Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Сингулярные интегралы.
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Сколова Ирина Юрьевна
____________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
____________________
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент
Подгорная Ирина Иссаковна
____________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.
« » _______________
Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.
« » _______________
Киров 2005
Оглавление
Введение………………………………………………………………………...с. 3
§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11
§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18
§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23
Литература……………………………………………………………………...с. 27
Введение
Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f
(t
) в точке x
. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой
, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение.
Если в точке x
будет и , то точка x
называется точкой Лебега
функции f
(t
).
Теорема (Н. Н. Лузин).
Пусть
f
(x
) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
[a
, b
]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .
Если, в частности, , то и .
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение.
Пусть дано измеримое множество E
. Взяв произвольную точку x
и число h
>0, положим E
(, h
)=E
∙[-h
, +h
]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения при h→0 называется плотностью
множества E в точке и обозначается через .
Определение.
Пусть функция f
(x
) задана на сегменте [a
, b
] и . Если существует такое измеримое множество E
, лежащее на [a
, b
] и имеющее точку точкой плотности, что f
(x
) вдоль E
непрерывна в точке , то говорят, что f
(x
) аппроксимативно непрерывна
в точке .
Определение.
Измеримая функция f
(x
) называется функцией с суммируемым квадратом
, или функцией, суммируемой с квадратом
, если
.
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение.
Пусть на сегменте [a
, b
] задана конечная функция f
(x
). Если всякому ε
>0 отвечает такое δ
>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается
, (3)
то говорят, что функция f
(x
) абсолютно непрерывна
.
Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение.
Две функции f
(x
) и g(x), заданные на сегменте [a
, b
], называются взаимно ортогональными
, если .
Определение.
Функция f
(x
), заданная на [a
, b
], называется нормальной
, если .
Определение.
Система функций , , , …, заданных на сегменте [a
, b
], называется ортонормальной системой
, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение.
Пусть есть ортонормальная система и f
(x
) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье
функции f
(x
) в системе .
Ряд называется рядом Фурье
функции f
(x
) в системе .
§1. Понятие сингулярного интеграла
Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
. (1)
Если n
и x
фиксированы, а t
меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t
. Значит, для всякой суммируемой f
(t
) () можно образовать величину
. (2)
Докажем, что во всякой точке x
(0<x
<1), в которой функция f
(
t
)
непрерывна, будет
. (3)
Для этого прежде всего отметим, что при
. (4)
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность
.
Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме
.
Интеграл оценивается следующим образом:
.
В интеграле будет , поэтому
,
где не зависит от n
. Аналогично и, следовательно, ,
так что при достаточно больших n
будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n
, что и требовалось доказать.
Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n
те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x
значениям t
, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x
. Но около точки x
функция f
(t
) почти равна f
(x
) (т. к. она непрерывна при t
=
x
). Значит, если n
велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f
(t
) на f
(x
), т. е. он почти равен интегралу
и, в силу (4), почти равен f
(x
).
Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра
.
Определение.
Пусть функция (n
=1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t
при каждом фиксированном x
.
Она называется ядром
, если при условии, что .
Определение.
Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом
.
В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f
(t
) в точке x
. Так как изменение значения функции f
(t
) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f
(x
)
функции f
(t
) в точке x
было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f
(t
) в точке t
=
x
. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x
была точкой Лебега функции f
(t
), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег).
Пусть на [
a
,
b
] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная
K
, что при всех
n
и
t
будет
,
(5)
и если при всяком
c
() будет
,
(6)
то, какова бы ни была суммируемая на [
a
,
b
] функция
f
(t
), справедливо равенство
. (7)
Доказательство.
Если есть сегмент, содержащийся в [
a
,
b
]
, то из (6) следует, что
. (8)
Рассмотрим непрерывную
функцию f
(t
), и для наперед заданного разложим [
a
,
b
]
точками
на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f
(t
)было меньше, чем ε
.
Тогда .
(9)
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε
(
b
-
a
).
Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n
и для окажется меньшей, чем ε
. Для этих n
будет
,
так что (7) доказано для непрерывной функции f
(
t
).
Пусть f
(t
)измеримая ограниченная
функция .
Возьмем ε>0
и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g
(t
), что , .
Тогда .
Но .
Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n
становится меньше ε
. Значит, для этих n
будет
,
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть f
(t
) произвольная суммируемая
функция.
Возьмем ε
>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ
>0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me
<δ
было .
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g
(t
), чтобы было . Это возможно по
Теореме.
Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция
f
(x
). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция
g
(x
) такая, что
.
Можно считать, что на множестве функция g
(t
) равна нулю.
Тогда .
Но .
Интеграл же при достаточно больших n
будет меньше ε
, и при этих n
окажется , что и доказывает теорему.
Пример.
Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман-Лебег).
Для любой суммируемой на
[
a
,
b
] функции
f
(t
) будет .
В частности, коэффициенты Фурье
, произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при
.
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [
a
,
b
]
функции f
(t
), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю
.
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n
и x
ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f
(t
).
Теорема 1 (А. Лебег).
Если при фиксированном
x
(
a
<
x
<
b
) и любом δ>0 ядро
слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [
a
,
x
-
δ
],
[
x
+
δ
,
b
] и , где
H
(x
) не зависит от
n
, то, какова бы ни была суммируемая функция
f
(t
), непрерывная в точке
x
, справедливо равенство
.
Доказательство.
Так как есть ядро, то
,
и достаточно обнаружить, что
.
С этой целью, взяв ε
>0, найдем такое δ
>0, что при будет
.
Это возможно в силу непрерывности функции f
в точке x
.
Тогда при любом n
.
Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [
a
,
x
-
δ
]
, [
x
+
δ
,
b
]
. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.
И для этих n
окажется , что и требовалось доказать.
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в т
Лемма (И. П. Натансон).
Пусть на сегменте [
a
,
b
] дана суммируемая функция
f
(t
), обладающая тем свойством, что
.
(1)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция
g
(t
), заданная и суммируемая на [
a
,
b
], интеграл
(2)
существует (может быть как несобственный при
t
=
a
) и справедливо неравенство
.
(3)
В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g
(t
) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.
Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g
(b
)=
0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g
(t
) функцию g
*
(t
), определив ее равенствами
g
(t
), если ,
g
*
(t
)=
0, если t=b
.
Доказав теорему для g
*
(t
), мы затем смогли бы всюду заменить g
*
(t
) на g
(t
), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g
(b
)=0
.
Пусть a
<
α
<
b
. На сегменте [
α, b
]
функция g
(t
) ограничена, и интеграл
(4)
заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса
,
откуда, после интегрирования по частям, находим
.
Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h
из интервала [
0, t
-a
]
выполняется неравенство и следовательно
, (5)
а так как g
(t
) убывает, то
. (6)
Значит . С другой стороны, функция –
g
(
t
)
возрастает. Отсюда и из (5) следует, что
.
Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:
.
Отсюда, учитывая (6), следует, что
.
Сопоставляя все сказанное, получаем:
. (7)
Хотя это неравенство установлено при предположении, что g
(b
)=
0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b
на β
, где α<
β
<
b
. Но тогда, устремляя α
и β
к a
, получим ,
чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M
уменьшить нельзя, так как при f
(t
)=
1 в (3) достигается равенство.)
Теорема 2 (П. И. Романовский).
Пусть ядро
положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных
n
и
x
ядро , как функция одного лишь
t
, возрастает в сегменте [
a
,
x
] и убывает в сегменте
[
x
,
b
].
Тогда для любой суммируемой функции
f
(t
), которая в точке
x
является производной своего неопределенного интеграла, будет .
Доказательство.
Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что
.
Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте
[
a
,
x
]
и [
x
,
b
]
, рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.
Возьмем ε>0
и найдем такое δ>0
, что при будет
,
что возможно, так как f
(t
) в точке t
=
x
есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и .
Тогда по предыдущей лемме
.
Так как есть ядро, то .
Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K
(x
) такая, что
.
Таким образом,
.
С другой стороны, если , то
.
Значит функции на сегменте [
x
+
δ
,
b
]
равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [
x
+
δ
,
b
]
слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n
будет .
При этих n
окажется
,
так что
.
Теорема доказана.
В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса
.
Функция есть ядро, т. к. при α<x<β
.
Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке x
, где f
(t
) есть производная своего неопределенного интеграла.
Определение.
Функция Ψ(
t
,
x
)
называется горбатой мажорантой
функции , если и если Ψ(
t
,
x
)
при фиксированном x
возрастает на сегменте [
a
,
x
]
и убывает на сегменте [
x
,
b
]
.
Теорема 3 (Д. К. Фаддеев).
Если ядро при каждом
n
имеет такую горбатую мажоранту , что
,
где
K
(x
) зависит лишь от
x
, то для любой
, имеющей точку
t
=
x
точкой Лебега, будет справедливо равенство
.
Доказательство.
Достаточно доказать, что
.
Возьмем ε
>0 и найдем такое δ
>0, что при будет
.
По лемме имеем
.
С другой стороны, в сегменте [
x
+
δ
,
b
]
последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет
.
Следовательно для достаточно больших n
будет
.
При этих n
окажется ,
так что . Теорема доказана.
§3. Приложения в теории рядов Фурье
Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f
(x
) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе
, (1)
то рядом Фурье функции f
(x
) служит ряд
, (2)
где
, . (3)
Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f
(x
) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.
Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .
Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства
(k
=0, 1, …, n
-1),
.
Это дает , откуда следует равенство
, (4)
Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид
. (5)
Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле
.
Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n
сумм :
. (6)
В случае сходимости ряда (2) в точке x
последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.
Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5)
.
Но . (7)
Действительно, складывая равенства
(k
=0, 1, …, n
-1),
находим , откуда и следует (7).
С помощью (7) получаем . (8)
Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера
. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.
Для этого рассмотрим функцию f
(t
)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k
=1, 2, …).
Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .
Но выражая интегралом Фейера, получим, что
. (9)
Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A
(
x
,
α
)
не зависит от n
.
Отсюда следует, что .
Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β
, π
]. Сопоставляя это с (9), находим, что
,
так что функция есть ядро.
Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .
Следовательно и
. (10)
С другой стороны, когда , то , так что
. (11)
Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом
при возрастании n
стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .
Из (10) и (11) следует, что
.
Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера.
Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n
.
Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы
Д. К. Фаддеева. Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег).
Почти везде на [-
π
, +
π
] будет
.
(12)
Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции
f
(t
), лежащих внутри [-
π
, +
π
].
Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f
(x
) суммируема с квадратом. Справедлива следующая
Теорема 2.
Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции
f
(x
) равны нулю, то
f
(x
) эквивалентна нулю.
В самом деле, в этом случае и, следовательно, f
(x
)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.
Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что
,
так что .
Отсюда .
§4. Сингулярный интеграл Пуассона
Пусть точка x
есть точка
d
суммируемой функции f
(t
), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f
(t
) равна f
(x
) (причем ).
Интеграл (0<r
<1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x
(-π
<x
<π
) есть точка d
суммируемой функции f
(t
), то (П. Фату).
1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x
. Рассмотрим при x
=0.
.
Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим
. (1)
Обозначим , тогда , а .
Выражение (1) будет равно
при 0<r
<1.
Получили, что и - ядро.
2) Докажем, что .
, .
Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .
Найдем такое, что на интервале [x
-, x
] ядро возрастает, а на [x
, x
+] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x
: .
Возьмем ε
>0 и найдем такое δ
(0<δ
<), что при будет , что возможно, так как x
есть точка d
, т.е. f
(t
) в точке t
=
x
есть производная своего неопределенного интеграла.
Тогда по лемме И. П. Натансона
, т. к. есть ядро, и .
Таким образом, на интервале [x
, x
+δ
] справедливо неравенство . На [x
-δ
, x
] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [x
-δ
, x
+δ
] относительно точки x
.
Рассмотрим за пределами [x
-δ
, x
+δ
], т.е. на
[-π,
x
-
δ
,
] и на [x
+δ
, π
].
В этих случаях выполняются неравенства
, .
Тогда и .
Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.
Аналогично .
То есть на интервалах [-π,
x
-
δ
,
] и [x
+δ
, π
].
При r
, достаточно близких к 1, получим
и .
При этих r
окажется ,
так что и .
Таким образом, доказано, что (0<r
<1) есть сингулярный интеграл.
Литература
1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.