.
Мендель В.В.
,
доцент кафедры геометрии ХГПУ
В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.
Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.
Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:
1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;
2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;
3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;
В
С1 А1
В1
А С
рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)
4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.
Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.
К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.
Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач.
Формулировки теорем Чевы и Менелая.
В
А С В1
А1
С1
рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)
Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.
Теорема Менелая.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
(*)
на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.
Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).
Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).
Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2)
В
Н1
Н2
С1
А1 Н3
А С В1
рисунок 2
Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.
(У первых двух пар равны верти-
кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:
; ; .
Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).
Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:
.
Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).
Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.
Теорема Чевы.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:
(**)
На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.
В
С1
А1
О
А
В1
С
рисунок 3 а)
Доказательство: (прямая теорема)
Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С): (1)
проделаем тоже д
(2)
В
А В1 С
О
С1 А1
рисунок 3 б)
Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).
Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая.
Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая
для решения задач.
Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.
Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи:
1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);
2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).
Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений.
Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой).
Примеры решения задач.
Начнем с достаточно простых.
1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).
Решение:
SMKNC=SBNC-SBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.
Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.
Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А:
Второе и третье отношения нам известны, подставим их:
и
Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:
,
зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь треугольника ВKМ:
Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S.
Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.
2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.
Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов.
3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.
Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и
М
В
L Q С
А Д К Р
рисунок 4
прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая:
Напомним, что РА+РC=РВ+ РD =180°.
Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда
Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP),
BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).
Отсюда
рисунок 5
Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем:
откуда что и требовалось доказать.
(Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).
В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде.
4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.
Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):
т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.