ГЛАВА 1
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f
(x
),
определенная на всей числовой оси называется периодической
, если существует такое число , что при любом значении х
выполняется равенство . Число Т
называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т
есть периодическая функция периода Т
.
2) Если функция f
(x
) период Т
, то функция f
(ax
)имеет период .
3) Если f
(x
)- периодическая функция периода Т
, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т
(при этом интеграл существует), т. е. при любых a
и b
справедливо равенство .
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f
(x
) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n
=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье
, а коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f
(x
) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f
(x
) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f
(x
) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f
(x
) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f
(x
) - четная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = f
(x
) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
= 0 , где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L
выглядит так:
Пусть теперь f
(x
) - нечетная функция с периодом 2L
, удовлетворяющая условию f
(-x
) = - f
(x
).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n
=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L
выглядит так:
Если функция f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то
, где,
,
,
Если f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L
], то доопределив заданную функцию f
(x
) соответствующим образом на [-L,
0]; далее периодически продолжив на (T
=2L
), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a
,b
], надо : доопределить на [b
,a
+2L
] и периодически продолжить, либо доопределить на [b
-2L
,a
] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a
,b
], называется ортогональной системой функции на отрезке
[a
,b
], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f
(x
) - любая функция непрерывная на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье
такой функции f
(x
) на отрезке [a
,b
] по ортогональной системе
называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a
,b
] ортонормированная, то в этом случаи
где n
=1,2,...
Пусть теперь f
(x
) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a
,b
]. Рядом Фурье такой функции f
(x
) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f
(x
) по системе (1) сходится к функции f
(x
) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a
,b
]. В этом случае говорят что f
(x
) на отрезке [a
,b
] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f
(x
), если определяется равенством
, где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n
=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l
с концами x=
0 и x
=l
. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u
(x,t
) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t,
удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u
(x,t
) , график которой дает форму струны в любой момент времени t
, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u
(x
,t
)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u
(x,t
)=X
(x
)T
(t
), (4) , где , .
Подстановка выражения (4) в уравнен
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X
(0)=0, X
(l
)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть Тогда X
”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть . Тогда решив уравнение
получим , и, подчинив, найдем, что
в) Если то
Уравнения имеют корни :
получим:
где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда , т. е.
(n
=1,2,...)
(n
=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,...).
и, следовательно
, (n
=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n
=1,2,...),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u
(x,t
) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l
] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n
=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f
(x
) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L
, L
] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f
(x
)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где ,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f
(x
)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x
=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f
(x
) запишется так:
,
где a
(u
) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f
(x
) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b
(u
) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f
(x
).
Если в формуле (5) заменить c
(u
) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n
=1,2,... , k
=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N
-мерный вектор
при этом, .
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .
2) F(x) - кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому формулу для можно записать в виде:
( так как ).
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
.
Подставим найденные коэффициенты в получим:
и вообще
.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника ,
2-ая гармоника ,
3-ая гармоника ,
4-ая гармоника ,
5-ая гармоника ,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n
=+1 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n
=-1:
(т.к. )
И вообще комплексная форма:
или
или