БИЛЕТ 1
А1
Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости
и точки, не принадлежащие ей.
А2
Если две различные плоскости имеют общуюточку, то они пересекаются по прямой.
А3
Если две различные прямые имеют общуюточку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну.
БИЛЕТ 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а и М плоскость a, а ч/з М в плоскости a прямую b|| a. Докажем, что b|| a единственна.
Допустим, что существует другая прямая b2
|| a, и проходящая ч/з т.М. Через b2
и а можно провести плоскость a2
, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с a. По аксиоме о параллельных прямых b2
и а совпадают. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Док-во: Пусть a-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1
- прямая в плоскости a,параллельная прямой а.
Проведем плоскость a1
ч/з прямые а и а1
.
Она отлична от a, т.к. прямая а не лежит в плоскости a. Плоскости a и a1
пересекаются по прямой а1
. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1
. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1
параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотрим две плоскости a и b. В плоскости a лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в b - прямые а1
и b1
, причем а|| а1
и b|| b1
.
Докажем, что плоскоскоти a и b не параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что а|| с.
Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b || с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, || с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только
БИЛЕТ 5
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а|| b.
Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a||b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|| b.
2. Vпирамиды
= 1/3*Sосн.
*H
БИЛЕТ 6
Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.
Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.
Sп.п.
=2pR(H+R)
БИЛЕТ 7
Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10
Проекция прямой есть прямая.
20
Проекция отрезка есть отрезок.
30
Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.
одной прямой.
40
Проекции параллельных отрезков, а также проекцииотрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.
Из св-ва 40
следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.
БИЛЕТ 8
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
БИЛЕТ 9
ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
Док-во: AH - перпенд. к плоскости a, AM - наклонная, а
– прямая проведенная в плоск. a ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной.
Рассмотрим плоск. AMH. Прямая а
^этой плоскости, т.к. она ^ к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след. что прямая а
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности а
^AM. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 10
ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1
и плоскость a, такую, что а^a. Докажем, что и а1
^a.
Проведем какую-нибудь прямую х
в плоскости a.
Так как а^a, то а^х
. Таким образом, прямая а1
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т.е. а1
^a. Ч.Т.Д.
Vпаралл-да
=abc=Sосн.
*H
БИЛЕТ 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900
.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т.к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b.
Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=900
(т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 900
, т.е. a^b. Ч.Т.Д.
Sбок
=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)
БИЛЕТ 11
ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Док-во: Рассмотрим прямые а
и b
, перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а
½½b
.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1
, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1
совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a½½ b. Допустим, что прямые b и b1
не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b1
, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости a и b. Но это невозможно, след-но, a½½ b. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоско
Sполн
=Sбок
+2Sосн
; Sбок
=P*H(ребро)
БИЛЕТ 14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h
призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h
. Вынося множитель h
за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р.
Итак, Sбок
=P*h. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 15
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1
B1
C1
D1
, расположенных в плоскостях так, что отрезки AA1
,BB1
,CC1
, и DD1
параллельны.
Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1
B1
C1
D1
и четырех параллелограммов называется параллелепипедом
м обозначается ABCDA1
..D1
.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями
, их стороны - ребрами
, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда
.
ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1
D1
CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1
..D1
. Т.к. A1
D1
½½ BC и
A1
D1
=BC, то A1
D1
CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1
C и D1
B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.
БИЛЕТ 16
ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Док-во: Докажем равенство граней ABB1
A1
и DCC1
D параллелепипеда ABCA1
..D1
. Т.к. ABCD и ADD1
A1
- параллелограммы, то AB½½DC и AA1
½½DD1
. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1
одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1
другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1
A1
и DCC1
D1
параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1
=DD1
. По той же причине стороны углов A1
AB и D1
DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB1
A1
соотв. равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC1
D1
, поэтому эти параллелограммы равны
БИЛЕТ 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Док-во: Докажем, что AC1
2
=AB2
+AD2
+AA1
2
Так как ребро CC1
перпендикулярно к основанию ABCD, то ÐACC1
-прямой.
Из прямоугольного треугольника ACC1
по теореме Пифагора получаем AC1
2
=AC2
+CC1
2
.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2
=AB2
+AD2
. Кроме того, CC1
=AA1
.
След-но AC1
2
=AB2
+AD2
+AA1
2
Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 18
Рассмотрим многоугольник A1
A2
..An
и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n
треугольников: PA1
A2
,PA2
A3
,...,PAn
A1
.
Многогранник, составленный из n
-угольника A1
A2
..An
и n
треугольников, называется пирамидой
Многоугольник A1
A2
..An
называется основанием
, а треугольники - боковыми гранями
пирамиды. Точка P называется вершиной
пирамиды, а отрезки PA1
, PA2
, ..., Pan
- ее боковыми ребрами.
ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Док-во: S-вершина пирамид A - верш.основания и A1
- точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA1
/SA
При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1
, т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 19
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 20
ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA1
B1
C1
с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB1
D разделяет данную призму на две приз., основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1
и V2
этих призм соответственно равны
Sabd
h и Sbdc
h. V=V1
+V2
, т.е. V=Sabd
h+Sbdc
h=(Sabd
+Sbdc
)h. Таким обр., V=Sabc
h
2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h.
Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.
БИЛЕТ 21
За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника ABB1
A1
равна AA1
*AB=2prh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок
=2prh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
БИЛЕТ 22
ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Док-во: Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M1
пересечения этой плоскости с осью Ox.
Обозначим радиус этого круга ч/з R1
, а площадь сечения ч/з S(x), где x- абсцисса точки M1
. Из подобия прямоугольных треугольников OM1
A1
и OMA следует, что OM1
/OM=R1
/R, или x/h=R1
/R, откуда R1
=xR/h.
Так как S(x)=pR1
2
, то S(x)=pR2
x2
/h2
.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:
Площадь S основания конуса равна pR2
, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.