Этьен Безу
–
французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.
Теорема Безу.
Остаток от деления полинома
P
n
(
x
)
на двучлен (
x
-
a
) равен значению
этого полинома при
x
=
a
.
Пусть :
P
n
(
x
)
– данный многочлен степени n
,
двучлен (
x
-
a
)
- его делитель,
Q
n
-1
(
x
)
– частное от деления P
n
(
x
)
на x
-
a
(многочлен степени n-1 ) ,
R
– остаток от деления ( R
не содержит переменной x
как делитель первой степени относительно x
).
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :
P
n
(x) = (x-a)Q
n-1
(x) + R
.
Отсюда при x
=
a
:
P
n
(a) = (a-a)Q
n-1
(a) + R =0*Q
n-1
(a)+R=
=0+
R
=
R
.
Значит , R
=
P
n
(
a
)
, т.е. остаток от деления полинома на (
x
-
a
)
равен значению этого
полинома при x
=
a
, что и требовалось доказать .
Следствия из теоремы
.
Следствие 1
:
Остаток от деления полинома
P
n
(
x
)
на двучлен
ax
+
b
равен значению
этого полинома при
x
= -
b
/
a
,
т
.
е
. R=P
n
(-b/a) .
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов :
P
n
(x)= (ax + b)
*
Q
n-1
(x) + R
.
При x= -b/a :
Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.
Следствие 2
:
Если число
a
является корнем
многочлена
P
(
x
) , то
этот
многочлен делится на (
x
-
a
) без
остатка .
Доказательство :
По теореме Безу остаток от деления многочлена P
(
x
)
на x
-
a
равен P
(
a
)
, а по условию a
является корнем P
(
x
)
, а это значит , что P
(
a
) = 0
, что и требовалось доказать
.
Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P
(
x
) = 0
равносильна задаче выделения делителей многочлена P
, имеющих первую степень ( линейных делителей ) .
Следствие 3
:
Если многочлен
P
(
x
) имеет
попарно различные корни
a
1
,
a
2
, … ,
a
n
, то он делится на
произведение (
x
-
a
1
) … (
x
-
a
n
)
без остатка
.
Доказательство :
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n
=1
утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k
, это значит , что P(x)
делится без остатка на (
x
-
a
1
)(
x
-
a
2
) … (
x
-
a
k
)
, где
a
1
, a
2
, … , a
k
- егокорни .
Пусть P
(
x
)
имеет k
+1
попарно различных корней .По предположению индукции a
1
,
a
2
,
a
k
, … ,
a
k
+1
являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (
x
-
a
1
) … (
x
-
a
k
)
, откуда выходит , что
P(x) = (x-a
1
) … (x-a
k
)Q(x).
При этом a
k
+1
– корень многочлена P
(
x
)
, т. е.
P
(
a
k
+1
) =
0 .
Значит , подставляя вместо x
a
k
+1
, получаем верное равенство :
P(a
k+1
) = (a
k+1
-a
1
) … (a
k+1
-a
k
)Q(a
k+1
) =
=0 .
Но a
k
+1
отлично от чисел a
1
, … ,
a
k
, и потому ни одно из чисел a
k
+1
-
a
1
, … ,
a
k
+1
-
a
k
не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q
(
a
k
+1
)
, т. е. a
k
+1
– корень многочлена Q
(
x
)
. А из следствия 2 выходит , что Q
(
x
)
делится на x
-
a
k
+
1 без остатка .
Q
(
x
) = (
x
-
a
k
+1
)
Q
1
(
x
)
, и потому
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =
=(
x
-
a
1
) … (
x
-
a
k
)(
x
-
a
k
+1
)
Q
1
(
x
)
.
Это и означает , что P
(
x
)
делится на (
x
-
a
1
) … (
x
-
a
k
+1
)
без остатка .
Итак, доказано , что теорема верна при k
=1
, а из её справедливости при n
=
k
вытекает , что она верна и при n
=
k
+1
. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и
требовалось доказать
.
Следствие 4
:
Многочлен степени
n
имеет не более
n
различных корней .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P
n
(
x
)
степени n
имел бы более n
корней - n
+
k
(a
1
,
a
2
, … ,
a
n
+
k
- его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он
бы делился на произведение (
x
-
a
1
) … (
x
-
a
n
+
k
)
, имеющее степень n
+
k
, что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n
корней , что и требовалось доказать .
Следствие 5
:
Для любого многочлена
P
(
x
)
и числа
a
разность
(
P
(
x
)-
P
(
a
)) делится без
остатка на двучлен (
x
-
a
) .
Доказательство :
Пусть P
(
x
)
– данный многочлен степени n
, a
- любое число .
Многочлен P
n
(
x
)
можно представить в виде : P
n
(
x
)=(
x
-
a
)
Q
n
-1
(
x
)+
R
,
где Q
n
-1
(
x
)
– многочлен , частное при делении P
n
(
x
)
на (
x
-
a
)
,
R
– остаток от деления P
n
(
x
)
на (
x
-
a
)
.
Причём по теореме Безу :
R = P
n
(a)
, т.е.
P
n
(x)=(x-a)Q
n-1
(x)+P
n
(a)
.
Отсюда
Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
а это и означает делимость без остатка (
P
n
(
x
) –
P
n
(
a
) )
на (
x
-
a
)
, что и требовалось доказать
.
Следствие 6
:
Число
a
является корнем
многочлена
P
(
x
) степени
не ниже первой тогда и
только тогда , когда
P
(
x
) делится на (
x
-
a
)
без остатка
.
Доказательство :
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .
1.
Необходимость
.
Пусть a
– корень многочлена P
(
x
)
, тогда по следствию 2 P
(
x
)
делится на (
x
-
a
)
без остатка .
Таким образом делимость P
(
x
)
на (
x
-
a
)
является необходимым условием для того , чтобы a
являлось корнем P
(
x
)
, т.к. является следствием из этого .
2.
Достаточность
.
Пусть многочлен P
(
x
)
делится без остатка на (
x
-
a
)
,
тогда R
= 0
, где R
– остаток от деления P
(
x
)
на (
x
-
a
)
, но по теореме Безу R
=
P
(
a
)
, откуда выходит , что P
(
a
) = 0
, а это означает , что a
является корнем P
(
x
) .
Таким образом делимость P
(
x
)
на (
x
-
a
)
является и достаточным условием для того , чтобы a
являлось корнем P
(
x
)
.
Делимость P
(
x
)
на (
x
-
a
)
является необходимым и достаточным
условием для того, чтобы a
являлось корнем P
(
x
)
, что и требовалось доказать .
Следствие 7(авторское)
:
Многочлен , не имеющийй действи-
тельных корней , в разложении
на множители линейных множителей
не содержит .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P
(
x
)
при разложении на множители содержит линейный множитель (
x
–
a
)
:
P(x) = (x – a)Q(x)
,
тогда бы он делился на (
x
–
a
)
, но по следствию 6 a
являлось бы корнем P
(
x
)
, а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,
не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .
На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:
1. Разность одинаковых натуральных степеней
на разность их оснований делится без остатка :
ПустьP(x) = xn
, P(a) = an
,
тогда xn
–
an
– разность одинаковых натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(a) = xn
– an
= (x – a)Q(x) ,
а это значит , что
(xn
–an
)/(x–a)=Q(x)
,
т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак
(xn
– an
)/(x – a) = xn-1
+ axn-2
+ a2
xn-3
+ … +an-2
x + an-1
.
2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
ПустьP(x) = x2k
,
тогда
P(a) = a2k
.
Разность одинаковых чётных степеней x
2
k
-
a
2
k
равна P
(
x
) –
P
(
a
) .
P(a) = a2k
= (-a)2k
= P(-a) ,
т
е
. x2k
- a2k
= P(x) – P(-a).
По следствию 5
P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x)
а это значит , что
x2k
– a2k
= (x + a)Q(x)
или
(x2k
– a2k
)/(x + a) = Q(x)
,
т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k
– a2k
)/(x + a) = x2k-1
– ax2k-2
+ … +a2k-2
x + a2k-1
.
3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .
Пусть P
(
x
) =
x
2
k
+1
-
a
2
k
+1
– разность одинаковых нечётных степеней .
По теореме Безу при делении x2
k
+1
- a2
k
+1
на x
+
a
=
x
– (-
a
)
остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k+1
– a2k+1
= -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0
, то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .
4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
Пусть P
(
x
) =
x
2л+1
,
P
(-
a
) = (-
a
)2л+1
= -а2л+1
,
тогда P
(
x
) –
P
(-
a
)
= x
2
k
+1
+
a
2
k
+1
– сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(-a) = x2k+1
+ a2k+1
= (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x),
а это значит , что
(x2k+1
+ a2k+1
)/(x + a) = Q(x) ,
т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1
+ a2k+1
)/(x + a) = x2k
- ax2k-1
+ … - a2k-1
x + a2k
.
5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .
Пусть P
(
x
) =
x
2
k
+
a
2
k
– сумма одинаковых чётных степеней .
По теореме Безу при делении x
2
k
+
a
2
k
на x
+
a
=
x
– (-
a
)
остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k
+ a2k
= 2a2k
.
Т. к. остаток при делении не равен 0
, тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму
их оснований не делится, что и требовалось доказать.
Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .
Пример 1.
Найти остаток от деления многочлена
x
3
– 3
x
2
+ 6
x
– 5
на двучлен x – 2 .
По теореме Безу
R = P3
(2) = 23
– 3*22
+ 6*2 – 5 = 3
.
Ответ: R = 3 .
Пример 2.
Найти остаток от деления многочлена
32
x
4
– 64
x
3
+ 8
x
2
+ 36
x
+ 4
на двучлен 2
x – 1 .
Согласно следствию 1 из теоремы Безу
R=P4
(1/2)=32*1/24
–64*1/23
+ 8*1/22
+36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .
Ответ:
R
= 18 .
Пример 3.
При каком значении a
многочлен
x4
+ ax3
+ 3x2
– 4x – 4
делится без остатка на двучлен x – 2 ?
По теореме Безу
R
=
P
4
(2) = 16 + 8
a
+ 12 – 8 – 4 = 8
a
+16.
Но по условию R = 0
, значит
8a + 16 = 0 ,
отсюда
a = -2 .
Ответ: a = -2
.
Пример 4.
При каких значениях a
и b
многочлен
ax3
+ bx2
– 73x + 102
делится на трёхчлен
x
2
– 5
x
+ 6
без остатка ?
Разложим делитель на множители :
x2
– 5
x + 6 = (
x – 2)(
x – 3) .
Поскольку двучлены x – 2
и x – 3
взаимно просты , то данный многочлен делится на x – 2
и на x – 3
, а это значит , что
по теореме Безу
R1
= P3
(2) = 8a + 4b – 146 + 102 =
= 8a + 4b – 44 = 0
R2
= P3
(3) = 27a+9b – 219 + 102 =
=
27a +9b -117 =0
Решим систему уравнений :
8a + 4b – 44 = 0
27a + 9b – 117 = 0
2a + b = 11
3a + b = 13
Отсюда получаем :
a = 2 ,
b = 7 .
Ответ: a = 2 , b = 7
.
Пример 5.
При каких значениях a
и b
многочлен
x4
+ ax3
– 9x2
+ 11x + b
делится без остатка на трёхчлен
x2
– 2x + 1 ?
Представим делитель так :
x
2
– 2
x
+ 1 = (
x
– 1)2
Данный многочлен делится на x
– 1
без остатка ,
если по теореме Безу
R1
= P4
(1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.
Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1
:
_ x4
+ ax3
–9x2
+ 11x–a –3 x – 1
x4
– x3
x3
+(a+1)x2
+(a–8)x+(a+3)
_(a + 1)x3
– 9x2
(a + 1)x3
– (a + 1)x2
_(a – 8)x2
+ 11x
(a – 8)x2 – (a –8)x
_(a + 3)x – a – 3
(a + 3)x – a – 3
0
Частное
x3
+(a+1)x2
+(a–8)x+(a+3)
делится на (
x
– 1)
без остатка , откуда
R2
= P3
(1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =
=3a – 3 = 0 .
a + b + 3 = 0
3a – 3 = 0
a + b =-3
a = 1
Из системы : a
= 1 ,
b
= -4
Ответ: a = 1 , b = -4
.
Пример 6.
Разложить на множители многочлен P
(
x
) =
x
4
+ 4
x
2
– 5
.
Среди делителей свободного члена число 1
является корнем данного многочлена P
(
x
)
, а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу P
(
x
)
делится на (
x
– 1)
без остатка :
_
x
4
+ 4
x
2
– 5
x
– 1
x
4
–
x
3
x
3
+
x
2
+ 5x + 5
_
x
3
+ 4
x
2
– 5
x
3
–
x
2
_5
x
2
– 5
5
x
2
– 5
x
_5
x
– 5
5
x
– 5
0
P
(
x
)/(
x
– 1) =
x
3
+
x
2
+ 5
x
+ 5
, значит
P(x) = (x – 1)(x3
+ x2
+ 5x + 5).
Среди делителей свободного члена многочлена x
3
+
x
2
+ 5
x
+ 5
x
= -1
является его корнем , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу x
3
+
x
2
+ 5
x
+ 5
делится на (
x
+ 1)
без остатка :
_
x
3
+
x
2
+5
x
+ 5
x
+ 1
x
3
+
x
2
x
2
+5
_5x + 5
5
x
+ 5
0
(
x
3
+
x
2
+5
x
+ 5)/(
x
+ 1) =
x
2
+5
,
значит
x
3
+
x
2
+5
x
+ 5 = (
x
+1)(
x
2
+5)
.
Отсюда
P(x) = (x – 1)(x +1)(x2
+5)
.
По следствию 7 (
x
2
+ 5)
на множители не раскладывается , т.к. действительных корней не имеет , поэтому P
(
x
)
далее на множители не раскладывается .
Ответ : x
4
+ 4
x
2
– 5 = (
x
– 1)(
x
+1)(
x
2
+5)
.
Пример 7.
Разложить на множители многочлен P
(
x
) =
x
4
+ 324
.
P
(
x
)
корней не имеет , т.к. x
4
не может быть равен -324
, значит , по следствию 7 P
(
x
)
на множители не раскладывается .
Ответ : многочлен на множители не раскладывается .
Пример 8.
Какую кратность имеет корень 2
для многочлена
P(x) = x5
- 5x4
+ 7x3
– 2x2
+ 4x – 8
.
Определение:
Если многочлен
P
(
x
) делится без остатка на (
x
–
a
)
k
, но не делится на (
x
–
a
)
k
+1
, то говорят , что число
a
является корнем кратности
k
для
P
(
x
).
_x5
- 5x4
+ 7x3
– 2x2
+ 4x – 8 x – 2
x
5
- 2
x
4
x
4
– 3
x
3
+
x
2
+ 4
_-3
x
4
+ 7
x
3
– 2
x
2
+ 4
x
– 8
-3x4
+ 6x3
_x3
– 2x2
+ 4x – 8
x
3
– 2
x
2
_4x – 8
4x – 8
0
_x4
– 3x3
+ x2
+ 4 x – 2
x4
– 2x3
x3
– x2
– x – 2
_-x3
+ x2
+ 4
-x3
+2x2
_-x2
+ 4
-x2
+ 2x
_-2x + 4
-2x + 4
0
_ x3
– x2
– x – 2 x – 2
x3
– 2x2
x2
+ x + 1
_x2
– x – 2
x2
– 2x
_x – 2
x – 2
0
x
2
+
x
+ 1
на x
– 2
не делится , т.к. R
=22
+ 2 + 1=
=7
.
Значит , P
(
x
)/(
x
– 2)3
=
x
2
+
x
+ 1
, т.е. корень 2
имеет кратность 3
для многочлена P
(
x
)
.
Ответ: корень 2
имеет кратность 3
для многочлена P
(
x
)
.
Пример 9.
Составить кубический многочлен , имеющий корень 4
кратности 2
и корень -2
.
По следствию 3 , если многочлен P
(
x
)
имеет корень 4
кратности 2
и корень –2
, то он делится без остатка на (
x
– 4)2
(
x
+ 2)
, значит
P(x)/(x – 4)2
(x + 2) = Q(x)
,
т.е. P(x) = (x – 4)2
(x + 2)Q(x) =
= (x2
– 8x +16)(x + 2)Q(x) =
= (x3
– 8x2
+ 16x +2x2
– 16x + 32)Q(x) =
= (x3
– 6x2
+ 32)Q(x).
(
x
3
– 6
x
2
+ 32)
- кубический многочлен , но по условию P
(
x
)
– также кубический многочлен, следовательно , Q
(
x
)
– некоторое действительное число .
Пусть Q
(
x
) = 1
, тогда P
(
x
) =
x
3
– 6
x
2
+ 32
.
Ответ: x
3
– 6
x
2
+ 32
.
Пример 10.
Определите a
и b
так , чтобы -2
было корнем многочлена P(
x) =
x
5
+
a
x
2
+
bx + 1
, имеющим по крайней мере кратность два .
Если -2
– корень многочлена P
(
x
)
кратности два , то по следствию 3 P
(
x
)
делится на (
x
+ 2)2
без остатка (
R
= 0)
(
x
+ 2)2
=
x
2
+ 4
x
+ 4
_x5
+ a
x2
+ bx + 1
x2
+ 4x + 4
x5
+ 4x4
+ 4x3
x3
– 4x2
+ 12x – (a + 32)
_-4x4
–4x3
–ax2
+bx+1
-4x4
– 16x3
– 16x2
_12x3
+ (16 – a)x2
+ bx + 1
12x3
+48x2
+ 48x
_-(a + 32)x2
+ (b – 48)x + 1
-(a + 32)x2
– 4(a + 32)x – 4(a + 32)
(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129
R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =
= (4a +b + 80)x + 4a + 129
НоR = 0
, значит
(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0
прилюбыхx
.
Это возможно при условии , что
4a +b + 80 = 0
,
4a + 129 = 0
Решим систему двух уравнений :
4a +b + 80 = 0 a = -32,25
4a + 129 = 0 b = 49
Ответ: a = -32,25 , b = 49
.
Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности многочленов и т.д. ) , с разложением многочленов на множители , с определением кратности корней и многих других .
Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений .
Литература.
1. Бородин А.И., Бугай А.С.
Биографический словарь деятелей в области математики.
2. Математическая энциклопедия.
3. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.
Алгебра и элементарные функции.
4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварц- бурд С.И.
Алгебра и математический анализ.
5. Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.