Комплексные числа, их прошлое и настоящее.
Содержание.
I.
Введение.
II.
Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
III.
Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
3. Операция сопряжения и ее свойства.
4. Извлечение корней.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
IV.
Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кердано.
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
V.
Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
VI.
Заключение.
VII.
Литература.
I.
Введение.
Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
(α) Линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-b
/a
– единственный корень;
(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то x=-
b
±√
b
∙
b
-4
ac
/2
a
; при этом число корней зависит от величины D = b2
– 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:
При D>0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.
Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.
II.
Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2
+1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)2
+b2
=0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.
МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a0
∙xn
+a1
∙xn
-1
+…+an
-1
∙x+an
=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени
n
(
n
≥1) имеет ровно
n
корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При
n
≥5 общее алгебраическое уравнение степени
n
неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.
После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).
III
/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1
,y1
)+(x2
,y2
)=(x1
+x2
, y1
+y2
); (1)
(x1
,y1
)∙(x2
,y2
)=(x1
∙x2
– yi
y2
, xi
y2
+ x2
y1
). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).
Два комплексных числа z1
=(x1
,y1
) и z2
=(x2
,y2
) называются равными только в том случае, когда x1
=x2
и y1
=y2
. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2
=-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1
+z2
=z2
+z1
(переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1
z2
=z2
z1
в) z1
+(z2
+z3
)=(z1
+z2
)+z3
(сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1
(z2
z3
)=(z1
z2
)z3
д) (z1
+z2
)z3
=z1
z3
+z2
z3
(распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1
=x1
+iy1
и z2
=x2
+iy2
определяют, причем однозначно, их разность z1
-z2
и частное z1
/z2
как решения соответствующих уравнений z+z2
=z1
и zz2
=z1
(при z2
≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1
на z2
вычисляются по формулам:
z1
-z2
=(x1
-x2
)+i(y1
-y2
), (4)
z1
/z2
=(x1
x2
+y1
y2
)/(x2
2
+y2
2
) + i((y1
x2
-x1
y2
)/(x2
2
+y2
2
)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1
+(-z2
), где число (-z2
) называется противоположным z2
; деление – как действие, обратное умножению: z=z1
(z2
-1
), где z2
-1
– число, обратное для z2
(z2
≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных); - комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2
=-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.
Число r=√x2
+y2
, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.
Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.
Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x2
+y2
; sinφ=y/√x2
+y2
.
Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.
Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа ei
φ
=cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=rei
φ
(8)
3. Операция сопряжения и ее свойства.
Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).
Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,
z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2
+y2
=|z|2
,
а также: z1
+z2
=z1
+z2
; z1
z2
=z1
z2
; (z1
/z2
)=z1
/z2
; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q– многочлены с действительными коэффициентами.
4. Извлечение корней.
Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn
=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:
√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак «+» в скобках берется при β>0, «-» - при β<0.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
Пусть даны два комплексных числа z1
и z2
. В результате сложения этих чисел получается число z3
, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1
+z2
=0A+0B=0C=z3
.
Рис.3
Разность (z1
-z2
) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1
и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1
-z2
=z1
+(-z2
)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1
-z2
) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.
Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.
Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1
=r1
(cosφ1
+isinφ1
) и z2
=r2
(cosφ2
+isinφ2
). Перемножая их получим z1
z2
=r1
r2
(cos(φ1
+φ2
)+isin(φ1
+φ2
)). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модул
Деление. Если требуется разделить z1
на z2
, то выполняем следующие преобразования: z1
/z2
=(z1
z2
)/(z2
z2
)=(r1
(cosφ1
+isinφ1
)r2
(cosφ2
-isinφ2
))/ (r2
(cosφ2
+isinφ2
)r2
(cosφ2
-isinφ2
))=(r1
/r2
)(cos(φ1
-φ2
)+isin(φ1
-φ2
)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Возведение в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn
=rn
(cosφ+isinφ)n
=rn
(cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n
= cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).
Извлечение корня. Пусть а=rei
φ
, z=ρeiσ
. Решаем уравнение zn
=a для вычисления n
√a: ρn
einσ
=rei
φ
. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρn
=r, nσ-φ=2πK, или ρ=n
√r; σK
+1
=(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk
=n
√r(cosφ+isinφ)=n
√r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n)) (10), где n
√r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk
(исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).
Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел zk
+1
и zk
постоянна и равна 2π/n: σk
+1
-σk
=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения n
√a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.
IV
. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кардано.
Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3
+ax2
+bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3
+py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у0
– какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у0
=α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3
+β3
+( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений
α+β=у0
;
αβ=-р/3, а значит, существуют.
При этих условиях уравнение (12) примет вид α3
+β3
+q=0, а т.к. еще α3
β3
=-р3
/27, то получаем систему
α3
+β3
=-q;
α3
β3
=-р3
/27,
из которой по теореме Виета следует, что α3
и β3
являются корнями уравнения t2
+qt-p3
/27=0. Отсюда находим: α3
=-q/2+√q2
/4+p3
/27; β3
=-q/2-√q2
/4+p3
/27, где √q2
/4+p3
/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2
+(p/3)3
.
y1.2.3
=n
√-q/2+√q2
/4+p3
/27+3
√-q/2-√q2
/4+p3
/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3
√α соответствующие значения второго корня 3
√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3
√α+3
√β, где α=-q/2+√q2
/4+p3
/27; β=-q/2-√q2
/4+p3
/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4
+ax3
+bx2
+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4
+ру2
+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2
+p/2)2
+qy+(r-p2
/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y2
+p/2+α)2
-[2α(y2
+p/2)+α2
-qy+p2
/4-r]=0 (15)
Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2
-qy+(αp+α2
+p2
/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2
-8α(αp+α2
+p2
/4-r)=0, или 8α3
+8pα2
+8α(p2
/4-r)-q2
=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».
V
.
Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
1. Вычислить: ii2
i3
…i10
=?
Решение: ii2
i3
…i10
=i1+2+…+10
=i11∙10/2
=i55
=ii54
=i(i2
)27
=i(-1)27
=-i.
2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1
-z2
|, г) Arg(z1
/z2
)?
Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;
в) |z1
-z2
|- расстояние между точками z1
и z2
, изображающими комплексные числа z1
и z2
;
г) Arg(z1
/z2
) – угол между изображающими векторами 0z1
и 0z2
.
3. Доказать, что cos3φ=cos3
φ-3sin2
φcosφ; sin3φ=3cos2
φsinφ-sin3
φ.
Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3
=(cos3
φ-3cosφsin2
φ)+(3cos2
φsinφ-sin3
φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3
φ-3sin2
φcosφ, sin3φ=3cos2
φsinφ- sin3
φ.
4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i
3x-5y=4
x+2y=16 x=8; y=4.
Ответ: z=8+4i.
5. Доказать тождество |z1
+z2
|2
+|z1
-z2
|2
=2(|z1
|2
+|z2
|2
) и вычислить его геометрический смысл.
Доказательство: |z1
+z2
|2
+|z1
-z2
|2
= (z1
+z2
)( z1
+z2
)+( z1
-z2
)( z1
-z2
)= (z1
+z2
)( z1
+z2
)+ +( z1
-z2
)( z1
-z2
)=2 z1
z1
+2 z2
z2
=2(|z1
|2
+|z2
|2
).
Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
6. Найти геометрическое место точек:
а) |z-z0
|=R; б) z=z0
+Reit
(0≤t<2π)
Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0
.
в) |z-3i|=|z+2|;
г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
д) |z|≤R
π/4≤argz≤5π/4
Решение:
в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z1
=-2, как и от точки z2
=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (хс
;ус
), где хс
=(-2+0)/2=-1; ус
=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.
г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).
д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.
7. Доказать тождество:
(2x-z)2
+(2x-z)2
=2Re(z2
).
Доказательство:
1) (2x-z)2
+(2x-z)2
= 4x2
-4xz+z2
+4x2
-4xz+z2
=8x2
-4x(z+z)+z2
+z2
=8x2
-4x2x+(z+z)2
-
-2zz=(2x)2
-2|z|2
=4x2
-2(x2
+y2
)=2(x2
+y2
)=2Re(z2
).
2) 2Re(z2
)=2Re(x+iy)2
=2Re(x2
-y2
+2ixy)=2(x2
-y2
).
8. Решить систему уравнений
(3-i)z1
-(4+2i)z2
=1+3i;
(4+2i)z1
+(2+3i)z2
=7.
Решение: Применим правило Крамера:
∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2
=21+23i
(4+2i)+(2+3i)
∆z1
= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i
7 (2+3i)
∆z2
= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i
(4+2i) 7
Z1
= 21+23i =1; z2
= 23-21i =-i(21+23i) =-i
21+23i 21+23i 21+23i
Ответ: z1
=1; z2
=-i.
9. Доказать, что (а2
+1)(b2
+1)(c2
+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).
Доказательство: заметим, чтоа2
+1=|a+i|2
, тогдаимеем: (а2
+1)(b2
+1)(c2
+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2
+(ab+bc+ca-1)2
.
10. Найтисуммы:
С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.
Решение: найдем сумму σ=с+iS=(eiφ
+e2
iφ
+…+einφ
) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: eiφ
+e2
iφ
+…+einφ
= eiφ
((1- einφ
)/(1- eiφ
))= (eiφ
(1- einφ
) (1- e-
iφ
))/( (1- eiφ
) (1- e-
iφ
))= =(eiφ
-1- eiφ
(
n
+1)
+ einφ
)/|1- eiφ
|2
.
Поскольку |1- eiφ
|2
=|(1-cosφ)-isinφ|2
=(1-cosφ)2
+sin2
φ=4sin2
(φ/2);
Re(eiφ
-1- eiφ(n+1)
+ einφ
)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin2
(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(eiφ
-1- eiφ(n+1)
+ einφ
)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2
(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);
S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2
(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)
11. Найтисумму 1+eπ
cosπ+e2π
cos2π+…+enπ
cosnπ.
Решение: Рассмотрим функцию
S(x)=1+ex
cosx+e2
x
cos2x+…+enx
cosnx и найдем ее значение при х=π.
В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:
σ(z)=1+ex+ix
+e2x+i2x
+…+enx+inx
= 1+ex(1+i)
+e2x(1+i)
+…+enx(1+i)
=(1-( ex(1+i)
)n+1
)/(1- ex(1+i)
)= =1-ex(n+1)(1+i)
/(1-ex(1+i)
)=((1-ex(n+1)(1+i)
)(1-ex(1-i)
)/((1-ex(1+i)
)(1-ex(1-i)
)) =(1- ex(n+1)(1+i)
- ex(1-i)
+ex(n+2+ni)
)/|1- ex(1+i)
|2
=
=(1-e(n+1)x
ei(n+1)x
-ex
e-ix
+e(n+2)x
exni
)/(1-2ex
cosx+e2x
)
т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:
S(x)=1+ex
cosx+e2
x
cos2x+…+enx
cosnx=(1-e(
n
+1)
x
cos(n+1)x+e(
n
+2)
x
cosnx-ex
cosx)/(1-2ex
cosx+e2
x
)
Отсюда следует, что искомая сумма равна:
S(π)=1+eπ
cosπ+e2
π
cos2π+…+enπ
cosnπ= (1+eπ
+eπ
(
n
+2)
(-1)n
-e(
n
+1)
(-1)n
+1
)/(1+2eπ
+e2π
)= =((1+eπ
)+(-1)n
eπ
(
n
+1)
(eπ
+1))/(eπ
+1)2
=(1+(-1)n
eπ
(
n
+1)
)/(1+eπ
)
12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.
Доказательство:
Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2
=((|z|2
-1)+2iy)/|z+1|2
; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|2
-1=0 |z|=1.
13. Найти все значения корня 4
√1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.
Решение:
z=4
√1+i√3=4
√a, где a=1+i√3.
Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то zk
=4
√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.
Получаем:
Z0
= 4
√2(cosπ/12+isinπ/12); z1
=4
√2(cos7π/12+isin7π/12);
Z2
=4
√2(cos13π/12+isin13π/12); z4
=4
√2(cos19π/12+isin19π/12).
14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)6
-1/(√3-i)6
=z
Решение: преобразуем данное число:
Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))6
-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))6
= =(1-i√3)6
/|1+i√3|12
-(√3+i)6
/|√3+i|12
=z1
-z2
=(т.к. |z1
|=|z2
|=2; φ1
=-π/3; φ2
=π/6, то)=1/26
∙26
(cos(-π/3)+isin(-π/3))6
-1/26
∙26
(cosπ/6+isinπ/6))6
= =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.
VII.
Литература.
VIII.
1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.
3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.
5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.