Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Расширение кольца с помощью полутела
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Лукин Михаил Александрович
_____________________
Научный руководитель:
д. ф.-м. н.,профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии
Вечтомов Евгений Михайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии
Чермных Василий Владимирович
_____________________
Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина
Киров – 2005
Введение........................................................................................ 3
§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6
§2. Допустимые полутела.......................................................... 10
§3. О единственности расширения............................................ 12
Заключение................................................................................. 14
Библиографический список........................................................ 15
Введение
Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.
Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).
В работе исследуется следующий вопрос.Для каких кольца R
, полутела U
и ограниченной дистрибутивной решетки L
существует 0-1-расширение кольца R
и полутела U
с помощью решетки L
?
Полукольцом
называется такая алгебраическая структура áS
; +, ×, 0ñ, что áS
; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS
, ñ - полугруппа и в S
выполняются тождества a
(b
+c
)=ab
+ac
, (a
+b
)c
=ac
+bc
и a
0=0a
=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S
исключить 0, то получим структуру áS
; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом
. Полукольцо с квазитождеством a
+b
=0 Þa
=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a
+a
=a
называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a
+b
=a
+c
Þb
=
c
называется сократимым.
Полукольцо S
назовем 0-расширением
полукольца K
с помощью полукольца T
, если на S
существует такая конгруэнция s, что K
@[0]s
- изоморфно нулевому ядру - и S
/
s
@T
. Аналогично, полукольцо S
с единицей 1 называется 1-расширением
полукольца K
, возможно без нуля, с помощью полукольца T
, если на S
существует конгруэнция r, для которой K
@[1]r
- изоморфно единичному ядру - и S
/
r
@T
. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).
Для произвольного полукольца S
обозначим через R
(S
)множество всех аддитивно обратимых элементов в S
, а через U
(S
) – множество всех обратимых элементов в S
в случае, когда S
обладает 1. Очевидно, что R
(S
) является кольцом и строгим идеалом полукольца S
(т.е. a
+b
ÎR
(S
) Þa
, b
ÎR
(S
)).
Пусть S
/
R
(S
)– фактор-полукольцо полукольца S
по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R
(S
): s
конгруэнтно t
Ûs
+a
=t
+b
для некоторых a
, b
ÎR
(S
). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp
-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S
с 1 означает, что все элементы вида a
+1, a
ÎS
, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S
каждого уравнения axa
=
a
.
Справедливы следующие утверждения.
1.Любое полукольцо
S
является 0-расширением кольца, изоморфного
R
(
S
), с помощью положительно упорядоченного полукольца
[1]
2. Полукольцо
S
с
1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал
R
(
S
) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из
S
[1].
3.Полукольцо
S
служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал
R
(
S
) полульца
S
простой (т.е.
ab
Î
R
(
S
) влечет
a
Î
R
(
S
) или
b
Î
R
(
S
)).
4.Для полукольца
S
с 1 фактор-полукольцо
S
/
R
(
S
) является полутелом с нулем тогда и только, когда
R
(
S
) есть максимальный односторонний идеал в
S
.
В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].
5. Для существования 1-расширения полукольца
K
, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца
T
необходимо и достаточно, чтобы
K
имело 1, а
T
было идемпотентным полукольцом с 1.
6. Любое
arp
-полукольцо
S
является 1-расширением полутела
U
(
S
) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки
S
/r
, где
r
- конгруэнция на
S
, такая, что
a
r
b
означает
aU
(
S
)=
bU
(
S
). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение.
См. [2].
7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела
[4].
Полукольцо S
с 1 назовем 0-1-расширением
полукольца K
и полукольца без нуля L
с помощью полукольца T
, если на S
существует такая конгруэнция r, что [0]ρ
@K
, [1]r
@L
и S
/r
@T
.
Пусть для кольца R
, полутела U
и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Соответствующую тройку <R
,P
,L
> будем называть допустимой
.
§1.
Допустимые кольца и решётки
Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.
Обозначим через D
двухэлементную цепь.
Пусть имеется полукольцо S
с конгруэнцией r
, для которой [0]r
@R
, [1]r
@P
, F
/
r
@D
. Такое полукольцо S
назовем дизъюнктным объединением
кольца R
и полутела P
, и обозначим P
R
. Ясно, что "p
Î
P
,"r
Î
R
,p
×r
Î
R
,
p
+r
Î
P
.
С другой стороны, если любой элемент полукольца S
с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S
будет дизъюнктным объединением кольца R
(S
) и полутела U
(S
). При этом разбиение {R
(S
), U
(S
)} индуцирует искомую конгруэнцию r
на S
.
Предложение.
В
U
R
справедливы следующие утверждения
а) аддитивная группа
R
делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.
Доказательство.
а) Пусть , тогда , ч.т.д.
б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .
Теорема 1.
Для произвольного кольца
R
эквивалентны следующие условия:
1)
существует допустимая тройка
áR
, U
, L
ñ, где
L
– любая дистрибутивная решетка с 1
¹
0;
2)
существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца
R
и полутела U
;
3)
R
– радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.
Доказательство.
1Þ2.
Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S
и конгруэнцию r
. Поскольку D
- подрешетка дистрибутивной решетки L
с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединенияможно взять подполукольцо [1]r
È[0]r
в S
.
2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L
обладает простым идеалом I
, более того L
I
- дуальный идеал.
Поэтому в качестве полукольца S
можно взять множество пар (i
,r
),i
Î
I
,r
Î
R
È(l
,p
),l
Î
L
/
I
,p
Î
P
с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I
операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F
, [0]r
@R
, [1]r
@P
, F
/
r
@L
2
. Если в качестве конгруэнции g
выбрать отношение равенства первых координат, то [0]g
@R
, [1]g
@P
, S
/
g
@L
2
, что завершает доказательство.
Лемма.
Пусть в кольце
R
"r
$r
¢
"t
Î
R
,(
r
+r
¢
r
+
r
¢
)
t
=
0Ù,(
r
+rr
¢
+
r
¢
)
t
=
0, тогда
"r
$r
²
,r
+r
²
r
+
r
²
=
0Ùr
+r
²
r
+
r
²
=
0.
Доказательство.
Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r
²
=-
r
-
r
¢r
. Имеем
r
+r
²
r
+r
²
= r
+(-
r
- r
¢
r
)r
- r
- r
¢
r
= (r
+r
¢
r
+r
¢
)(-r
)=0
r
+rr
²
+r
²
= r
+r
(-
r
- r
¢
r
) - r
- r
¢
r
= (r
+rr
¢
+r
¢
)(-r
)=0.
Кольцо R
называется радикальным по Джекобсону
, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r
°s
= r
+s
+rs
в R
является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R
для любого элемента r
существуетединственный элемент s
, такой, что r
+s
+rs
=0.
2)Þ3). P
содержит Q
+
,
иначе 1+
1=
1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r
, имеем r
+
r
=
r
Ûr
=0
– противоречие. Таким образом, R
– полумодуль над Q
+
и, значит, модуль над Q
. Поэтому <R
,+
> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).
Множество T=Q
+
+
R
является подполутелом в U
, поскольку
q
1
+
r
1
+
q
2
+
r
2
=
(q
1
+
q
2
)+
(r
1
+
r
2
);
(q
1
+
r
1
)(q
2
+
r
2
) =
(q
1
q
2
+
q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
) =
q
1
q
2
+
(q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
);
t=q+r
Þ1=qt -1
+rt -1
Þt -1
=q -1
- q -1
r t -1
Î
Q+
+ R.
Следовательно, для любого элемента 1+r
,r
Î
R
найдётся, 1+r
¢
,r
¢
Î
R
что (1+r
)(1+r
¢
) = (1+r
¢
)(1+r
) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r
+rr
¢
+r
¢
= 1+r
+r
¢
r
+r
¢
= 1. Умножая последнее равенство на любое t
Î
R
, имеем (r
+r
¢
r
+
r
¢
)t
=
0Ù(r
+rr
¢
+
r
¢
)t
=
0, значит, в виду леммы, R
радикально по Джекобсону.
3)Þ2). Поскольку R
радикально по Джекобсону, алгебра Q
+
´R
с операциями
(q
1
,r
1
)+
(q
2
,r
2
)=
(q
1
+
q
2
)+
(r
1
+
r
2
), (q
1
,r
1
)×(q
2
,r
2
) =
(q
1
q
2
,q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
)
является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S
@(Q
+
È{0})´R
с теми же операциями совпадает с (Q
+
´R
)({0}´R
) = (Q
+
´R
)R
.
Примеры.
1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.
Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R
, порождённое одним элементом e
.
Пусть e
- образующий. Поскольку в качестве элементов R
выступают p
1
e
+ p
2
e
2
+ … + pn
-1
e
n
-1
, pi
Î
Q
, n
- наименьшая нулевая степень e
, T
R
- в точности совпадает с одним из двух полуколец.
(q
+q
1
e
+ q
2
e
2
+ … + qn
-1
e
n
-1
,p
1
e
+ p
2
e
2
+ … + pn
-1
e
n
-1
)q
Î
Q
+
,qi
,pi
Î
Q
или
(q
+q
1
e
+ q
2
e
2
+ … + qn
-1
e
n
-2
,p
1
e
+ p
2
e
2
+ … + pn
-1
e
n
-1
)q
Î
Q
+
,qi
,pi
Î
Q
c операциями
(q
1
,r
1
)+
(q
2
,r
2
) =
(q
1
+
q
2
)+
(r
1
+
r
2
), (q
1
,r
1
)×(q
2
,r
2
) =
(q
1
q
2
,q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
).
2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R
@m
(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "a
Î
m
(0), a
+x
+ax
= 0Ûx
= (-a
)/(1+a
)Î
m
(0)
Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q
[x
]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q
+q
1
e
+ q
2
e
2
+ … + qn
-1
e
l
,p
1
e
+ p
2
e
2
+ … + pn
-1
e
m
)q
Î
Q
+
,qi
,pi
Î
Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).
Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.
§2. Допустимые полутела
Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P
, что P
R
.
Замечания.
1. Пусть дано допустимое кольцо R
, тогда множество элементов M
= {m
Î
R
, "r
Î
R
|
r
∙m
=
m
∙r
=0} образует в нём подкольцо.
2. Множество элементов E
= {e
Î
R
,1+e
=1
} образует в M
и в R
двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.
3.Множество Q
+
×(R
/
I
) является полутелом с операциями (q
1
,r
1
)+
(q
2
,r
2
) =
(q
1
+
q
2
)+
(r
1
+
r
2
), (q
1
,r
1
)×(q
2
,r
2
) =
(q
1
q
2
,q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
), где I
- произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R
.
Теорема 2.
Пусть
áR
, U
, D
ñ- допустимая тройка и
R
ненулевое. Тогда множество
Q
+
+
R
есть подполутело
U
, изоморфное
((R
/
I
)´
Q
+
), где
I
некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм
a
полутела
U
в кольцо
R
-модульных эндоморфизмов
End
R
R
, образ которого содержит
Q
+
. Если правый аннулятор кольца
R
нулевой, то полутело
Im
a
содержит подполутело, изоморфное
((R
/
I
)´
Q
+
).
Доказательство.
Пусть T
, R
- из допустимой тройки. Любой элемент T
представим в виде q
+
r
,
q
Î
Q
+
,
r
Î
R
. Два элемента q
+
r
1
и q
+
r
2
равны тогда и только тогда, когда 1+r
1
-r
2
=1. С другой стороны, если 1+r
= 1, то 1+r
1
+r
=1+r
1
. Поэтому все элементы вида q
+r
+e
, 1+
e
=1
"e
сливаются в классы q
×(R
/
I
), где I
- множество всех e
.
Отображение j
u
: R
®uR
,u
Î
U
ввиду дистрибутивности и ассоциативности в U
R
является R
–
модульнымэндоморфизмом. Пусть j
u
+
j
v
:R
®(u
+
v
)
R
и
j
u
×
j
v
:R
®uvR
,
тогда отображение a
: U
®End
R
R
, сопоставляющее каждому элементу u
Î
U
эндоморфизм j
u
-
канонический гомоморфизм.
Пусть правый аннулятор R
нулевой, тогда для двух элементов q
1
+r
1
,q
2
+r
2
,
считая без ограничения общности, q
1
=q
2
+
q
3
(q
3
может равняться нулю),
"r
,
(q
1
+r
1
)r
=(q
2
+r
2
)r
Û(q
3
+r
1
-r
2
)r
=
0Þq
3
=0,r
1
=r
2
. Элементы q
1
+r
1
и q
2
+r
2
одинаково действуют на R
только в случае равенства. Поэтому a
-
мономорфизм и Im
a
содержит подполутело, изоморфное ((R
/
I
)´
Q
+
).
Замечание.
Система (Q
+
×(R
/
I
))È({0}×R
) с операциями (q
1
,r
1
)+
(q
2
,r
2
) =
(q
1
+
q
2
)+
(r
1
+
r
2
), (q
1
,r
1
)×(q
2
,r
2
) =
(q
1
q
2
,q
1
r
2
+
r
1
q
2
+
r
1
r
2
) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R
/
I
) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.
§3. О единственности расширения
При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности U
R
для данных U
и R
.
Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U
и R
.
Пусть для данных полутела U
и кольца R
существует коммутативное U
R
и пусть t
Î
R
не лежит в AnnR
, но t
×
r
Î
AnnR
"r
Î
R
(примером такого дизъюнктного объединения с элементом
t
служит
(q
+q
1
e
+ q
2
e
2
+ … + qn
-1
e
n
-1
,p
1
e
+ p
2
e
2
+ … + pn
-1
e
n
-1
)q
Î
Q
+
,qi
,pi
Î
Q
из примера 1).
Определим новые операции на U
ÈR
следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов r
Î
R
и u
Î
U
сложение зададим законом u
År
=
u
+
r
+
r
×
t
. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:
1. Ассоциативность сложения:
(u1
Åu2
)År=u1
Å(u2
År
)Ûu1
+u2
+r+rt= u1
+u2
+r+rt
(u
År1
)År2
=u
Å(r1
År2
)Ûu
+r1
+r1
t+r2
+r2
t=u+r1
+r2
+
(r1
+r2
)t.
2. Дистрибутивность:
u1
(r
Åu2
)=u1
r
Åu1
u2
Ûu1
(r
+u2
+rt
)=u1
u2
+u1
r+u1
rt
r1
(u
År2
)=r1
u
År1
r2
Ûr1
u+r1
r2
+r1
r2
t=r1
u
+r1
r2
.
Таким образом, U
ÈR
с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f
:u
®u
"u
Î
U
:
r
®(1+t
)-1
r
"r
Î
R
.
Причёмft
:
r
®(1+t
)-1
r
"r
Î
R
–
автоморфизмR
.
Доказательство.
Имеем ft
–
автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r
имеется свой праобраз (1+t
)r
.
И выполняются тождества
"r
1
,r
2
,
ft
(r
1
+
r
2
)=(1+t
)-1
(r
1
+
r
2
)= (1+t
)-1
r
1
+(1+t
)-1
r
2
=
ft
(r
1
)+ft
(r
2
)
"r
1
,r
2
,
(1+t
)-1
(r
1
∙
r
2
)=(1+t
)-1
(1+t
)-1
(r
1
∙
r
2
),
поскольку (1+t
)r
1
r
2
=
r
1
r
2
. Поэтому в виду коммутативности полукольца ft
(r
1
∙
r
2
)=ft
(r
1
)ft
(r
2
).
Поскольку при отображении f
кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:
"u
Î
U
,
r
Î
R
f
(u
+
r
)=u
+
r
=
u
+
r
+
(1+
t
)-1
r
f
(u
)Åf
(r
)
"u
Î
U, r
Î
R f
(ur
)=(1+t
)-1
ur=u
(1+t
)-1
r=f
(u
) f
(r
).
Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.
Заключение
В дипломной работе представлено описание0-1-расширений кольца R
и полутела U
с помощью решетки L
. Установлены, следующие факты:
существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L
(теорема 1);
кольцо R
состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);
строение полутела U
существенно зависит от строения R
(теорема 2).
Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма U
R
. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.
Библиографический список
1. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.
2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.
3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S.93-98.
4. Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.
5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972. – 200 с.