РефератыАстрономияУмУмова перпендикулярності прямих

Умова перпендикулярності прямих

: к
/
=.


8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1
,у1
)
:


у-у1
=к(х-х1
)


9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
:



10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а
і в
на осях координат:



11. Загальне рівняння прямої:


Ах+Ву+С=0, (А2
+В2
¹
0).


12. Відстань від точки (х1
,у1
)
до прямої Ах+Ву+С=0:


d
=


13. Рівняння кола з центром (х0
,у0
)
і радіусом R
:


(х-х0
)2
+(у-у0
)2
=
R2


14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а
і в
:


(1)


Фокуси еліпса F(c;0)
i F/
(-c;0)
, де с2
=а2
-в2


15. Фокальні радіуси точки (х,у)
еліпса (1):


r=a-Ex; r/
=a+Ex,


де Е=
- ексцентриситет еліпса.


16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а
і в
:


(2)


2


нерівностями a
£
x
£
b, y1
(x)
£
y
£
y2
(x), z1
(x, y)
£
z
£
z2
(x, y)


де yi
(x)
, zі
(x, y), (і=1, 2)
– неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)
можна обчислити за формулою:


.


Для заміток.


І. Аналітична геометрія на площині.


1. Паралельне перенесення системи координат:


х
'
=х-а, у
'
=у-в,


де О
'
(а;в)
- новий початок, (х;у)
- старі координати точки, [
х
'

'
]
- її нові координати.


2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):


х=
х
'
cos
a
-
у
'
sin
a
; y=
x
'
sin
a
+
y
'
cоs
a
,


де (х,у)
- старі координати точки, [х'
,у'
]
- її нові координати, a
- кут повороту.


3. Відстань між точками (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
:


d=


4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
в даному відношенні l:


x=
y=
.


При l=1, маємо координати середини відрізка:


х

=.


5. Площа трикутника з вершинами (х1
,у1
), (х2
,у2
)
і (х3
,у3
)
:


S
=.


6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:


у=кх+в,


де к=
tg
j
(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох
,


в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу
.


7. tg
q
=
- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к
і к/
.


Умова паралельності прямих: к/

.


1


24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а
і в
:


x=a cos t, y=b sin t.


25. Параметричні рівняння циклоїди:


x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)
.


II.

Диференціальне числення функцій


однієї змінної.


1. Основні теореми про границі:


а)


б)


Зокрема,


в)


2. Чудові границі:


а) б)


3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:


lg x=
М ln x,
де М=
lg e=0,43429…


4. Приріст функції у=
f(x),
що відповідає приросту
аргументу х
:



5. Умова неперервності функції у=
f(x)
:



Основна властивість неперервної функції:



6. Похідна



Геометрично y /
=
f /
(x)
- кутовий коефіцієнт дотичної до


4


XI. Подвійні та потрійні інтеграли.


1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y)
, розповсюдженим на область S
, називається число:


, (1)


де (хі
, уі
) є
D
Si
(
і=1, 2,…
n)
і d
– найбільший діаметр комірок D
Si
.


Якщо f(x, y)
³
0
, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S
і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y)
.


2. Якщо область інтегрування S
стандартна відносно осі Оу
і визначається нерівностями a
£
x
£
b
, y1
(x)
£
y
£
y2
(x)
,


де y1
(x),y2
(x)
– неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y)
виражається формулою:


.


3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j
і r
,


де x=r cos
j
, y=rsin
j
має вигляд:



Якщо область інтегрування S
визначається нерівностями:a
£
j
£
b
, r1
(
j
)
£
r
£
r2
(
j
),
то



4. Якщо r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластини S
, то її


маса є (2)


25


(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r
=1
отримуємо формулу площі пластинки


5. Статистичні моменти пластинки S
відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:


,


де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки S.


6. Координати центра мас пластинки S
визначаються за


формулами: , , (3)


де m
– маса пластинки.


Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r
=1
.


7. Моменти інерції пластинки S
відносно координатних осей Ох
і Оу
виражається інтегралами:


, ,


де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки.


8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z),
розповсюдженим на область V
, називається число:


, (4)


де (
xi
, yi
, zi
) є
D
Vi
(i=1, 2, 3,…n)
, d
– найбільший діаметр комірок D
Vi
.


Якщо f(x, y z)
є густиною в точці (x, y z),
то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V
.


9. Об¢єм тіла V
дорівнює: .


10. Якщо область інтегрування V
визначається


26


Фокуси гіперболи F(c;0)
і F/
(-c;0)
, де с2
=а2
+в2


17. Фокальні радіуси точки (х,у)
гіперболи (2):


r=
±
(Ex-a), r/
=
±
(Ex+a),


де Е=
- ексцентриситет гіперболи.


18. Асимптоти гіперболи (2):


у=
.


19. Графік оберненої пропорційності


ху=с (с
¹
0)


- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.


20. Канонічне рівняння параболи з параметром р
:


у2
=2рх


Фокус параболи: F(p/2, 0)
:рівняння директриси: х=-(р/2)
; фокальний радіус точки (х,у)
параболи: r=x+(p/2)
.


21. Графік квадратного тричлена


у=Ах2
+Вх+С


- вертикальна парабола з вершиною




22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х
і у
:


r
tg
j
=


Прямокутні координати точки з полярними координатами


r
і j
.


x=
r
cos
j
, y=
r
sin
j
.


23. Параметричні рівняння кола радіуса R
з центром в початку координат:


x=R cos t, y=R sin t.
(t
- параметр)


3


f
¢
/
(x0
)=0
або f
¢
/
(x0
)
не існує.


б) Достатні умови екструмуму функції f(x)
в точці x0
:


1) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢
/
(x0
-h1
)f
¢
/
(x0
+h2
)<0
при довільних досить малихh1
>0
і h2
>0
, або


2) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
)
¹
0


12. - Графік функції y=f(x)
вгнутий (або випуклий вниз) якщо f
¢¢
/
(x)>0
i випуклий (випуклий вверх), якщо f
¢¢
/
(x)<0.


- Необхідна умова точки перегинy графіка функції


y=f(x)
при x=x0
: f
¢¢
/
(x0
)=0
або f
¢¢
/
(x0
)
не існує.


- Достатня умова точки перегину при х=х0
:


f
¢¢
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
-h1
)f
''
(x0
+h2
)<0
при будь-яких досить малих h1
>0, h2
>0.


13. Якщо функція f(x)
неперервна на відрізку [
a
,
b
]
і f(
a
)f(
b
)<0,
то корінь x
рівняння f(x)=0
наближено можна обчислити за формулами:


а) (метод хорд)


б) , де f
¢
(
a
)
¹
0; f(
a
)-f
¢
(
a
)>0
(метод дотичних).


14. Диференціал незалежної змінної х
: dx=

x
. Диференціал функції у=
f(x):dy=y
¢
dx
. Зв’язок приросту ∆
y
функції з диференціалом dy
функції:



y=dy+
a

x
, де a
→0
при ∆
х→0
.


Таблиця диференціалів функцій
.


1) dun
=nun-1
du
; 7) d(ctg u)=-


2) dau
=au
ln a du (a>0); deu
=eu
du
; 8) d(arcsin u)
=


3)d(loga
u)=
; 9) d(arccos u)=
-


6


















№ п/п
Характер коренів
k1

i k2

характеристичного рівняння
Вигляд загального розв
¢
язку
1
Корені k1
i k2
дійсні і різні
2
Корені рівні k1
= k2
3
Корені комплексні k1
=
a

b
k2
=
a

b

9. Таблиця 2
.


Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=f(x)
(p
i q
- сталі) в залежності від правої частини f(x).






















№ п/п
Права частина
f(x)

Випадки
Частинний розв
¢
язок

1


f
(x)=aemx
(a,m
- сталі)


1) m2
+pm+q
¹
0
,


2) m2
+pm+q=0
:


a) p2
-4q>0
,


b) p2
-4q<0
.


z=Aemx
,


---------


z=Axemx
,


z=Ax2
emx
.


2 f(x)=Mcos
w
x+Nsin
w
x
(M,N,
w
- сталі, w
¹
0
)

1) p2
+(q-
w
2
)2
¹
0
,


2) p=0, q=
w
2
.


z=Acos
w
x+Bsin
w
x,


z=x(Acos
w
x+Bsin
w
x)


3

f(x)=ax2
+bx+c


(a,b,c
– сталі)


1)
q
¹
0,


2) q=0, p
¹
0
.


z=Ax2
+Bx+C,


z=x(Ax2
+Bx+C).



A, B, C
– сталі невизначенні коефіцієнти.


Х.Криволінійні інтеграли.


1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y)
, взятий по кусково гладкій кривій К
:x=x(t)
, y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, дорівнює


(1)


Якщо крива К
задана рівнянням у=у(х) (
a
£
x
£
b
)
, то


23



Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К
.


Якщо f(x, y
)
є лінійна густина лінії К
, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К
.


2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у)
, взятий по кусково гладкому шляху К
:x=x(t), y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, визначається за формулою:


(2)


Якщо шлях К
задано рівнянням у=у(х) (х є
[
a
,
b
]
)
, то


.


Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К
.


Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили


F={X(x, y), Y(x, y)}
вздовж шляху К
.


3. Якщо виконується умова Х(х, у)
dx+Y(x, y)dy=dU(x, y)
, то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К
і


, (3)


де (х1
,у1
)
– початкова точка шляху і (х2
,у2
) – кінцева точка шляху.


Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y)
.


24


графіка функції у=
f(x)
в точці з абсцисою х
.


Правила і формули диференціювання:


а) C
¢
=0;
б) (U+V-W)
¢
=U
¢
+V
¢
-W
¢
;


в) (CU)
¢
=CU
¢
;
г) (UV)
¢
=U
¢
V+V
¢
U;


д)
е)


є) ; и) (х
n
)
¢
=
n xn-1
, x
¢
=1;


і) (
sin x
)
¢
=cos x;
ї) (
cos x
)
¢
=-sin x;


й) (
tg x
)
¢
=sec2
x;
к) (
с
tg
х
)
¢
=-cosec2
x;


л)м) (а
x
)
¢
=ax
ln a, (ex
)
¢
=ex
.


н) (а
rcsin x
)
¢
=
o) (arccos x)
¢
=
;


п) (
arctg x
)
¢
=
р) (arcctg x)
¢
=


7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:


f(x2
)-f(x1
)=(x2
-x1
)f
¢
/
(
x
),
де x
є (х1
,х2
).


8. Функія у=
f(x)
зростає, якщо f
¢
/
(x)>0
,і спадає, якщо f
¢
(x)<0
.


9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду
або :


якщо границя з права існує.


10. Локальна формула Тейлора:


f(x)=f(x0
)+f
¢
/
(x0
)(x-x0
)+…+


де f(n)
(x)
існує в деякому повному околі точки х0
.


11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x)
в точці x0
:


5


6) .


7)


8)


9) .


10) .


11) .


12) де a
¹
0
.


13)


14)


3. Основні методи інтегрування.


а) метод розкладу:


, де f(x)=f1
(x)+f2
(x)


б) метод підстановки: якщо x=
j
(t)
, то



в) метод інтегрування частинами:



4. Формула Ньютона-Ле

йбніца: якщо f(x)
- неперервна і F
¢
(x)=f(x)
, то


.


5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:


8


де , (
n=1, 2,…
)
.


IX.

Диференціальні рівняння.


1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.


X(x)Y(y)dx+X1
(x)Y1
(y)dy=0


має загальний інтеграл: (1)


Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1
(х)=0
і У1
(у)=0.


2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:


P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
,


де P(x, y)
і Q(x, y)
– щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u
*
x
(u
– нова функція).


3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:


a(x)y
¢
+b(x)y+c(x)=0


можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u
*
v
,


де u
– не нульовий розв¢язок однорідного рівняння


a(x)y
¢
+b(x)y=0
, а v
– нова функція.


4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:


а) якщо y
¢¢
=f(x)
, то загальний розв¢язок:


;


б) якщо y
¢¢
=f(у)
, то загальний інтеграл:


;


в) якщо y
¢¢
=f(у
¢
)
, то загальний інтеграл рівняння можна


21


знайти з співвідношення: , де у
¢

.


5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:


а) якщо у
¢¢
=
f(x, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(х)
, отримуємо:


;


б) якщо у
¢¢
=
f(у, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(у)
, отримуємо:


.


6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:


у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=0
має вигляд


у=С1
у1
+С2
у2
,


де у1
і у2
– лінійно незалежні частинні розв¢язки.


7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:


у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=f(x)
має вигляд ,


де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z
– частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.


8. Таблиця 1
.


Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=0
(p
i q
- сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2
+pk+q=0
.


22


(a>0,a
¹
1); d(ln u)=


4) d(sin u)=cos u du
; 10) d(arctg u)=
;


5) d(cos u)= -sin u du
; 11) d(arcctg u)=


6) d(tg u)=
12) df(u)=f
¢
(u)du
.


15.Малий приріст диференційованої функції:


f(x+

x)-f(x)
»
f
¢
(x)

x


16. Диференціал другого порядку функції у=
f(x)
, де х
- незалежна змінна (
d2
x
)=0
:


d2
y=у
''
dx2
.


III. Інтегральне числення.


1. Якщо dy=f(x)dx
, то y=
(незвичайний інтеграл).


2. Основні властивості незвичайного інтеграла:


а)


б) в) (А¹0)


г)


Таблиця найпростіших невизначених інтегралів
.


1) (
m
¹
-1
)
.


2) , (при х
<
0
i при x
>0
).


3) ;


4) (a
>0, a
¹
1
)
.


5) .


7


де h=(b-a)/n, x0
=a, xn
=b, y=f(x), yi
=f(x0
+ih), (i=0,1,2,…,n)
.


11. Формула Сімпсона:


де h=(b-a)/2.


12. Невласний інтеграл:


13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=
f(x) (f(x)
³
0)
, віссю Ох
і двома вертикалями х=а
, х=
b (a<b)
: .


14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r
=
f(
j
)
(r
i j
- полярні координати) і двома промінями j
=
a
,
j
=
b
(
a
<
b
):
.


15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x)
в прямокутних координатах х
і у
від точки х=а
до точки х=
b (a<b)
:


.


16. Довжина дуги гладкої кривої r
=f(
j
)
в полярних координатах j
і r
від точки j
=
a
до точки j
=
b
(
a
<
b
)
:


,


17. Довжина дуги гладкої кривої х=
j
(t)
y
=
y
(t)
, задано параметрично(t0
<T)
:


18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x)
:


10


9. Ряд Маклорена.



10. Розклад в степеневі ряди функцій:


а) , при ê
x
ú
< 1
;


б) ln(1+x) = , при –1
<x
£
1
;


в) , при ê
x
ú
£
1
;


г) , при ê
x
ú
<
+
¥
;


д) ,


при ê
x
ú
<
+
¥
;


е) , при ê
x
ú
<
+
¥
;


ж) ,


при ê
x
ú
< 1
.


11. Ряд Тейлора
.



12. Ряди в комплексній області: .


13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд


19


також збігається (абсолютно).


14. Формули Ейлера:
, .


15. Тригонометричний ряд Фур
¢
є
кусково-гладкої функції f(x)
періоду 2
l
має вигляд:


, (1)


де , (
n=0, 1, 2,…
)
;


, (
n=1, 2,…
)
.


(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)
). Для функції f(x)
періоду 2
p
маємо ,


де , (
n=0, 1, 2,…
)
.


В точках розриву функцій f(x)
сума ряду (1) дорівнює



16. Якщо 2l
– періодична функція f(x)
парна, то


,


де , (
n=0,1, 2,…
)
.


Якщо 2l
– періодична функція f(x)
непарна, то


,


20



де і


6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):


а) ; б)


в) г)


д)


е)


ж)


7. Теорема про середнє: якщо f(x)
- неперервна на [a,b]
, то


, де а
<c<b
.


8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:


9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:


де а=
j
(
a
),
b
=
j
(
b
)
.


10. Формула трапецій: ,


9


z=r(cos
j
+isin
j
)
, де r=
ê
z
ú
;
j
=Arg z


5. Теореми про модуль та аргумент:


а) ê
z1
+z2
÷
£
ê
z1
ú
+
ê
z2
ú
; б) ê
z1
z2
÷
£
ê
z1
ú
ê
z2
ú
,


Arg z1
z2
=Arg z1
+Arg z2
;


в) Arg =Arg z1
-Arg z2
; (z2
¹
0)
;


г) ê
zn
÷
=
ê
z
ú
n
; Arg zn
=n Arg z
(n
- ціле).


6. Корінь з комплексного числа:


, (k
=0,1,2,…,
n-1
)


7. Показникова формула комплексного числа:


z = r ei
j
,
деz =
ê
z
ú
,
j
= Arg z
.


8. Визначник другого порядку:


.


9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
(правило Крамера), де


.


10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=
D
1
t, y=-
D
2
t, z=
D
3
t;
(-
¥
<t<
¥
),


де -


мінори матриці .


12



3. Повний диференціал функції z = f(x, y)
від незалежних змінних х, у
:


де dx=
D
x, dy=
D
y
.


Якщо U = f(x, y, z)
, то .


4. Малий приріст диференційованої функції:



5. Похідна функції U
= f(x, y)
по напряму l
, заданому одиничним вектором {cos
a
, cos
b
}
дорівнює:


.


Аналогічно, якщо U = f(x, y, z)
і{cos
a
, cos
b
, cos
g
}
– одиничний вектор напряму l,
то



6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z)
визначаються з рівнянь:


f
¢
х
(
x, y, z
)=0;
f
¢
y
(
x, y, z
)=0;
f
¢
z
(
x, y, z
)=0


7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z)
є вектор



Звідси .


8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy
є повним диференціалом в області G
, то


17


((
x, y)
є
G)
.


(ознака повного диференціалу.).


VIII.

Ряди.


1.Основне означення: .


2. Необхідна ознака збіжності ряду:


якщо ряд збігається, то .


3. Геометрична прогресія: , якщо ê
q
ú
< 1
.


4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + …
(розбігається).


5. Ознака Даламбера
. Нехай для ряду (
Un
>0
)
існує



Тоді: а) Якщо l < 1
, то ряд збігається;


б) Якщо l > 1
, то ряд розбігається, Un
непрямує до 0
.


6. Абсолютна збіжність
. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).


7. Ознака Лейбніца
. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1
-V2
+V3
-V4
+…
- збігається.


8. Радіус збіжності степеневого ряду а0
+а1
х+а2
х2
+…
визначається за формулою:, якщо остання має зміст.


18


.


19. Об’єм тіла обертання:


а) навколо осі Ох
: (
a<b
)


б) навколо осі Оу
: (
c<d
)


20. Робота змінної сили F=F(x)
на ділянці [a,b]
:



ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.


1. Комплексне число z=x+iy
, де х=
Re z, y=Im z
- дійсні числа, і2
=-1.


Модуль комплексного числа:



Рівність комплексних чисел
:


z1
=z2
Û
Re z1
=Re z2
, Im z1
=Im z2


2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:


3. Арифметичні дії над комплексними числами z1
=x1
+iy1
, z2
=x2
+iy2
:


a)


б)


в) (
z2
¹
0
)


Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і
, ú
z
ê
2
=z
.


4. Тригонометрична форма комплексного числа:


11


V.

Елементи векторної алгебри.


1. Сумою векторів , ,
є вектор .


2. Різницею векторів і є вектор , де


- - вектор, протилежний вектору .


3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0
, і протилежний до нього, якщо k < 0
.


4. Вектор і колінеарні, якщо (k
- скаляр).


Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l
-скаляри)


5. Скалярним добутком векторів і є число


, де j
=
<(
,
)
.


Вектори і ортогональні, якщо * = 0
.


Якщо і , то .


6. Векторним добутком векторів і є вектор ,


де , , (
j
=
<(a,b)
)
,


причому а, b, с
- права трійк.


Якщо і , то , де


i, j, k
- одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.


7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с
.


Якщо , , , то


14


.


VI.

Аналітична геометрія в просторі.


1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у,
z
)
простору Оху
z
є:


x=rx
, y=ry
, z=rz
, деr=
- радіус-вектор точки М
.


2. Довжина та напрям вектора а=
{ax
,ay
,az
}
визначаються формулами: ;


cos
a
=ax
/a; cos
b
=ay
/a; cos
g
=az
/a,


(cos2
a
+cos2
b
+cos2
g
=1),


де cos
a
, cos
b
, cos
g
- напрямні косинуси вектора а
.


3. Відстань між двома точками M1
(x1
,y1
,z1
)
i M2
(x2
,y2
,z2
)
:


.


4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}
¹
0
, що проходить через точку M0
(x0
,y0
,z0
)
є N
*
(r-r0
)=0,
…(1)


де r
- радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z)
і r0
- радіус-вектор точки М0
.


В координатах рівняння (1) має вид:


А(х-х0
)+В(у-у0
)+С(
z-z0
)=0
абоAx+By+Cz+D=0
(2)


де D= -Ax0
-By0
-Cz0
(згальне рівняння площини).


5. Відстань від точки M1
(x1
,y1
,z1
)
до площини (2) дорівнює:



6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:


r=r0
+st
(3)


15


де r{x,y,z}
- текучий радіус-вектор прямої; r0
{x0
,y0
,z0
}
- радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}
¹
0
- напрямний вектор прямої і t
- параметр (-
¥
<t<+
¥
)
.


В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:


.


7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)


Напрямним вектором прямої (4) є S=N
*
N
¢
, де N={A,B,C}
, N
¢
={A
¢
,B
¢
,C
¢
}
.


8. Рівняння сфери радіуса R
з центром (
x0
,y0
,z0
)
:


.


9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c
:


.


10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О
z
:


x2
+y2
=2pz
.


VII.

Диференціальне числення функції


декількох змінних.


1. Умова некперервності функції z=f(x,y)
:


,


або


Аналогічно визначається неперервність функції f
(
x, y, z
)
.


2. Частинні похідні функції z = f(x, y)
по змінних х, у
:


16


11. Визначник третього порядку:



де - алгебраїчні


доповнення відповідних елементів визначника.


12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
; z=
D
z/
D
,


де


.


13. Розв’язок однорідної системи , якщо



знаходяться з підсистеми: .


13

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Умова перпендикулярності прямих

Слов:4418
Символов:41653
Размер:81.35 Кб.