Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

пункт i	А	Б	В	Д	1	4
yi	0	¥	¥	¥	¥	¥
28	13	17	8,32	9
16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi
используя правило:

Если yj
+ lij
< yi
, то величина yi
= yj
+ lij
, в противном случае yi
оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

yA
+ l4A
=0+9=9 < y4
=¥Þ y4
=9

yA
+ lBA
=0+13=13 < yB
=¥Þ yB
=13

yA
+ l1A
=0+8,32=8,32 < y1
=¥Þ y1
=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi
перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y4
+ lB4
=9+7=16 > yB
=13

y4
+ lД
4
=9+8=17 < уД
=¥Þ yД
=17

yВ
+ lДВ
=13+12=25 > yД
=17

yВ
+ lБВ
=13+15=28 < уБ
=¥Þ yБ
=28

yВ
+ l1В
=13+9=22 > у1
=8,32

y1
+ lВ1
=8,32+10=18,32 > yВ
=13

y1
+ lБ1
=8,32+8,32=16,64 < уБ
=28 Þ yБ
=16,64

yД
+ l4Д
=8,32+17=25,32 > y4
=9

yД
+ lВД
=17+12,32=29,32 > yВ
=13

yБ
+ lВБ
=16,64+15,32=31 > yВ
=13

yБ
+ l1Б
=16,64+8=24,64 > y1
=8,32

Теперь проверим условие lij
³ yi
- yj
для всех дуг сети.

l4A
= у4
- уА
9=9-0

l4Д
>у4
– уД
8,32>9-17

lД4
= уД
– у4
8=17-9

lДВ
>уД
– уВ
12>17-13

lBA
= yB
- yA
13=13-0

lBД
> yB
– yД
12,32>13-17

lBБ
> yB
– yБ
15,32>13-16,64

lB4
> yB
– y4
7>13-9

lB1
> yB
– y1
10>13-8,32

lБВ
>уБ
- уВ
15>16,64-13

lБ1
= уБ
– у1
8,32=16,64-8,32

l1А
= у1
– уА
8,32=8,32-0

l1В
>у1
– уВ
9>8,32-13

l1Б
>у1
– уБ
8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij
= yi
- yj

Таковыми являются:

l4A
= у4
- уА
9=9-0

lД4
= уД
– у4
8=17-9

lBA
= yB
- yA
13=13-0

lБ1
= уБ
– у1
8,32=16,64-8,32

l1А
= у1
– уА
8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

пункт	4	Д	Б	1	В
расстояние до А	9	17	16,64	8,32	13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = SSlij
* xij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

- из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

Sxij
= 1 i=1, ......, n+1

j=1

- в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

Sxij
= 1 j=1, ......, n+1

i=1

- переменные xij
могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

- решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ		Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cp i + E*Kp i уд
т/час	тыс. т/год	1	2	3	4
10	18	484	489	495	481
25	45	423	428	435	420
50	90	405	410	416	401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij
, руб

Пункт размещения	Зона-потребитель
1	28,3	60,3		45,3	90,3
2	61,3	30,3		93,3	48,3
3	50,3	95,3		33,3	62,3
4	99,3	54,3		65,3	36,3

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = SSCij
* xij

i=1 j=1

Ограничения:

n

-Sxij
= ai
i=1, ......, m

j=1

весь продукт ai
имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m

-Sxij
= bj
j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

- xij
³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

xij
– объем перевоз

ок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =135	Ui	Ki
433,3	440,3 < 465,3	449,3 < 450,3	437,3 < 495,3	0
X1 =90	50	40	0	5/9
433,3 < 471,3	440,3	449,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2 =90	60	30	0	6/9
433,3 < 466,3	440,3 < 511,3	449,3	437,3 < 478,3	0
X3 =90	45	45	0	½
433,3 < 500,3	440,3 < 455,3	449,3 < 466,3	437,3	0
X4 =90	70	20	0	7/9
Vj	433,3	440,3	449,3	437,3	0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф
=Sаi
- S bj
= 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij
.

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф
, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui
+ Vj
= Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
).

Проверяем план на оптимальность:

· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui
+ Vj
<Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki
= S xij
/ xi

S xij
– cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi
– мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki
не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki
и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =90	Ui	Ki
433,3	424,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-16< 0
X1 =90	50	40	-16	1
449,3 < 471,3	440,3	466,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2 =90	60	30	0	6/9
449,3 < 485,3	440,3 < 530,3	466,3 < 468,3	437,3 < 497,3	0
X3 =45	45	0	0
449,3 < 500,3	440,3 < 455,3	466,3	437,3	0
X4 =90	5	70	15	0	15/18
Vj	449,3	440,3	466,3	437,3	0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =45	Ui	Ki
433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-18< 0
X1 =90	50	40	-16
452,3 < 489,3	458,3	469,3< 521,3	440,3 < 476,3	1 > 0
X2 =45	45 _	+	3
451,3 < 485,3	457,3 < 530,3	468,3	439,3 < 497,3	0
X3 =45	0 +	_ 45	2
449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-2 < 0
X4 =90	15 +	5 _	70	0
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui
+ Vj
<Сp
i
+ E*Kp
i
+ Cij
поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп
= 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =45	Ui	Ki
433,3	440,3 < 465,3	450,3	422,3 < 495,3	-18 < 0
X1 =90	50	40	-18	1
451,3 < 489,3	458,3	468,3 < 521,3	440,3 < 476,3	0
X2 =45	40	5	0	8/9
451,3 < 485,3	458,3 < 530,3	468,3	440,3 < 497,3	0
X3 =45	5	40	0	1/9
448,3 < 500,3	455,3	465,3 < 466,3	437,3	-3 < 0
X4 =90	20	70	-3	1
Vj	451,3	458,3	468,3	440,3	0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =18	Ui	Ki
433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-78 < 0
X1 =90	50	40	-16	1
452,3 < 489,3	458,3	469,3 < 521,3	440,3 < 476,3	-59 < 0
X2 =45	45	3	1
511,3 < 545,3	517,3 < 590,3	528,3	499,3 < 557,3	0
X3 =18	0	18	62	0
449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-62 < 0
X4 =90	15	5	70	0	1
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения	Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год				Значение целевой функции, zi , тыс.руб.
М1	М2	М3	М4
1	50	60	45	70	98912,5
2	90	60	0	75	99037,5
3	90	40	5	90	100067,5
4 -наилучший	90	45	0	90	100072,5