Пытьев Ю.П.
Московский государственный университет, Москва,
Россия
1. Введение
Хорошо
известно, что изображения одной и той же сцены,
полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1]
оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство
порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации
изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий
регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного
объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне
при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной
и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы
морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для
решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к
черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно
эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два
обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов
анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения
объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона.
Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически
устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном
распределении интенсивности спектрально однородного освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального
изображения.
Рассмотрим
некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных
(спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии
[12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными
чувствительностями j=1,2,...,n,
где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку
излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную
спектральную чувствительность детекторов ,
lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал назовем
яркостью излучения e(×). Вектор назовем цветом излучения
e(×). Если цвет e(×) и само
излучение назовем черным. Поскольку равенства и эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного
цвета, причем в этом случае -
произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем
белым и его цвет обозначим если
отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:
.
Векторы , и , , удобно считать элементами n-мерного
линейного пространства . Векторы fe,
соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в
конусе .
Концы векторов содержатся в
множестве , где Ï -
гиперплоскость .
Далее предполагается, что всякое
излучение , где E - выпуклый конус
излучений, содержащий вместе с любыми излучениями все
их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому
векторы в образуют выпуклый конус , а векторы .
Если то и их аддитивная смесь
. Для нее
. (1)
Отсюда следует
Лемма
1. Яркость fe и цвет je любой аддитивной смеси e(×) излучений
e1(×),...,em(×), m=1,2,...
определяются яркостями и цветами слагаемых.
Подчеркнем,
что равенство , означающее
факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит
сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе.
Однако замена e(×) на в любой
аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее
предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые
излучения , для которых векторы , j=1,...,n,
линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от
черного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,n. В
таком случае излучение характеризуется
лишь цветом , j=1,...,n.
Для
всякого излучения e(×) можно записать разложение
, (1*)
в котором -
координаты в базисе ,
или, в виде выходных
сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го
детектора, отвечающий j-ому излучению ej(×), i, j=1,...,n. Матрица - стохастическая, поскольку
ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны
и , j=1,...,n.
При этом яркость и вектор цвета , , j=1,...,n,
(конец которого лежит в Ï) определяются координатами aj и цветами излучений , j=1,...,n,
и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).
В ряде
случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а
не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в
(1*) отвечают равные координаты: .
Заметим,
что слагаемые в (1*), у которых aj<0,[3]
физически интерпретируются как соответствующие излучениям,
"помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: . В такой
форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.
Определим
в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные
с : , i,j=1,...,n.
Лемма
2. В разложении (1*) , j=1,...,n,
. Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.
Что касается скалярного проиведения , то его естественно
определять так, чтобы выходные сигналы детекторов были координатами fe
в некотором ортонормированном базисе .
В этом базисе конус . Заметим, что для
любых векторов и, тем более, для
, [4].
Пусть Х - поле зрения,
например, ограниченная область на плоскости R2, или на сетке , спектральная
чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке ;
- излучение, попадающее в
точку . Изображением назовем
векторнозначную функцию
(2**)
Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х,
С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра
подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством
, (2)
в котором почти для всех , , - m-измеримые
функции на поле зрения X, такие, что
.
Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций . Класс цветных изображений
обозначим LE,n.
Впрочем,
для упрощения терминологии далее любой элемент называется
цветным изображением, а условие
(2*)
условием физичности изображений f(×).
Если f(×) - цветное изображение (2), то ,
как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение , назовем черно-белым
вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках
множества Â={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x),
xÎÂ, -
произвольные векторы из ,
удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом
цветного изображения f(×) будем также
называть цветное изображение b(×), имеющее в каждой
точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x),
xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.
3. Форма цветного изображения.
Понятие формы изображения
призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности
изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований
изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно
часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном
спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности
освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются
преобразованием , в котором
множитель k(x) модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении
цвета. При этом в каждой точке у вектора
f(x) может измениться длина, но направление останется
неизменным.
Нередко изменение
распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и
его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в
пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и
цветом j нет взаимно
однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x)
в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):,
ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество
поля зрения в точках которого
изображение , имеет постоянный цвет .
Пусть при рассматриваемом
изменении освещения и, соответственно,
;
предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного
изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(j), хотя, вообще
говоря, - другим, отличным от j.
Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если - самое детальное
изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j¢) и A(j) цвет изображения может
оказаться одинаковым[5].
Как правило,
следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех
случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования
из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью
до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия
формы цветного изображения f(×) на удобно
ввести частичный порядок p , т.е.
бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1),
2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с
определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как
это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает,
что изображения f(×) и g(×) сравнимы по форме, причем форма
g(×) не сложнее, чем
форма f(×). Если
и , то f(×) и g(×) назовем совпадающими по
форме (изоморфными), f(×)
~ g(×). Например, если f(×) и g(×) - изображения одной и той же
сцены, то g(×),
грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее,
детальнее), чем f (×),
если .
В рассматриваемом выше
примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A¢(j¢), существует
взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A¢(j¢(j))= A(j),, причем, если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково
детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=U
A(j) и . В этом случае
равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не
все детали сцены, представленные в .
Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX.
Если преобразование -
следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) -
изображения одной и той же сцены, но в g(×),
вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю,
то . Пусть F - некоторая полугруппа
преобразований , тогда для любого
преобразования FÎF ,
поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем более, не
будут отражены в g(×).
Формой изображения f(×) назовем множество
изображений , форма которых не сложнее,
чем форма f`(×),
и их пределов в (черта
символизирует замыкание в ). Формой
изображения f(×) в
широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать,
что отношение p непрерывно
относительно сходимости в в том
смысле, что .
Рассмотрим теперь более
подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их
преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного
изображения.
Во многих практически
важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована
специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде здесь - индикаторные функции
непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной
меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , , j=1,...,n, i=1,...,N,
непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
, (3)
то цветное изображение fe(×), такого объекта
характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на
каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для
изображения , где , также характерно
напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai, если , - непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость постоянны на Ai,
i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если не зависит явно от . Для такого
изображения примем следующее представление:
, (4)
его черно-белый вариант
(4*)
на каждом Ai имеет
постоянную яркость , и цвет
изображения (4)
(4**)
не меняется на Ai
и равен , i=1,...,N.
Поскольку для реальных
изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения
(4), имеющего на различных множествах Аi имеет несовпадающие
яркости и различные цвета , определим как выпуклый
замкнутый в конус:
. (4***)
v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном
подпространстве
, (4****)
которое назовем формой a(×) в широком смысле.
Форму в широком смысле
любого изображения a(×),
у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных
подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное
подпространство , натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF,
где F - класс преобразований ,
определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во
всех точках xÎX;
здесь F - любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать
недоразумения.
Изображения из
конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×) (4), поскольку некоторые
из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных
множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества
оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению
формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного
объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)),
если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3. Пусть {Аi}
- измеримое разбиение X: .
Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai
:
- постоянную яркость
и цвет , если и только если
выполняется равенство (4);
- постоянный цвет , если и только если в
(3) ;
- постоянную яркость
fi , i=1,...,N, если и только если в (3) не зависит от
, i=1,…...,N.
Доказательство . На множестве Ai
яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]
,
, i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4).
Если , то
цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной
независимости координаты j(i)(x) не
зависят от , т.е. и, следовательно, где - яркость на A i
и . Последнее утверждение
очевидно n
Цвет изображения определяется как
электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и
спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне,
который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном
составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное
так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего
излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения
несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в
значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в
задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет
понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное
распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai ,
i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
, (5)
где, - индикаторная
функция Ai, , функция
gi(×)
задает распределение яркости
(6)
в пределах Ai при постоянном цвете
,
i=1,...,N, (7)
причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,.…..,N,
считаются попарно различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, -
удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без
потери общности можно принять условие нормировки ,
позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С
учетом нормировки распределение яркости на Ai задается
функцией а цвет на Ai
равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех
изображений
(8)
,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет
постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких
изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в
изображении на некоторых различных
подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета,
которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение
цвета на различных подмножествах Ai,
i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по
сравнению с формой f(×) (5). Все изображения , имеющие различный цвет на
различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма
остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .
Если в (8) яркость , то цвет на Ai
считается произвольным (постоянным), если же в
точках некоторого подмножества , то
цвет на Ai
считается равным цвету на , i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5).
Если же по условию задачи все изображения ,
форма которых не сложнее, чем форма , должны
иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует потребовать,
чтобы , в то время, как яркости остаются
произвольными (если , то цвет на Ai
определяется равным цвету f(×) на Ai,
i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно
мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные
изменения яркости при неизменном
цвете j(x) в каждой точке
. Множество, содержащее все
такие изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти
для всех , [ср. 2]. является линейным
подпространством , содержащем любую
форму
, (10)
в которой включение определяет
допустимые значения яркости. В частности, если означает,
что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус
в , принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть
получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма
определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано
представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений.
Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи
приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач
позволит построить форму изображения в том
случае, когда считается, что для
любого преобразования , действующего на
изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в
широком смысле определяется как
оператор наилучшего приближения
изображения изображениями
где - класс
преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что
(10*)
а -
оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее,
чем форма . Характеристическим для является тот факт, что,
если f(x)=f(y), то для любого .
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и
яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , требуется
определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и
требуется определить из условия
(11)
Теорема
1. Пусть .
Тогда решение задачи (11) имеет вид
, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)
и искомое
изображение (4) задается равенством
. (13)
Оператор является ортогональным
проектором на линейное подпространство (4****) изображений (4),
яркости и цвета которых не изменяются в пределах
каждого Ai , i=1,...,N.
Черно-белый
вариант (4*) цветного
изображения (4) является
наилучшей в аппроксимацией черно-белого варианта цветного
изображения f(×) (2), если цветное изображение (4) является наилучшей в
аппроксимацией цветного
изображения f(×) (2). Оператор , является
ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений,
яркость которых постоянна в пределах каждого .
В точках множества цвет (4**) наилучшей
аппроксимации (4) цветного
изображения f(×) (2) является цветом
аддитивной смеси составляющих f(×) излучений,
которые попадают на .
Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной
квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче
(11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует
из равенства
,
вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из
равенств
,i=1,...,N
вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить
на xÎX. ■
Замечание
1. Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторы
и определяют
соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком
смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на
каждом и различна для разных ,[2].
Если
учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать
проектор на
выпуклый замкнутый конус (4***)
Аналогично формой
черно-белого изображения следует считать проектор на
выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2]. Дело в том, что оператор определяет
форму изображения (4), а именно
-
множество собственных функций оператора . Поскольку f(×) -
наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - .
Поэтому проектор можно
отождествить с формой изображения (4).
Аналогично
для черно-белого изображения a(×)
,[7]
[2]. И проектор можно
отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в
широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как
транзитивность проецирования. Именно, если оператор
наилучшего в приближения злементами
выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для
определения наилучшего в приближения
элементами можно вначале найти
ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный
проектор для каждого конкретного
конуса может быть реализован
методом динамического программирования, а для многих задач морфологического
анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П
.
Форма
в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением
, последнее, в свою очередь
определяется изображением
,
если векторы попарно
различны. Если при этом , то
форма в широком смысле может быть
определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством
(13).
Посмотрим, каким образом
воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как
оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного
изображения . Пусть - множество значений и - измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах
которого изображение имеет постоянные
яркость и цвет, определяемые вектором ,
если .
Однако для найденного разбиения
условие , вообще говоря, невыполнимо
и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П
на . Покажем, что П
можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных
проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно
представить в виде предела (в ) должным
образом организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где -
индикатор множества ,
принадлежащего измеримому разбиению
В (*)
можно, например, использовать так называемую исчерпывающую
последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- - C - измеримо, ;
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го,
т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;
- минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.
Лемма (*). Пусть - исчерпывающая
последователь-ность разбиений X и - то
множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой
функции
и m-почти для всех [
]. n
Воспользуемся этим результатом для
построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть - минимальная s-алгебра,
относительно которой измеримо , т.е.
пусть , где - прообраз борелевского
множества , B - s-алгебра
борелевских множеств . Заменим в
условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от
, исчерпывающую
последовательность ( - измеримых) разбиений
в лемме (*).
Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая
последовательность разбиений X, причем - минимальная
s-алгебра, содержащая все и
П(N) - ортогональный проектор ,
определенный равенством ,
Тогда
1) для любого -измеримого
изображения и почти для всех , ,
2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный
проектор на .
Доказательство. Первое утверждение
непосредственно следует из леммы (*) и определения .
Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)
- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то
последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно
неубывает: и потому сходится
(поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их
пределов (в ), а в силу
леммы (*) для любого -измеримого
изображения
, то для
любого изображения и для любого ,
ибо -измеримо, N=1,2,...
n
Вопрос о том, каким образом может
быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в
следующем пункте.
Заданы
векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого
наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq.
Рассмотрим задачу приближения цветного
изображения f(×), в которой задано не разбиение поля зрения X, а
векторы в , и требуется построить
измеримое разбиение поля зрения,
такое, что цветное изображение -
наилучшая в аппроксимация f(×). Так как
, (14*)
то в Ai
следует отнести лишь те точки , для
которых , =1,2,...,q, или, что
то же самое, =1,2,...,q. Те точки,
которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам,
должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся
считать, что запись
, (14)
означает, что
множества (14) не пересекаются и .
Чтобы
сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим
разбиение , в котором
(15)
и звездочка указывает
на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F,
действующий из в по формуле , , i=1,...,q.
Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было
считать эквивалентными. [8]
Теорема
2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи
наилучшего в приближения изображения f(×) изображениями имеет вид , где - индикаторная функция
множества . Множество определено равенством (15).
Нелинейный оператор , как всякий
оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е.
является пректором.
Замечание
2. Если данные задачи доступны лишь в
черно-белом варианте, то есть заданы числа ,
i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3],
искомое разбиение X состоит из множеств
где , и имеет мало общего с
разбиением (14).
Замечание
3. Выберем векторы fi,
i=1,..,q единичной длины: ,
i=1,...,q. Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоск
координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f(×)
инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не
изменяющего его цвет (например ), в
частности, относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого
заданного набора попарно различных векторов оператор
F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения,
принимающего значения соответственно на
измеримых множествах (любого) разбиения
X. Всякое такое изображение является
неподвижной (в ) точкой F:
, если , все они изоморфны между
собой. Если некоторые множества из -
пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую
форму.
Иначе говоря, в данном случае формой
изображения является множество всех
изображений, принимающих заданные значения на
множествах положительной меры любого
разбиения X, и их пределов в .
Теоремы 1 и 2 позволяют
записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями
, в котором требуется
определить как векторы ,
так и множества так,
чтобы
.
Следствие 1.
Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда
необходимые и достаточные условия суть следующие: , где
, .
Следующая рекуррентная процедура, полезная для
уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет
решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*), - соответствующее
оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего
приближения и - невязка.
Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению
(13) , и соответствующий
оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее
точное приближение f(×), чем F(1): .
Выберем теперь в теореме 2 ,
определим соответствующее оптимальное разбиение и
построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по
разбиению строим и оператор П(3)
и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к
вопросу о построении исчерпывающего -измеримого
разбиения X, отвечающего заданной функции .
Выберем произвольно попарно различные векторы из
f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn . Для каждого q=1,2,...
образуем разбиение E(N(q)), множества , j=1,...,N(q),
которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность
соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является продолжением
5.2. Приближение
изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля
зрения X.
Задано разбиение , требуется определить цвет
и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено,
большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется
в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации
произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где .
Пусть A1,...,AN
- заданное разбиение X, -
индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу
наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не
требуя, чтобы
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации
произвольного изображения изображениями,
у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет
должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN
поля
зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим
самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной)
квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном
векторе yi оператора Фi,
отвечающем максимальному собственному значению >0,
,
и равен ,
т.е. . Следовательно, максимум в
(22) равен и достигается, например, при
Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего
приближения изображения изображениями
g(×) (17) является
изображение
(24)
Операторы ,i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: Пi
проецирует в Rn векторы на линейное подпространство ,
натянутое на собственный вектор оператора
Фi (23), отвечающий наибольшему собственному
значению ri,
; (25)
П проецирует в изображение на минимальное линейное
подпространство , содержащее все
изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и
выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на
собственные значения для оператора Фi (23).
Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно
определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все
собственные значения Фi неотрицательны и среди
них ri - наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем
обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат
двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26)
не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать
операторы (26) проекторами.
Пусть fi
- cсобственный вектор Фi , отвечающий
максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует
решить задачу на собственные значения для оператора :
.
Поскольку rank=1,
имеет единственное
положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi.
Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*)
для n
Лемма 4. Для любого
изображения решение (24)
задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .
Доказательство. Достаточно доказать,
что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi
оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri,
можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно,
если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим,
что ,i=1,...,N, а поэтому
и в (24) .
Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе
e1,...,en, в котором ,
выходной сигнал i-го детектора в точке (см.
замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,
где , .
Так как матрица симметрическая и
неотрицательно определенная () она
имеет n неотрицательных собственных значений,
которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные
элементы , то согласно теореме
Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение -
алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно
выбирать неотрицательным:
. Следовательно, вектор fi определен
с точностью до положительного множителя ,
. n
Замечание 4.
Если , т.е. если
аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в
теореме 3 , .
Наоборот, если ,
то
, т.е. определяется выражением
(17), в котором .
Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы
f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета
всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть
множество решений уравнения
,, (27)
где , fi - собственный
вектор оператора Фi: ,
отвечающий максимальному собственному значению ri,
i=1,...,N . В данном случае , если и только если
выполнено равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи
наилучшего приближения ,
естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).
Заданы векторы цвета j1,..., jq, требуется определить разбиение A1,...,
Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет
соответственно цвета j1,..., jq и оптимальные распределения яркостей [10].
Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения
изображения
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не
требуя, чтобы . Так как для
любого измеримого
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в
равенстве (14): точки xÎX, в которых
выполняется равенство могут
быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.
Пусть
- разбиение , в котором
(32)
а F: Rn->
Rn оператор,
определенный условием
(33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в
виде
, (34)
где -
индикаторная функция множества Ai (31), i=1,...,q и F
-оператор, действующий в по
формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на
минимум (29) с условием физичности
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с
условием физичности имеет вид
, (37)
где -
индикаторная функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34)
полезно определить оператор F+: Rn->
Rn,
действующий согласно формуле
(39)
где
, так что ,i=1,...q. (40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Решение задачи (28)
наилучшего в приближения
изображения изображениями
на искомых множествах A1,...,Aq разбиения X заданные цветами
j1,..., jq соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1,...,Aq
определено в (31). Требование физичности
наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое
разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно
любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность,
преобразования, неизменяющего его цвет.
Формой в широком смысле
изображения, имеющего заданный набор цветов j1,..., jq на некоторых множествах
положительной меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать оператор (34),
формой такого изображения является оператор F+ (37). Всякое
такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности
яркостей), удовлетворяет уравнению F+g(×)=g(×), те
из них, у которых m(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные
имеют более простую форму. n
В заключение этого раздела вернемся
к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного,
удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме
изображения , заданного распределением
цвета , при произвольном
(физичном) распределении яркости, например, .
Для определения формы рассмотрим задачу
наилучшего в приближения изображения такими изображениями
, (41)
Теорема 5. Решение задачи (41) дается
равенством
, (42)
в котором , где
. Невязка приближения
, (43)
( !) n
Определение. Формой
изображения, заданного распределением цвета ,
назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или - проектор на
.
Всякое изображение g(×),
распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится
в и является неподвижной
точкой оператора
: g(×) = g(×). (#)
Поскольку на самом деле детали
сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не
представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той
области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что - форма любого изображения f(x)
= f(x)j(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие
изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),
удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).
Замечание 5. Пусть j1,..., jN - исходный набор цветов, , A1,...,AN
- соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и
, (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в
равенстве (24)
, (24*)
если A1,...,AN -
исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1,...,AN -
заданное в теореме 3 разбиение X
и f1,...,fN -
собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)
соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f1,...,fN
и будет выполнено равенство
(24), если в (34*) определить ji как цвет fi в (24), i=1,...,N.
Проверка этого замечания не
представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в
пределах каждого Ai, i=1,...,N.
Разумеется, условие постоянства
цвета на множествах Ai, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью.
Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai, i=1,...,N, например, выбрав вместо
(17) класс изображений
(17*)
в котором в
(3).
Поскольку в задаче наилучшего
приближения f(×)
изображениями этого класса предстоит найти ,
векторы при любом i=1,...,N,
можно считать ортогональными, определив
, (*)
из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N
векторы должны быть определены из
условия
(**)
при дополнительном условии ортогональности
. Решение этой задачи дается в следующей лемме
Лемма 5. Пусть ортогональные собственные
векторы оператора Фi (23), упорядоченные по убыванию
собственных значений:
.
Тогда решение задачи (**) дается равенствами .
Доказательство. Заметим, что,
поскольку Фi - самосопряженный неотрицательно
определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его
собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали
ортогональный базис в Rn. Пусть Pi
- ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку собственных векторов и
[Pi Фi Pi]
- сужение оператора Pi Фi Pi на . Тогда левая часть (*)
равна следу оператора [Pi Фi Pi]
, где - j-ое
собственное значение оператора (см.,
например, [10]). Пусть . Тогда
согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда
следует утверждаемое в лемме. ■
Воспользовавшись выражениями (*) и
леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение,
аналогичное теореме 3.
Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×)
изображениями (17*) имеет вид
,
Где :
ортогональный проектор на линейную оболочку ,
собственных векторов задачи
.
Невязка наилучшего приближения
равна
. n
Рассмотрим теперь задачу наилучшего
приближения изображения f(×) изображениями
(17), в которых заданы и фиксированы векторы ,
и надлежит определить измеримое разбиение и
функции , как решение задачи
(30)
При любом разбиении минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством
(20). В свою очередь, очевидно, что
(31)
где точки ,
в которых выполняется равенство могут
быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено
звездочкой в (31).
Таким образом доказана
Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является
изображение
,
где ортогональный проектор определен равенством
(25), а - индикаторная
функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения
равна
. n
Замечание 5. Так как при
,
то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде
,
(32)
показывающем, что множество в (32) инвариантно
относительно любого преобразования изображения ,
не изменяющего его цвет.
Теоремы
3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего
приближения изображения f(×)
изображениями (17), при котором должны быть найдены и ci0 , i=1,...,N,
такие, что
.
Теорема 7. Для
заданного изображения f(×) определим множества равенствами (32), оператор
П - равенством (24), -
равенствами (25). Тогда ,
определено равенством (32), в
котором - собственный
вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем
в (23) , наконец, будет
дано равенством (20), в котором , где - собственный вектор
оператора , отвечающий
наибольшему собственному значению ; наконец,
.
n
Замечание 6. Следующая
итерационная процедура полезна при отыскании : Для
изображения f(×)
зададим и по теореме 5
найдем и , затем по теореме 3,
используя найдем и . После этого вновь воспользуемся
теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким
образом последовательность изображений очевидно
обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится.
К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности
.
Формы (10) и (9) удобно задавать операторами
Пf и
П*f
соответственно.
Теорема 7. Форма
в
широком смысле изображения определяется
ортогональным проектором П*f :
,
при этом и
.
Доказательство.
Так как для , то получаем первое
утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу
на минимум ,
решение которой определяется условиями (см., например, [11])
. Отсюда следует, что и тем самым доказано и
второе утверждение n
Замечание. Так как , где fi(x) - выходной
сигнал i-го детектора в точке , причем fi(x)³0 ,i=1,...,n,
и, следовательно цвет реальных
изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных
изображений ,
условия и , эквивалентны. Если же для
некоторого , то условие не влечет . Заметим также, что для
изображений g(×),
удовлетворяющих условию , всегда
.
Для спектрозональных
изображений характерна ситуация, при которой k детекторов
регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого
света, а остальные n-k регистрируют собственное
тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое
изображение можно представить разложением
(40)
В котором
.
Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с
собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения
изображениями f(×) ,
в которых f1(×)
- любая неотрицательная функция из ,
j1(×) - фиксированное векторное поле цвета, f2(×) - термояркость, j2(×) -
термоцвет в точке . Форма П*f видимой компоненты f(×) (40)
определяется как оператор наилучшего приближения в задаче
,
в данном случае
,
причем П*f
действует фактически только на "видимую
компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в
ноль.
Форма ИК компоненты f(×) может
быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j2(×) f2(×).
Некоторые применения.
Задачи идентификации
сцен.
Рассмотрим вначале задачи
идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими
преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами,
в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и
неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных
оптических характеристиках сцены.
1). Задачи
идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.
Можно ли считать f(×) и g(×)
изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями
яркости, например, наличием теней?
В простейшем случае для
идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно
считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета
, для которого v(j(×))
содержит f(×) и g(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а
именно, , , если , , если , и, наконец, - произвольно, если .
На практике удобнее использовать
другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и
выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×)
изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ
следует считать утвердительным, если
.
Здесь j(×) -
распределение цвета на изображении f(×), символ ~0
означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей,
или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим
несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие
объекты, изменившие распределение цвета g(×) по
сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .
2).Идентификация при произвольном
изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении
спектрального состава освещения.
Можно ли считать изображением сцены,
представленной на изображении f(×), изображение,
полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или
изменением теней и изменением спектрального состава освещения?
Пусть П - форма в широком
смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П*
- форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным,
если . Если изменение g(×)
обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением
и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим
последним обстоятельством будут представлены на .
3). Задачи совмещения изображений
и поиска фрагмента.
Пусть f(×) -
заданное изображение, AÌX - подмножество
поля зрения, cA(×) - его индикатор, cA(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на
подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной
на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное
при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е.
геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача
состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент
изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и
совместить его с cA(×)f(×).
Ограничимся случаем, когда
упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R2->R2, преобразование изображения назовем сдвигом g(×) на h.
Здесь
Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст
.
В задаче выделения и совмещения
фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне”
A:
(100)
причем, поскольку где
то в (100) - ограничение на сдвиг
“окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.
Если кроме цвета g(×) может
отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при
неизменном распределении цвета и - форма
фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей
задаче на минимум
.(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g(×),
соответствующий фрагменту cA(×)f(×), будет
помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h*, совпадает
с cA(×)f(×) с
точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это
означает, что
.
т.е. в (101) при h=h*
достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает
следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые
“видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.
Рассмотрим два изображения и . Определим форму в широком
смысле как множество всех линейных
преобразований : (A - линейный
оператор R2->R2, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на рассмотрим
задачу на минимум
. [*]
Пусть , , тогда задача на минимум
[*] эквивалентна следующей: tr A*AS - 2trAB ~ . Ее решение (знаком - обозначено
псевдообращение).
=
=
Рис.1.
fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), je - его цвет; j1,j2,j3, - векторы (цвета) базовых
излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в
задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ
изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа
изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из
космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует
форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47
стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis,
Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры
реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка
изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И.
Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и
электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.
[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки
полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация,
1984, №5, сс. 118-120.
[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е.
Об автоматизации сравнительного морфологического анализа
электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977,
т. 41, №11, сс. хххх-хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V.
Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in
machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering
Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы
интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые
расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат
1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).
[13] P. Kronberg.
Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.
[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года
и т.п.
[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в
работе[3].
[3] вектор fe будет иметь отрицательные
координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу
[4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn.
[5] Если - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств
A¢(j¢), на каждом из которых цвет постоянный,
но различный на разных подмножествах A¢(j¢). Однако,
поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не
может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную
сцену.
[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой
точке поля зрения Х.
[7]- класс неотрицательных функций принадлежащих
.
[8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и
для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто
используется в работе.
[9]Если m(As)=0, то в задаче
наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As
можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину
невязки s.
[10]Векторы j1,..., jq выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих
интерес.