Содержание
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
| машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. | |
| машин с водителями ежедневно уходят в рейс. | |
| водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | |
| количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | |
| дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD
(P) и предложения Q=QS
(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD
(P) и предложения Q=QS
(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
| С осью OP (Q=0): | С осью OQ (P=0): | |
| Для Q=QS
(P): |
Для Q=QD
(P): |
|
|
|
|
|
Т.к. функции QS
(P) и QD
(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда , значит координаты т.M.
Ответ:Координаты точки равновесия равны ,
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ:Производная заданной функции равна
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
1. Область определения данной функции: .
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
| С осью OY : | С осью OX : |
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. |
|
| Точка пересечения: | Точки пересечения: , |
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции.
На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции .
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда
Отсюда , .
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная <0,значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
, ,
Решение:
Пусть - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции :
, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:
Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения: , , ,
тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:
Ответ: и достигается при объемах выпуска и .
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Решение:
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда
Ответ:Решением данного уравнения является .
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения:
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Ответ:
.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел: .
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен .
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
Решение:
1. Область определения данной функции: .
2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка,
с осью OY: точка
Ответ: и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: .
Решение:
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : .
Следовательно .
Ответ:
.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен .
Дополнительно Часть I
I
.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
.
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области: .
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
| , , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
| , , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
| , , | Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
| , , | Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
2. , тогда , ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
| , , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
| , , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
| , , | Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
| , , | В точке – точка условного минимума, при этом функция . |
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках , и , соответственно (см. рис.6).
Ответ:Заданная функция при условии имеет и .
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: .
Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен .
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: .
Решение:
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Ответ:
Решением данного уравнения является .