Кривые второго порядка
СОДЕРЖАНИЕ
1 Окружность. Эллипс
2Гипербола
3Парабола
4 Литература
1 Окружность. Эллипс
При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х
и у
входят в них в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х
или переменная у
, или обе переменные х
и у
, входят во второй степени, или же входит произведениех·
у
(степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R
;
–
уравнение гиперболы, – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.
Окружностью
называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть – центр окружности. R
– радиус окружности. Пусть – произвольная точка окружности. Следовательно,= =
(1)
(1) – уравнение окружности радиуса R
cцентром в точке с координатами
Эллипсом
называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F
1
и F
2
этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а
, а
> 0,большая
, чем расстояние между фокусами 2с
, с
> 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х
, причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса.
Пусть – произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами
точки М
эллипса.
По определению эллипса: r
1
+ r
2
= 2a
, а
> c
. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
(2)
Умножим (2) на
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем (4) в квадрат:
Пусть
(5)
(5) – каноническое уравнение эллипса
с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
– каноническое уравнение эллипса с центром в точке
Числа а
и называются соответственно большой
и малой полуосями эллипса
. Заметим, что а
> , если а
< , то фокусы эллипса будут на оси Оу
, если а
= , то эллипс превращается в окружность.
Точки , называются вершинами эллипса
. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:
Так как
(6)
Эксцентриситетом
эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с
к длине большой оси 2а
.
(7)
Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.
При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох
.
Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):
(8)
Из (3):
Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М
.
Прямые называются директрисами эллипса
.
– левая директриса,
– правая директриса.
Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:
(9)
т. е. отношение расстояния ri
от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di
от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.
2 Гипербола
Гиперболой
называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая
, чем расстояние между фокусами
Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох
, причем т. е. Заметим, что
Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы
точки М
.
По определению гиперболы:
где
Следовательно,
(10)
Умножим (10) на
(11)
Сложим уравнения (10) и (11):
(12)
Возведем (12) в квадрат:
Пусть
(13)
(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке
Числа a
и b
называются соответственно действительной
и мнимой полуосями
гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a
=
b
) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:
Точки называются вершинами гиперболы.
Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид
(14)
то фокусы гиперболы находятся на оси Оу
, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.
Так как , то (15)
Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом
гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси :
(16)
Следовательно,
Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12)
(17)
Прямые называются директрисами гиперболы.
– левая директриса,
– правая директриса.
Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса
(18)
т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Для гиперболы важную роль играют также прямые
(19)
которые являются ее асимптотами
, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)
Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу
, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.
3 Парабола
Параболой
называется множество то
этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.
Построим уравнение параболы.
Пусть ось О
x
проходит через фокус F
параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу
проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p
–
расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .
Число p
– называется фокальным параметром
параболы.
Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M
.
d
– расстояние от точки М
до директрисы. Тогда
По определению параболы. Следовательно
Возведем это уравнение в квадрат
(20)
– каноническое уравнение параболы
, симметричной относительно оси О
x
и проходящей через начало координат.
Точка (0; 0) – вершина параболы.
Если р
> 0
(р
> 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу
.
Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).
Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу
и проходящая через начало координат, определяется уравнением
х
2
= 2q y
(21)
Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М
(х
, у
) выражается формулой .
Если q
> 0 (q
< 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох
.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1
Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением
х
2
+ у
2
– 4х
+ 6у
– 3 = 0.
Решение.
Выделим полные квадраты в данном уравнении:
х
2
+ у
2
– 4х
+ 6у
– 3 = (х
2
– 4х
+ 4) – 4 + (у
2
+ 6у
+ 9) – 9 – 3 = 0
Þ (х –
2)2
+ (у
+ 3)2
= 16.
Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.
ПРИМЕР 2
Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох
, проходит через точку М
(–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М
.
Решение.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
Так как эллипс проходит через точку М
, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению
Фокусы находятся на оси Ох
, следовательно
Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а
2
и в
2
:
Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:
Фокальные радиусы точки М
определим по формулам (8): х
= –4, , .
Þr
1
= а
+ eх
= = 8 – 3 = 5,
r
2
= а
– eх
= = 8 + 3 = 11.
ПРИМЕР 3
Определить траекторию точки М
, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F
(–1; 0), чем к прямой х
= –4.
Решение.
Пусть М
(х
, у
). Тогда çMN
ú = 2 çMF
ú, çMN
ú = ç–4 – x
ú, çMF
ú= = , Þç– (4 + х
)ú = .
Возведем в квадрат: (4 + х
)2
= 4 ((х
+ 1)2
+ у
2
),
Þ 16 + 8х
+ х
2
= (х
2
+ 2х
+ 1 + у
2
) · 4 = 4х
2
+ 8х
+ 4 + 4у
2
,
Þ 3х
2
+ 4у
2
= 12 ÞÞ.
Таким образом, точка М
(х
, у
) движется по эллипсу.
ПРИМЕР 4
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .
Решение.
Из уравнения данного эллипса имеем: а
= 5; в
= 3, а
> в
.
Следовательно, Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F
1
(–с
; 0) = (–4; 0), F
2
(4; 0).
Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох
(а
> в
), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох
, имеет вид (13)
,
причем F
1
(–5
; 0), F
2
(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с
1
= 5. Найдем а
1
и в
1
.
Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а
1
= с
= 4. Следовательно:
.
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
ПРИМЕР 5
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F
(2; 0) и от прямой у
= 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох
.
Решение.
Пусть точка М
(х
, у
) – принадлежит данному множеству точек.
Следовательно çFM
ú = çNM
ú , çFM
ú == , çNM
ú = 2 – у
, Þ 2 – у
= .
Возведем в квадрат:
– парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох
.
у
= 0 ÞÞÞх
1
= 0; х
2
= 4.
Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).
Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х
= 2 Þ= = 2 – 1 = 1, т. е.
Вершиной параболы будет точка (2; 1).
ПРИМЕР 6
На параболе у
2
= 6х
найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
Решение.
Так как у
2
= 2рх
Þ 2р
= 6, р
= 3. Þ = = Значит у
2
= 6 · 3 = 18 Þу
= ± = ±. Þ (3; ±) – две таких точки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.