Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1
,p2
).

А1
- аффинная прямая. Отнесем прямую А1
к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2
`e + 1/6d3
`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p1
,p2
) – пространство всех пар (p1
,p2
)точек p1
,p2
прямой А1
.
Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1
р2
, а конец вектора `е – в точку р1
; при этом р2
совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1
и р2
в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1
,р2
) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p1
,p2
)
=2. Заметим ,что в репере rформа 2W
является дифференциалом относительной длины отрезка р1
*р2
*
, близкого к р1
р2

,по отношению к р1
р2

.

§ 2. Отображение f.

А2

– аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R
={p,
`
ej

}. Деривационные формулы репера R
и уравнения структуры плоскости А2

имеют соответственно вид :dp
=Wj
ej

; d
`
ej

=Wj
k

;

DWj

=Wk

^Wk
j

; DWj

=Wj
y

^Wy
k

.

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2

в пространстве R(p1
,p2
):f:A2

®
R(p1
,p2
).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f
=2 (1)

Поместим начало Р
репера R
в точку f-1
(p1
,p2
)
. Тогда дифференциальные уравнения отображения f
запишутся в виде :

Q
+W=
l
j

Wj

; Q-W=
m
j

Wj

(2)

Из (1)
вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1

: R(p1
,p2
)
®
A2

обратное к f
.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1

имеют вид :

Wj
=
l
j

(Q+W)+
m
j

(Q-W)
(3)

Из (2)
и (3)
получаем :

l
k

l
j

+
m
k

m
j

=
d
j

k

l
j

l
j

=1

m
j

m
j

=1 (*)

l
j

m
j

=0

m
j

l
j

=0

Указанную пару {r;R
} реперов пространств А1

и А2

будем называть репером нулевого порядка отображения f
.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f
.

Осуществим продолжение системы (2)
дифференциального уравнений отображения f.

D(λj
Wj
-W-Q)=0
,

получаем :

dλj
=λk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk

D(μj
Wj
+W-Q)=0

получаем :

dμj
=μk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λj
Wj

Q-W=μj
Wj

dλj
=λk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk

dμj
=μk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1
=
{λj
,μj
}
является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2)
:

dλk
^Wj
k
+λk
dWj
k
+14(λjμk
-λk
μj
)^Wk
+14(λj
μk
-λk
μj
)dWk
+dλjk
^Wk
+λjk
dWk
=0
.

получим:

(dλjt
-λkt
Wj
k
-λjk
Wt
k
+14(λk
μjt
-μk
λjk
)Wk
+116λt
μk
(λj
-μj
)Wk
)^Wt
=0

dμk
^Wj
k
+μk
dWj
k
+14d(λj
μk
-λk
μj
)^Wk
+14(λj
μk
-λk
μj
)dWk
+dμjk
^Wk
+μjk
dWk
=0

получим:

(dμjt
-μkt
Wj
k
-μjt
Wt
k
+14(λk
μjt
-μk
λjt
)Wk
+116λt
μk
(λj
-μj
)Wk
)^Wt
=0

обозначим:

λ
j

=dλj
-λt
Wj
t

μj
=dμj
-μt
Wj
t

λjk
=dλjk
-λtk
Wk
t
-λjt
Wk
t

μjk
=dμtk
Wj
t
-μjt
Wk
t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λj
Wj

Q-W=μj
Wj

dλj
=λk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+λjk
Wk

dμj
=μk
Wj
k
+14(λj
μk
-λk
μj
)Wk
+μjk
Wk
(4)

λjk
=(14(μα
λjk
-λα
μjk
)+116λk
μα
(μj
-λj
)+λjkα
)Wα

μjk
=(14(μα
λjk
-λα
μjk
)+116λk
μα
(μj
-λj
)+μjkα
)Wα

Из уравнений (4)
вытекает, что система величин Г2
=
{λj
,μj
,λjk
,μjk
}
образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2)
приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР

порядка р
:

ГР
=
{λj
,μj
,λj1j2
,μj1j2
,...,λj1j2...jp
,μj1j2...jp
}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5)
вытекает, что система величин {λj
},{μj
}
образует подобъекты геометрического объекта Г1

. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λj
Xj
=1 ; μj
Xj
=1
(6)

не инцидентные точке Р
. Из условия rang f=2
и уравнения (2)
вытекает, что прямые (6)
не параллельны. Условия (*)
показывают, что величины {λj
,μj
}
являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λj
,μj
}
охватываются объектом Г1

.

Из (*)
получаем:

dλj
=-λk
Wk
j
-14(λj
+μj
)μt
Wt
-λkt
λk
λt
Wt
-μkt
Wt
^λk
μj

dμj
=-μk
Wk
j
-λkt
μk
λj
Wt
-μkt
μk
μj
Wt
+14λt
(λj
+μj
)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1

. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1
=λj
ej

(вектора v2
=μj
ej

) лежит на прямой (6)
. Доказательство вытекает из формул (*),(2)
. Прямые, параллельные прямым (6)
, инцидентные точке Р
, определяются соответственно уравнениями:

λj
Xj
=0 , μj
Xj

= 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λj
}
и {μj
}
параллельны прямым (6)
соответственно. Доказательство вытекает из формул (*)
и (7)
. Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λj
Xj
=1

V2

V1
μj
Xj
=1

Система величин ρj
=λj
-μj

образует ковектор: dρj
=ρk
Wj
k
+(μjk
-λjk
)Wk

.

Определяемая им прямая ρj
Xj
=0 (8)
проходит через точку Р
и точку пересечения прямых (6)
.

Пусть W
-однородное подмногообразие в R(p1
,p2
)
содержащее элементы (р1
,р2
)
определяемое условием: (р1
*
,р2
*
)
∈
W↔p1
*
p2
*
=p1
p2

.

Теорема 1.Прямая (8)
является касательной в точке Р
к прообразу f-1
(W)
многообразия W
при отображении f
.

Доказательство:

] (p1
*
,p2
*
)
∈
W
и
p1
*
=p1
+dp1
+12d2
p1
+... ,

p2
*
=p2
+dp2
+12d2
p2
+...
.

Тогда в репере Г:
p1
*
p2
*
=e p1
p2

, где e=1+2W+...
является относительной длиной отрезка р1
*
р2
*

по отношению к р1
р2

. Таким образом, (р1
*
р1
*
)
∈
W↔
W=0
.

Из (2)
получим: W=ρ1
Wj

Следовательно, (р1
*
р2
*
)
∈
W
равносильно ρ
j

Wj
=0
(9)

Из (8)
и (9)
вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р1
,р2
)
∈
R(p1
p2
)
определяется функция h
:(p1
*
p2
*
)
∈
h(p1
p2
)→e
∈
R
, так, что р1
*
р2
*
=е р1
р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1
(W)
является линией уровня функцииh
. Заметим, что (9)
является дифференциальным уравнением линииf-1
(W)
.

]W1
,W2

- одномерные многообразия вR(p1
p2
)
, содержащие элемент (р1
р2
)
и определяемые соответственно уравнениями:

(p1
*
,p2
*
)
є
W1
↔p2
*
=p2
.

(p1
*
,p2
*
)
є
W2
↔p1
*
=p1