РефератыМатематикаВыВысшая математика

Высшая математика

(шпаргалка)


Осн. понятия


Грани числовых мн-в


Числовые последовательности


Непр. ф-ции на пр-ке


1. Осн. понятия


Мат.модель
– любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.


Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац.
– число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац
. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.


Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.


Некоторые числовые множества.


Мн-ва
– первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.


Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х½ вып-ся усл S(x)}.


Подмн-ва
– если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АÌВ. А=В- мн-ва совпадают.


Операции с мн
-воми
А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.


АÇ В={х½хÎА и хÎВ} пересечение мн-в А и В.


А В={х½хÎА, но хÏВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А


Числовые мн-ва


R
,
N
,
Z
,
Q
- стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х
½
а<х<в} – интервал из
R
(открытый промежуток, т.к. не содержит границ)


[а,в] – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.


(а,в] – полуинтервал.


Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.


2. Грани числовых мн-в


Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.


Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с
³
х(х
³
с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся
ограниченым


Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.


Пример
X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.


Точные грани числовых мн-в


Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=
maxX
. Если мн-во содержит мин число Х*
, то оно
min
мн-ва Х


Пример Х=[0,1) то
max
[0,1) не
$
.
min
[0,1)=0


Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.


Верхн. грань –
supX
=
x
*, а нижн. грань
infX
=
x
*


Теорема.
Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.


Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.


3. Числовые последовательности


Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .


!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.


Основные способы задан. посл-ти:


а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.


б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.


Пример:


а) xn=5nx1=5, x2=10


б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47


Ограниченные последовательности(ОП)


Посл-ть {
xn
} наз-ся огран.
сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M"n (xn³m"n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.


Посл-ть {
xn
} наз-ся неогранич
., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.


Сходящиеся и расходящиеся посл-ти


Св-ва сходящихся посл-тей


Теорема «Об единственности пределов»


Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»


Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»


4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти


Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.


Опр Если для любого
e
>0 найдется такой номер
N
, для любого
n
>
N
:
½
xn
-
a
½
<
e


Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися
, а не имеющее его наз-ся расходящимися.


Связь сходящихся посл-тей и б/м.


Дает сл. теорему


Теорема
Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+an, где посл-ть {an}®0, т.е. является б/м.


Док-во


а) Допустим, что xn®a и укажем посл-ть an удовл. равенству xn=a+an. Для этого просто положим an=xn-a, тогда при n®¥½xn-a½ равно растоянию от xn до а ® 0 => an б/м и из равенства преобразования определяю an получаем xn=a+an.


Свойство б/м


Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.


Т-ма о св-вах б/м


а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м


1) их сумма, разность и произведение являются б/м


2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м


!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.


Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N½xn½>c.


!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.


Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.


Св-ва сходящихся посл-тей


Теорема «Об единственности пределов»


Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.


Док-во (от противного)


{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.


Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»


Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна а-e<xn<a+e"n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½xn½£c = max {½a-e½,½a+e½,½xn½,…,½xn-1½}


Теорема «Об арифметических дейсьвиях»


Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:


а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b


б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b


в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0


Док-во:


а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.


б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn


an*b – это произведение const на б/м


а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.


=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b


Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления
lim
от составляющих этого выр-ния


Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;


неубывающей, если x1£x2£…£xn£xn+1£…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1³x2³…³xn³xn+1³…


Все такие посл-ти наз-ся монотонными
. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными


Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.


Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»


Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.


Док-во
Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supXxn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* "n. "e >0 вып-ся нер-во $xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при "n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½<e при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.


Экспонента или число е


Ф-ции одной переменной


Обратные ф-ции


6. Экспонента или число е


Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128…


Док-ть сходимость посл-ти (1)


Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1).


Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lgx явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 0<x1<x2, то тогда 1/x1*lg(1+x1)>1/x2**lg(1+x2) (3). Огранич. сверху $M:1/xlg(1+x)£lgM"x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.


tga1=(lg(1+x1))/x1 a1>a2=>tga1>tga2


tga2=(lg(1+x2))/x2


Поскольку a1>a2, то tga1>tga2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) "x>0 => kx>


>lg(1+x) "x>0


Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.


Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению.


Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n®¥)P(1+r/m)^mn=Pe^rn


Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.


Принцип вложенных отрезков


Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…


Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:


1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn], "n=1,2,…;


2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.


Теорема
Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.


Док-во
{an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.


{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с


Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "nan£c£bn. Теперь докажем что она одна.


Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.


Принцип вложенных отрезков


Т-ма
. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сÎвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.


Док
-во
. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. $числа c1=lim(n®¥)an и c2=lim(n®¥)bn.


Докажем
что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)bn®lim(n®¥)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для "nan£c£bn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘¹c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn®c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.


7.Ф-ции одной переменной


Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.


Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.


X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xÎX} x1ÎX1, y1=f(x1)


1) аналит. способ; 2)Табличный способ;


3) Графический способ;


4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. $m,M: m£f(x)£M "xÎX


m£f(x) "xÎX => огр. сн.; f(x)£M, "xÎX=> огр. св.


Обратные ф-ции


Если задано правило по которому каждому значению yÎY ставится в соответствие ® ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).


Предел ф-ции в точке


Свойства предела ф-ции в точке


Односторонние пределы ф-ции в т-ке:


Предел ф-ции в т-ке


Предел и непрерывность функции


Предел. Односторонний предел.


Предел ф-ции в точке


y=f(x) X


опр. " {xn} ÌX, xn®x0


f(xn)®A,=> f(x) в т. x0 (при , xn®x0) предел = А


А=lim(x®x0)f(x) или f(x)®A при x®x0


Т-ка x0 может Î и Ï мн-ву Х.


Свойства предела ф-ции в точке


1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный


2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A


lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.


а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B


б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B


в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B


г) lim(x®x0)C=C


д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A


Док-во xn®x0, $lim(x®x0)f(x)=A по опр. f(xn)®A {f(xn)}


Односторонние пределы ф-ции в т-ке:


Опр. А - предел ф-ции
f
(
x
) справа от точки х0, если
f
(
x
)
®
A
при х
®
х0, и
x
>
x
0


Формально это означает, что для любой посл-ти {
xn
}
®
x
0, вып-ся условие
xn
>
x
0,
f
(
x
)
®
A
. Обозначим
f
(
x
0+0) и
f
(
x
0+)
lim
(
x
®
x
0+0)
f
(
x
)
®


И также с минусами.


Признак
$
предела


Т-ма Для того чтобы
f
(
x
) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция
f
имеет совпадающ. Между собой одностор. предел
(
f
(
x
0+)=
f
(
x
0-) (1), которые равны пределу ф-ции.


Док-во. f
(
x
) имеет в т-ке х0 предел А, тогда
f
(
x
)
®
A
независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)


Предел ф-ции в т-ке


Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если
"
e
>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0 должно
½
f
(
x
)-
A
½
<
e


"
e
>0 из
½
х-х0
½
<
d
должно быть


Пусть
½
f
(
x
)-
x
0
½
<
e
, если
d
=
e
, то
½
х-х0
½
<
d
=>
½
f
(
x
)-
x
0
½
<
e


Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.


Ф-ция
f
(
x
) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.


Предел и непрерывность функции


Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0ÎХ или х0ÏХ.


Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для "e>0 $d>0 такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетвор. неравенству ½х-х0½<e, выполняется неравенство ½f(x)-A½<e.


Пример
Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (x®x0)C=C


Возьмем любое e>0. Тогда для любого числа d>0 выполняется треюуемое неравенство ½f(x)-C½=½C-C½=0<e, => lim(x®x0)C=C


Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.


Теорема
. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)±g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С¹0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В±С, В*С, В/С, т.е. lim[f(x)±g(x)]= B±C, lim[f(x)*g(x)]= B*C, lim[f(x)/g(x)]= B/C


Теорема также верна если х0 явл. +¥, -¥, ¥


Опр
. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)


Теорема
Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.


10. Предел. Односторонний предел.


Опр.
Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0):"xÎокрестности (x0) выполняется условие f(x)Îокрестности.


Теорема
Все определения предела эквивалентны между собой.


Опр
. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0


Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A


Запись
: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.


Опр
. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)


Теорема
. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=


f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A


Док-во


а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)® А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.


б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.


1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};


2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};


x’n®x0-ox’’n®x0+o, т.к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:


1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей


Пределы ф-ции на бесконечности


Два замечательных предела


Б/м ф-ции и их сравнения


Непрерывные ф-ции. Непрерывность.


11. Пределы ф-ции на бесконечности


Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.


Опр
. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥ если " {xn} которая ®к +¥ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥.


Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®¥ {f(xn)} сходится к А


Бесконечные пределы ф-ции


Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют.


Р-рим на премере:
lim(x®o+)(1/x)


Очевидно не сущ-ет, т.к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥.


Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0.


Аналогично с -¥.


Более того символы +¥ и -¥ употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥


12. Два замечательных предела


1) lim(x®0)sin/x=1


2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:


lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)


lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)


t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)


Док-во


1)x®+¥nx:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n


Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)


Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)


lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e


lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e


2) x®-¥. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+¥, при x®-¥.


lim(x®-¥)(1+1/x)^x=lim(y®+¥)(1-1/y)^-y= lim(y®+¥)((y-1)/y)^y=lim(y®+¥)(1+1/(y-1))^y=e


3) Пусть x®¥ произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к ®¥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®¥)(1+1/xn)^xn=e (5)


Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+¥,


{x‘‘n}®-¥. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи


13. Б/м ф-ции и их сравнения


Опр
. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:


а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.


б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0


Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:


1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.


2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.


3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.


4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).


Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.


14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.


Опр.
f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке.
Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=

x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через Dу приращение ф-ции, т.е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). «D» - символ приращения.


Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента.


f(x) непрерывна в т-ке х0 <º> Dy®0 при Dх®0.


Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.


Опр
. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(x®x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.


Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0.


Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)


Опр
. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.


Пример
Р-рим степенную производст. ф-цию


Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $ и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва


Классификация т-ки разрыва


Непр. ф-ции на пр-ке


Теорема ВЕЙЕРШТРАССА


15. Классификация т-ки разрыва


Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.


а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.


Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.


б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.


в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.


При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:


1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.


2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.


3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:


график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.


I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти)


Док-во использует опр-ние на языке e и d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 ½f(x)-f(x0)½<e при ½х-х0½<d ~ f(x0)-e<f(x)<f(x0)+e в окрестности в т-ке х0.


II) Св-ва сохранения знака
Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)¹0 то $ окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.


III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции
f
(
x
)
непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B причем A¹B => CÎ(A,B) $cÎ(a,b):f(c)=Cf(c)=f(c‘)=f(c‘‘).


IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции
через 0
. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b).


Док-во
Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.


Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.


Непр. ф-ции на пр-ке


f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)¹0 => f непр. на [a,b] и f(x)*f(b)=0 (f(x)*f(b)>0 в окр-ти х0) => $ сÎ(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны.


Т-ма
1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b).


Т-ма 2
( о $ экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].


Теорема ВЕЙЕРШТРАССА.
Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки


Контрпример 1.
f(x)=1/2 на (0;1] ®f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.


Контрпример 2.
f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(xÎ(0;1))x=0, но т-ки x_Î(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xÎ(0;1))x=1


Док-во т-мы 1.
Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.


Обозн.
[a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.


Док-во т-мы 2
. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M"xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $c>0


!0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]


Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”


Следствие
: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и minf на отрезке.


Дифференцирование ф-ций


Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.


Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши
Правило Лопиталя


16. Дифференцирование ф-ций


Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна


Определение пр-ной


1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения Dх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)


Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т.к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0).


Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он $), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть ® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2)


Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0.


2) Непрерывность и дифференцируемость


Т-ма
. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0


Док-во
. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx.


Примеры.


1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const"x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.


2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) "kÎN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.


3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1.


4)y=f(x)=½x½=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для " х¹0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не $. Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $ при x0=0. При Dx>0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0,Dx>0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $ одностор. пр-ная.


Опр
. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что Dх®0+(Dх®0-).


Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также $ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.


17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.


Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.


Дифференциал выс. порядков


dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.


Теорема Ферма
. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 $ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.


2)Теорема Ролля
. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0.


3)Теорема Логранджа
. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).


4)Теорема Коши
. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).


Правило Лопиталя.


Раскрытие 0/0
. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.


Раскрытие
¥
/
¥
.
Второе правило.


Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.


Неопред-ти вида 0
¥
,
¥
-
¥
, 0^0, 1^
¥
,
¥
^0
.


Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0


Выпуклые и вогнутые ф-ции


Т-ки перегиба


Выпуклость и вогнутость.


Б/б пол-ти


Гладкая ф-ция


Эластичность ф-ций


Выпуклые и вогнутые ф-ции


Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.


Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (¥,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 $x³0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;¥) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)³0 (f-выпукла), а на (a;¥) f‘‘(x)£0 (f-вогнута).


Опр
. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:


1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)³0 (f‘‘(x)£0) на (a,b)


2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)


Т-ки перегиба


Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.


Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.


Выпуклость и вогнутость.


Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.


y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) "x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.


Б/б пол-ти


Посл-ть {xn} наз-ся б/б
, если для " пол-ного числа А $ номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во ½xn½>A


Возьмем любое число А>0. Из неравенства ½xn½=½n½>A получаем n>A. Если взять N³А, то "n>N вып-ся ½xn½>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.


Замечание
. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во ½xn½>A не имеет места "xn с нечет. номерами.


Гладкая ф-ция


Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘ $ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘(j(x))*j‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной
. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп роста¹приросту.


Пр-р
y=e^ax. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=ae^ax/e^ax=a. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.


Эластичность ф-ций


Опр
. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная
. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.


Ef(x)=x*f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением Df(x0)/Dx и будем иметь Ef(x)»x(Df(x)/Dx)/f(x)=(Df(x)/f(x))/(Dx/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой.


Пр-р
. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=P*D‘/D=P*(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна


Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций


Т-ма Ферма Т-ма Коши


Интервалы монотонности ф-ции


Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.


Производная обратной ф-ции


Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций


Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.


Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное.


Опр
. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки.


Т-ма Коши
. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)¹0, тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)


Интервалы монотонности ф-ции


Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)³0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x)<0), то строго возр. (убыв) на (a,b).


хÎ интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f‘(x1)<0 для x2 противоположная ситуация.


Т-ма Логранджа. Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+DxÎ [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.


Придадим ф-ле (7) классический вид => x=ax+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.


(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)


Док-во
сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-римвспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)


Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]


А)Непрерывна на [a,b]


Б) Дифференц. на (a,b)


В) g(a)=g(b)=0


Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.


Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.


А)Непрерывна на [a,b]


Б) Дифференц. на (a,b)


В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.


Док-во
. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $xÎ (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.


Т-ма Тейлора. «О приближении гладкой ф-ци к полиномам»


Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х¹а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(e)/(n+1)!(x-a)^(n+1).


Док-во
. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x).


g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!*f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c)


Правило Лопиталя.


Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(х®Dх )=lim(x®Dx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при x®x0 дает 0/0. lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) $ (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) (5)


Док-во.


Возьмем " т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0;x] вспом ф-цию арг. t


h(t)=f(t)-Ag(t), если tÎ[x0;x], т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0;x], поскольку lim(t®x0)h(t)=lim(t®x0)[f(t)-Ag(t)]=lim(t®x0)-Alim(t®x0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x)$c:h‘‘(c)=0


Производная обратной ф-ции


Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.


Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)¹0.


Пусть Dу¹0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1:lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.


Производная обратной ф-ции


Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.


Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)¹0.


Пусть Dу¹0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1:lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.


Теорема Больцано-Вейерштрасса


Теорема Больцано-Коши


Теорема Вейерштрасса


Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.


Док-во


1. Поскольку посл-ть ограничена, то $m и M, такое что "m£xn£M, "n.


D1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.


D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk.


Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда $ т-ка с Ì (a,b) в которой ф-ция обращается в 0.


Док-во


Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)<0. Мн-во Х не пустое. ХÎ [a,b], значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. c=supx. a£c£b покажем a<c<b по т-ме об уст. знака, поэтому c¹a, c¹b. Предположим f(c)=0, что это не так, тогда $ окрестность т-ки с в пределах которой ф-ция сохраняет знак, но это не можетбыть, т.к. по разные стороны т-ки с ф-ция имеет разный знак. f(с)=0.


Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена.


Док-во
Предположим что ф-ция не ограничена. Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xnÎ[a,b], такое что ½f(xn)½>n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnk$®x0. По т-ме о предельном переходе к неравенству.


a£xnk£b a£x0£b x0Î[a,b]


Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0)


½f(xnk)½>nk, ank®¥Þ½f(xnk)½®¥, т.е. f(xnk) б/б посл-ть.


С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к ¥, пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Высшая математика

Слов:7062
Символов:54634
Размер:106.71 Кб.