÎУ; у1
£у£у2
, тогда существуют х1
,х2
ÎХ: у1
=f(х1
), у2
=f(х2
). Применяя теорему к отрезку [х1
,х2
]ÍХ (если х1
<х2
) и к отрезку
[х2
,х1
]ÍХ (если х2
<х1
) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.
29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
Определение:
Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.
Теорема:
Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при x®a)
Доказательство:
Пусть xN
: xN
¹a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN
: yN
=g(xN
) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN
)=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN
))=Lim f(yN
)=f(b) (n®¥). Заметим что в посл-ти yN
- некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN
¹b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN
)®f(b)
Следствие:
Пусть функция g непрерывна в точке x0
, а функция f непрерывна в точке у0
=g(x0
), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0
.
30. Обращение непрерывной монотонной функции.
Определение:
Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).
Определение:
Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0
что f(х0
)=у0
- называется обратной к функции f.
Теорема:
Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,
определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.
Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у0
из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х0
ÎХ, что f(х0
)=у0
. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х1
> или <х0
, то соответственно и f(х1
)> или <f(х0
). Сопоставля именно это значение х0
произвольно взятому у0
из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы
было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.
Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0
) при у®у0
. Пусть f`(у0
)=х0
. Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0
)|<Е <=> х0
-Е<f`(у)<х0
+Е <=> f(х0
-Е)<у<f(х0
+Е) <=> f(х0
-Е)-у0
<у-у0
<f(х0
+Е)-у0
<=> -d’<у-у0
<d”, где d’=у0
-f(х0
-Е)>у0
-f(х0
)=0, d”=f(х0
+Е)-у0
>f(х0
)-у0
=0,
полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0
|<d => -d’<у-у0
<d” <=> |f`(у)-f`(у0
)|<Е
Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:
Определение:
Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N
- где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM
и х1/M
=> ф-ция хM/N
- непрерывна при х>0. Если х=0, то хM/N
= 1, а следовательно непрерывна.
Рассмотрим ф-цию хN
, nÎN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.
n=0: хN
тождественно равно константе => хN
- непрерывна х-N
=1/хN
, учитывая что:
1) 1/х - непрерывная функция при х¹0
2) хN
(nÎN) - тоже непрерывная функция
3) х-N
=1/хN
- суперпозиция ф-ий 1/х и хN
при х¹0
По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N
- непрерывная при х¹0, т.о. получили что хM
mÎZ - непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0ф-ция хN
nÎN строго монотонно возрастает и ф-ция хN
непрерывна=>$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х1/N
Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны
31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.
Определение:
Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида аX
, а>0, а¹1 xÎQ.
Свойства:
для mÎZ nÎN
1) (аM
)1/N
= (а1/N
)M
(аM
)1/N
=(((а1/N
)N
)M
)1/N
= ((а1/N
)N*M
)1/N
= (((а1/N
)M
)N
)1/N
= (а1/N
)M
2) (аM
)1/N
=b <=> аM
=bN
3) (аM*K
)1/N*K
=(аM
)1/N
(аM*K
)1/N*K
=b <=> аM*K
=bN*K
<=> аM
=bN
<=> (аM
)1/N
=b
Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: aM/N
=(аM
)1/N
=(а1/N
)M
,a-M/N
=1/aM/N
, а0
=1
Св-ва: x,yÎQ
1) aX
* aY
= aX+Y
aX
* aY
=b; x=m/n, y=-k/n => aM/N
* 1/aK/N
= b => aM/N
= b * aK/N
=> aM
= bN
* aK
=> aM-K
= bN
=> a(M-K)/N
= b => aX+Y
= b
2) aX
/aY
= aX-Y
3) (aX
)Y
=aX*Y
(aX
)Y
=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N
)K/S
=b => (aM/N
)K
=bS
=> (a1/N
)M*K
=bS
=> (aM*K
)1/N
=bS
=> aM*K
=bS*N
=> a(M*K)/(S*N)
=b => aX*Y
=b
4) x<y => aX
<aY
(a>1) - монотонность
z=y-x>0; aY
=aZ+X
=> aY
-aX
=aZ+X
-aX
=aX
*aZ
-aX
=aX
*(aZ
-1) => если aZ
>1 при z>0, то aX
<aY
.
z=m/n => aZ
=(a1/N
)M
=> a1/N
>1 => (a1/N
)M
>1 => aX
*(aZ
-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX
®1 (xÎR)
Т.к. Lim a1/N
=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N
=Lim1/a1/N
=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0
: "n>n0
1-E<a-1/N
<a1/N
<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0
, то
a-1/N
<aX
<a1/N
=> 1-E<aX
<1+E. => Lim aX
=1 (при x®0)
32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.
Определение:
Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида аX
, а>0, а¹1 xÎR.
Свойства:
x,yÎR.
1) aX
* aY
= aX+Y
xN
®x, yN
®y => aXn
* aYn
= aXn+Yn
=> Lim aXn
* aYn
= Lim aXn+Yn
=> Lim aXn
* lim aYn
= Lim aXn+Yn
=> aX
* aY
= aX+Y
2) aX
/ aY
= aX-Y
3) (aX
)Y
=aX*Y
xN
®x, yK
®y => (aXn
)Yk
= aXn*Yk
=> (n®¥) (aX
)Yk
=aX*Yk
=>(k®¥) (aX
)Y
=aX*Y
4) x<y => aX
<aY
(a>1) - монотонность.
x<x’ x,x’ÎR; xN
®x x’N
®x’ xN
,x’N
ÎQ => xN
<x’N
=> aXn
< aX’n
=> (n®¥) aX
£aX’
- монотонна
x-x`>q>0 => aX-X’
³ aQ
>1 => aX-X’
¹1 => aX<aX’
- строго монотонна
5) при x n®0 aX
®1
Т.к. Lim a1/N
=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N
=Lim1/a1/N
=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0
: "n>n0
1-E<a-1/N
<a1/N
<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0
, то
a-1/N
<aX
<a1/N
=> 1-E<aX
<1+E. => Lim aX
=1 (при x®0)
6) aX
- непрерывна
Lim aX
=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX
в точке 0 => aX
-aXo
= aXo
(aX-Xo
- 1) при х®x0
x-x0
n®0 => aX
-x0
n®1 => при х®x0
lim(aX
- aXo
)=
Lim aXo
*Lim(aX-Xo
- 1) = x0
* 0 = 0 => aX
- непрерывна
33.Предел функции (1+x)1/X
при x
®
0 и связанные с ним пределы.
1) Lim (1+x)1/X
= e при x®0
У нас есть Lim (1+1/n)n
= e при n®¥
Лемма:
Пусть nK
®¥ nK
ÎN Тогда (1+1/nK
)Nk
®e
Доказательство:
"E>0 $k0
: "n>n0
0<e-(1+1/n)n
<E => nK
®¥$ k0
: "k>k0
=> nK
>n0
=> 0<e-(1+1/nk
)Nk
<E
Lim (1+xK
)1/Xk
при x®0+:
1/xK
=zK
+yK
, zK
ÎN => 0£yK
<1 => (1+1/zK+1
)Zk
<(1+xK
)1/Xk
< (1+1/zK
)Zk+1
=(1+1/zK
)Zk
*(1+1/zK
)=>(1+1/zK+1
)Zk
=(1+1/zK+1
)Zk+1
)/(1+1/zK+1
) => (1+1/zK+1
)Zk+1
/(1+1/zK+1
) < (1+xK
)1/Xk
< (1+1/zK
)Zk
*(1+1/zK
) k®¥ учитывая, что: (1+1/zK
)®1 (1+1/zK+1
)®1 => получаем:
e£Lim (1+xK
)1/Xk
£e => Lim (1+xK
)1/Xk
=e => Lim (1+x)1/X
=e при x®0+
Lim (1+xK
)1/Xk
при x®0-:
yK
=-xK
®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X
=e при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X
=e при x®0
2) n®¥ lim (1+x/n)N
= (lim (1+x/n)N/X
)X
= eX
3) x®xa
aÎR - непрерывна
xa
=(eLn x
) a
=ea
*Ln x
непр непр непр непр
x®Ln x®a*Ln®a
*Ln x
=> x®ea
*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X
= Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA
(1+x)1/X
= 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX
-1)/x = {eX
-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX
-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a
-1)/x = Lim ([e a
*Ln (1+x)
-1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a
34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.
Теорема:
Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN
), такую что Lim cN
=m. Т.к. "nÎN: cN
<m то $ xN
Î[a,b]: cN
<f(xN
)£m. xN
- ограничена => $ xKn
®a. Т.к. a£xКn
£b => aÎ[a,b].
Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKn
®m.
Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем cKn
®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn
<f(xKn
)£m, получим
Lim f(xKn
)=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(xKn
)=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней
граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается аналогично.
35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
Определение:
"Е>0 $d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.
Определение:
Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<d, x’,x”ÎI}, IÍDf.
Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:
1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1
Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: "Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0
36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.
Теорема:
Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK
, х’K
Î[a,b]: |хK
-х’K
|<1/к |f(xK
)-f(x’K
)|³E
Т.к хK
- ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs
сходящуюся к х0
. Получаем: |хKs
-х’Ks
|<1/к
хKs
-1/k<х’Ks
<хKs
-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ks
®х0
kS
®¥ |f(xKs
)-f(x’Ks
)|³E кS
®¥ => 0³E - противоречие с условием.
37.Определение производной и дифференциала.
Касательная в точке x0
к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим x0
и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при х®x0
, если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0
,f(x0
) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0
)+f(x0
). Необходимо только опр-ть наклон k
касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0
+DхÎХ. Рассмотрим секущую МО
М, МО
(x0
,f(x0
)), М(x0
+Dх,f(x0
+Dх)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0
)+f(x0
), где k=f((x0
+Dх)-f(x0
))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона k
возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0
))+x0
перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0
(Lim x=Lim x0
Dх®0 => x = Lim x0
)
Определение:
Производным значением функции f в точке х0
называется число f’(х0
)=Lim (f(x0
+Dх)-f(x0
))/ Dх x®x0
, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0
) - это наклон невертикальной касательной в точке (x0
,f(x0
)). Уравнение касательной y=f’(x0
)*(x-x0
)+f(x0
)
. Если Lim (f(x0
+Dх)-f(x0
))/Dх=¥Dх®0, то пишут f`(x0
)=¥ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0
. f`(x0
)=lim(f(x0
+Dх)-f(x0
))/Dх x®x0
=>(f(x0
+Dх)-f(x0
))/Dх=f’(x0
)+a(x), a(x)®0 при x®x0
. f(x0
+Dх)-f(x0
)=f`(x0
)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x0
+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0
) получим f(x)=f’(x0
)*(x-x0
)+f(x0
)+o(x-x0
). Необхо димо заметить, что o(x-x0
) уменьшается быстрее чем (x-x0
) при x®x0
(т.к. o(x-x0
)/(x-x0
)®0 при x®x0
)
Определение:
Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0
если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0
f(x)=С(x-x0
)+f(x0
)+o(x-x0
)
Теорема:
Функция диффференцируема в точке x0
<=> $ f’(x0
)
Доказательство:
<=: f(x)=f’(x0
)*(x-x0
)+f(x0
)+o(x-x0
) => f`(x0
)=C
=>: f(x)=C(x-x0
)+f(x0
)+o(x-x0
) => (f(x)-f(x0
))/(x-x0
)=C+o(x-x0
)/(x-x0
)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0
.
Переходим к пределу при x®x0
=> Lim (f(x)-f(x0
))/(x-x0
)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0
)
Определение:
Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0
, то линейная функция Dх®f’(x0
)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0
и
обозначается df(x0
). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x0
):Dх®f`(x0
)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0
)=f’(x0
)*dх => df(x0
)/dх: Dх®f`(x0
)*Dх/Dх=f’(x0
) при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0
)=df(x0
)/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.
Теорема:
Если ф-ция f диф-ма в точке x0
, то f непрерывна в точке x0
.
Докозательство: f(x)=f(x0
)+f’(x0
)*(x-x0
)+o(x-x0
)®f(x0
) при x®x0
=> f непрерывна в точке x0
.
Определение:
Нормаль к ф-ции f в точке x0
: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0
. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0
)*(x-x0
)+f(x0
)
38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
Теорема:
Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0
, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0
)¹0) дифференцируемы в точке x0
и:
1) (f+g)’(x0
)=f’(x0
)+g’(x0
)
2) (f*g)’(x0
)=f’(x0
)*g(x0
)+f(x0
)*g’(x0
)
3) (f/g)’(x0
)=(f’(x0
)*g(x0
)-f(x0
)*g’(x0
))/g(x0
)2
Доказательство:
1) Df(x0
)=f(x0
+Dx)-f(x0
)
Dg(x0
)=g(x0
+Dx)-g(x0
)
D(f+g)(x0
)=Df(x0
)+Dg(x0
)=f(x0
+Dx)-f(x0
)+g(x0
+Dx)-g(x0
)
D(f+g)(x0
)/Dx=(f(x0
+Dx)-f(x0
)+g(x0
+Dx)-g(x0
))/Dx=(f(x0
+Dx)-f(x0
))/Dx+(g(x0
+Dx)-g(x0
))/Dx®f’(x0
)+g’(x0
) при Dx®0
2)D(f*g)(x0
)=f(x0
+Dx)*g(x0
+Dx)-f(x0
)*g(x0
)=(f(x0
)+Df(x0
))*(g(x0
)+D(x0
))-f(x0
)*g(x0
)=g(x0
)*Df(x0
)+f(x0
)*Dg(x0
)+Df(x0
)*Dg(x0
) D(f*g)(x0
)/Dx=g(x0
)*(Df(x0
)/Dx)+f(x0
)*(Dg(x0
)/Dx)+(Df(x0
)/Dx)*(Dg(x0
)/Dx)*Dx®f’(x0
)*g(x0
)+f(x0
)*g’(x0
) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0
=> Ф-ция g - непрерывна в точке x0
=> "Е>0 (Е=|g(x0
)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0
+Dx)-g(x0
)|<|g(x0
)|/2.
g(x0
)-|g(x0
)|/2<g(x0
+Dx)<g(x0
)+|g(x0
)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что g(x0
+Dx)¹0.
Рассмотрим разность (1/g(x0
+Dx)-1/g(x0
))/ Dx = -(g(x0
+Dx)-g(x0
))/Dx*g(x0
+Dx)*g(x0
) ® -g’(x0
)/g(x0
)2
при Dx®0
(f/g)’(x0
)=(f*1/g)’(x0
) => (2) = f’(x0
)*1/g(x0
)+f(x0
)*(1/g)’(x0
)=f`(x0
)*1/g(x0
)+f(x0
)*(-g’(x0
)/g(x0
)2
)=(f’(x0
)*g(x0
)-f(x0
)*g’(x0
))/g(x0
)2
Теорема:
Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)
1) Sin’(x0
) = Cos (x0
)
2) Cos’(x0
) = -Sin (x0
)
Доказательство:
1) Df/Dx=(Sin(x0
+Dx)-Sin(x0
))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0
+Dx/2) ® Сos x0
при Dx®0
2) Dg/Dx=(Cos(x0
+Dx)-cos(x0
))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0
+Dx/2) ® -Sin x0
при Dx®0
Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.
39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.
Теорема:
Пусть функция g диф-ма в точке x0
, а ф-ция f диф-ма в точке y0
=g(x0
), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0
и h’(x0
)=f`(y0
)*g’(x0
)
Доказательство:
Dy=y-y0
, Dx=x-x0
, Df(y0
)=f’(y0
)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0
+Dx)
Dh(x0
)=f(g(x0
+Dx))-f(g(x0
))=f(y)-f(y0
)=f’(y0
)*Dy+o(Dy)=f’(y0
)*(g(x0
+Dx)-g(x0
))+o(Dg)==f’(y0
)*(g’(x0
)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0
)*g’(x0
)*Dx+f’(y0
)*o(Dx)+o(Dy)
Dh(x0
)/Dx=f’(y0
)*g’(x0
)+r, r=f`(y0
)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx
r=f`(y0
)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0
)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0
)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0
)*0 + 0*g’(y0
) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)
Производная:
1) xa
=a*xa
-1
Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a
-xa
)/Dx = Lim xa-1
* ((1+Dx/x)a-1
)/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a
-1)/x=a, получим Dx®0
Lim xa-1
*Lim((1+Dx/x)a-1
)/Dx/x = a*xa-1
2) (aX
)’=aX
*Ln a (x®aX
)’=(x®eX
*Ln a)’
x®eX
*Ln a - композиция функций x®еX
и x®x*Ln a обе непрерывны на R => (x®aX
)’=(x®е X
*Ln a)’=(x®еX
*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX
*Ln a
Д-во : (eX
)’=eX
Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+
D
X
-eX
)/Dx=LimeX
*(eD
X
-1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(eX
-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX
3) (LogA
(x))’=1/x*Ln a
Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA
(x+Dx) - LogA
(x))/Dx = Lim 1/x*LogA
(1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA
(1+x)/x=1/Ln a, получим
Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA
(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a
40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
Предложение:
Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0
, то g’(y0
)=1/f’(x0
), где y0
=f(x0
)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0
))=g’(f(x0
))*f’(x0
)=1, g’(f(x0
))=g(y0
)=1/f’(x0
)
Теорема:
Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0
Î(a,b) и f’(x0
)¹0, то g диф-ма в точке y0
=f(x0
) и g’(y0
)=1/f’(x0
)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0
: yN
®y0
, yN
¹y0
=> $ посл-ть xN
: xN
=g(yN
), f(xN
)=yN
g(yN
)-g(y0
)/yN
-yO
= xN
-xO
/f(yN
)-f(yO
) = 1/f(yN
)-f(yO
)/xN
-xO
® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN
®xO
g(yN
)-g(yO
)/yN
-yO
®1/f’(xO
) => g’(уO
)=1/f’(xO
)
Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2
y)1/2
= 1/(1-x2
)1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2
)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
41.Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение:
Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO
, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO
или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO
и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN
(xO
) - производную порядка n функции f в точке xO
и при n=0 считаем f0
(xO
)=f(xO
).
Замечание:
Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO
(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1
(x) непрерывна в точке xO
, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO
.
Определение:
Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO
называют функцию dх®fN
(x)*dх и обозначают dN
f(x). Таким образом dN
f(x):dх®fN
(x)dxN
.
Так как fN
(x)dхN
:dх®fN
(x)dxN
, то dN
f(x)=fN
(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN
(x) обозначают также dN
f(x)/dхN
Инвариантность:
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2
y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2
)dx => d2
y=у”(х2
)dx2
x+y’(x)*d2
x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2
y=у’(х2
)*dx2
x => неинвариантность формы второго диф-ла.
Формула Лейбница:
f(x)=u(x)*v(x)
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0
*vN+1
входит только во вторую сумму с коэффициентом С0
N
=1. Произведение uN+1
*v0
входит только в первую сумму с коэффициентом СN
N
=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK
*vN+1-K
. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>
получаем fN+1
(x)=u0
*vN+1
++ uN+1
*v0
=
44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.
Теорема:
Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).
Теорема:
Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].
Доказательство:
1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) => f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).
Следствие:
Если xO
-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO
имеет разные знаки, то xO
-экстремальная точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO
®(-) => локальный min, (-)®xO
®(+) => локальный max
46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.
Определение:
Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ
[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ
[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1
=1-t, l2
=t => l1
+l2
=1 l1
,l2
³0 => l1
А+l2
ВÎМ
Рассмотрим точки: А1
,А2
,...АN
ÎМ l1
,l2
³0 S(i=1,n): lI
= 1
Докажем что S(i=1,n): lI
*АI
ÎМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:
а) lN
=1 => приравниваем l1
=...=l N-1
=0 => верно
б) lN
<1 l1
*А1
+...+ lN-1
*А N-1
+ l N
*А N
= (1-l N
)((l1
/1-l N
)*А1
+...+(lN-1
/1-l N
)*А N-1
) + l N
*А N
= (1-l N
)*B + l N
*А N
BÎМ - по индуктивному предположению А N
ÎМ - по условию=>(1-l N
)*B + l N
*А N
ÎМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
Определение:
Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.
Условие Йенсена:
АI
ÎМ lI
³0 S(i=1,n): lI
=1 => S(i=1,n): lI
*АI
ÎМ, xI
³0, f(xI
)£yI
=> S(i=1,n): lI
*АI
= (SlI
*xI
;SlI
*yI
) => f(SlI
*xI
)£SlI
*yI
Неравенство Йенсена:
АI
ÎМ lI
³0 SlI
=1f(SlI
*xI
)£SlI
*f(xI
)
47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
Теорема:
Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~
2) "x’,xO
,x”Î(a;b) x’<xO
<x” =>
(f(xO
)-f(x’))/(xO
-x’)£(f(x”)-f(xO
))/(x”-xO
). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.
Доказательство:
“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO
-x’)³(f(xO
)-f(x’))/(xO
-x’) => y³f(xO
); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO
)£(f(x”)-f(xO
))/(x”-xO
) =>y£f(xO
)
(f(xO
)-f(x’))/(xO
-x’)£(f(x”)-f(xO
))/(x”-xO
)
“<=”