Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ Вn
= Сn
(1)
где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= Сn
- Вn
(2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
А4
= С4
-В4
(3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А4
= (С2
) 2
- (В2)
2
= (С2
-В2
) ∙ (С2
+В2
) (4)
Пусть: (С2
-В2
) = N4
(5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 - ой степени с параметром Nи переменными Bи С. Преобразуем уравнение (5):
N4
= (С -В) · (С +В) (6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C-B=M (7)
Из уравнения (7) имеем:
C=B+M (8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
N4
=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2B∙M+M2
(9)
Из уравнения (9) имеем:
N4
- M2
= 2B∙M (10)
Отсюда:
B= (11)
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C= (12)
И
на число M, т.е. число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4
.
Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел Nи M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11) и (12) также следует:
С2
+В2
= (13)
Обозначим:
С2
+В2
= K (14)
Пусть:
N=P∙S; M=S2
Тогда:
K= С2
+В2
= (15)
Из уравнений (4), (5) и (15) следует:
A4
= N4
∙ K=N4
· S4
∙ (16)
Отсюда следует:
A = N· S∙ (17)
Очевидно, что:
- дробное число.
То есть:
С2
+ В2
≠ R4
; A4
≠ N4
∙R4
Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А - дробное число.
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:
С2
+ В2
= R4
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=4.