Введение
Теоретическая часть
§1 Основные определения
§2 Простейшие свойства m – степеней
§3 Минимальные элементы верхней полурешетки m-степеней
2. Практическая часть
§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций
Литература
Введение
Сейчас много внимания уделяется вопросам сводимости функций. Данная работа посвящена одной из разновидностей сводимости частично рекурсивной функции, а именно m-сводимости.
Для дальнейшего рассмотрения этого вопроса будем пользоваться общепринятыми понятиями и теоретико-множественными обозначениями.
Символы логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, и эквивалентности будем обозначать: , соответственно.
Кванторы общности и существования обозначают соответственно.
Совокупность всех целых неотрицательных чисел обозначим через N.
Под множеством будем понимать подмножество N.
Латинскими буквами A,B,C,… будем обозначать множества.
Объединение множества A и B обозначим через пересечения этих множеств - а разность , дополнение - .
Пусть 1
*2
*…*n
1
,2
,…,n
1
1
, 2
2
,…,nn
-декартово произведение множеств 1
,2
,…,n
.
Определение: Функции называется арифметической, если ее аргументы пробегают натуральный ряд N, и сама функция принимает лишь натуральные значения.
Под n-местной частичной арифметической функцией будем понимать функцию, отображающую некоторое множество в N ,где -n-ая декартовая степень множества N.
Греческими строчными буквами будем обозначать частично рекурсивные функции (ЧРФ) : .
Всякий раз, когда число аргументов явно не указывается, речь идет об одноместных функциях. Обозначим через множество всех одноместных ЧРФ.
Запись означает, что функция для этой n-ки не определена, а запись означает, что функция для этой n-ки определена.
Множество называют областью значений функции , а множество область определения функции .
Определение: Частичную n-местную функцию назовем всюду определенной, если .
Всюду определенная функция будет обозначаться латинскими буквами: f,g,h,… . [5,6]
Теоретическая часть
§1 Основные определения
Определение 1: (интуитивное).
Арифметическая функция называется частично рекурсивной, если существует алгоритм для нахождения ее значений.
Определение 2:
Под начальными функциями будем понимать следующие функции:
1.функция следования S;
2.функции выбора
,
3.
4.нулевая функция .
Определение 3: (оператор суперпозиции (подстановка)).
Говорят, что функция получена суперпозицией из функций и , если для всех значений выполняется равенство:
Определение 4: (оператор примитивной рекурсии ).
Говорят, что функция получена из двух функций и с помощью оператора примитивной рекурсии, если имеют место следующие равенства:
.
Это определение применимо и при n=0. Говорят, что функция получена из одноместной функции константы равной и функции , если при всех :
Определение 5: (-оператор или оператор минимизации).
Определим -оператор сначала для одноместных функций.
Будем говорить, что функция получена из частичной функции с помощью оператора, если,
.
В этом случае -оператор называется оператором обращения и -наименьшее .
Теперь определим -оператор в общем виде:
Определение 6:
Функция называется частично рекурсивной функцией (ЧРФ) ,если она может быть получена из начальных функций с помощью конечного числа применений трех операторов: суперпозиции, примитивной рекурсии, -оператора.
Определение 7:
Если - ЧРФ и всюду определена, то она называется рекурсивной функцией.
Определение 8:
Множество - рекурсивно перечислимо (РП), в интуитивном смысле, если существует эффективная процедура, которая выписывает элементы этого множества. Каждый элемент на некотором шаге будет выписан.
Определение 9:
Характеристической функцией множества называется функция
Определение 10:
Множество называется рекурсивным, если характеристическая функция является рекурсивной.
Определение 11:
Функция m-сводима к функции (), в точности тогда, когда существует рекурсивная функция , такая, что
Функция называется сводящей функцией.
Введем отношение m-эквивалентности на множестве .
Определение 12:
Введем понятие m-степени функции .
Определение 13:
Введем понятие m-сводимости множеств.
Определение 14:
Множество m-сводимо к множеству (обозначение ), если существует рекурсивная функция такая, что В этом случае говорят, чтоm-сводимо к посредством .
Аналогично вводится понятие m-степени множества .
Определение 15:
Частичная характеристическая функция для множества -функция
Определение 16:
ЧРФ – универсальная для множества , если (-рекурсивная функция ) где - ЧРФ с геделевым номером .
Определение 17:
Если на множестве определено бинарное отношение , удовлетворяющее условиям:
1. (рефлексивность);
2. (антисимметричность);
3. (транзитивность),
то множество называется частично упорядоченным, а отношение называется частичным порядком на . Отношение , удовлетворяющее только свойствам 1,3, называется предпорядком на . Если частичный порядок на удовлетворяет условию
4. то называется линейным порядком (или просто порядком), а -линейно упорядоченным множеством или цепью.
Определение 18:
Верхней (нижней) гранью подмножества называется такой элемент что () для любого . Элемент называется max (min) элементом , если () для всех
Если же () для любых ? ,то элемент называется наибольшим (наименьшим).
Определение 19.
Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Определение 20.
Полурешеткой (точнее, верхней полурешеткой) назовем пару где - непустое множество, а -бинарная операция на , удовлетворяющая условиям: для любого
1.
2.
3.
Если - полурешетка, то зададим на частичный порядок следующим соотношением: для
Проверка того, что это частичный порядок, очевидна. Операция является для этого порядка операцией взятия точной верхней грани.
Определение 21:
Множество называется продуктивным, если существует рекурсивная функция , называемая продуктивной функцией для , такая, что
Ясно, что продуктивное множество не может быть р.п. Если бы то Ø, что невозможно.
Определ
Множество называется креативным, если оно р.п. и продуктивно.
Заметим, что креативные множества по теореме Поста не могут быть рекурсивными. Примером креативного множества будет
Действительно
откуда рекурсивная функция является продуктивной функцией для .
Имеет место следующее утверждение: если В - р.п. множество, А -креативно, то - креативно.[1,5]
§2 Простейшие свойства
m – степеней
Ведем отношение частного порядка на множестве m – степеней:
Обозначим через L частично упорядоченное множество m – степеней.
Утверждение 2.1: множество L является верхней полурешеткой.
Доказательство:
Рассмотрим , где
.
Докажем, что эта функция является точной верхней гранью для произвольных ЧРФ α и β.
Рассмотрим γ’
:
для рекурсивных функций g, f.
Определим функцию .
Проверим следующие равенства: .
Пусть x=2t, тогда и .
Пусть x=2t+1, тогда и .
Таким образом, равенство справедливо.
Следовательно, функция является точной верхней гранью для произвольных ЧРФ α и β, ч.т.д.
Утверждение 2.2: .
Доказательство:
: Пусть , тогда посредством рекурсивной функции f, которая множество А m – сводит к В.
: Аналогично , ч.т.д.
Следствие: существует изоморфное вложение полурешетки m-степеней рекурсивно перечисляемых множеств в полурешетку m-степеней частичных характеристических функций: .
Утверждение 2.3: .
Доказательство:
Если Ø, то утверждение справедливо.
Пусть Ø. Возьмем , откуда для некоторого ; а так как для некоторой рекурсивной функции f, то и .
Таким образом, , ч.т.д.
Следствие: функции, принадлежащие одной и той же m-степени, имеют одинаковую область значений.
Утверждение 2.4: Пусть f, g – рекурсивные функции, тогда .
Доказательство:
: Следует из следствия к 2.3.
: Пусть : покажем, что , то есть .
Строим таким образом: допустим , начинаем последовательно вычислять g(0), g(1), …, пока не получим, что g(n)=i, а такое n обязательно появится, так как .
Полагаем, что , тогда очевидно, что .
Аналогично строим функцию , такую, что . Отсюда получим, что .
Таким образом, так как и , ч.т.д. [1]
§3 Минимальные элементы верхней полурешетки
m
-степеней
Утверждение 3.1: Наименьшего элемента в L нет.
Доказательство:
Допустим противное, то есть пусть - наименьший в L элемент. Тогда Ø
), где сØ
– нигде неопределенная функция.
Следовательно, Ø и (сØ
).
Возьмем всюду определенную функцию h. Ясно, что сØ
≤m
h.
С одной стороны, (сØ
) – наименьший элемент, то есть сØ
≤m
h; с другой стороны сØ
≤m
h.
Получили противоречие, то есть в L наименьшего элемента нет. Ч.т.д.
Утверждение 3.2: m-степень, содержащая универсальную функцию, является наибольшей в L.
Доказательство:
Пусть Ψ – универсальная функция, а α – произвольная ЧРФ. Так как α – ЧРФ, то найдется такое число х0
, что α=φ0
.
Покажем, что . В качестве сводящей возмем функцию f(x0
,y). Тогда из определения Ψ вытекает, что , где , то есть .
Таким образом, - наибольшая в L. Ч.т.д.
Введем обозначение: .
Ясно, что .
Утверждение 3.3: сØ
и множество всех функций вида cn
(x) и только они образуют множество минимальных в L элементов.
Доказательство.
Из утверждения 3.1. следует, что сØ
– минимальный в L элемент.
Возьмем произвольную функцию cn
(x).
Пусть .
Ясно, что {}, кроме того α – всюду определенная функция, так как иначе , следовательно, .
Пусть теперь минимальный в L элемент, отличный от сØ
и от всех сn
, тогда определена в некоторой точке х0
; пусть , имеем , где , то есть, . Получили противоречие. Ч.т.д. [1,2]
2. Практическая часть.
§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций
Определение:
Идеалом полурешетки L назовем всякое подмножество I отличное от Ø, удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
Идеал называется главным, если он содержит наибольший элемент.
Рассмотрим множество всех m-степеней частичных характеристических функций, то есть:
Н={}.
Предположение 4.1:
Множество Н является главным идеалом полурешетки L.
Доказательство:
1. Берем две степени для некоторых р.п. множеств А и В. точной верхней гранью будет степень, содержащая функцию .
Определим множество АВ:
{}.
Докажем, что .
Будем пользоваться определением 15 для доказательства данного равенства.
Рассмотрим 4 случая.
1) если x=2t,
И если x=2t,
2) Если x=2t,
И если x=2t,
3) Если x=2t+1,
И если x=2t+1,
4) Если x=2t+1,
И если x=2t+1,
Следовательно, равенство справедливо во всех четырех случаях, т.к. обе его части равносильны в рассмотренных случаях.
.
2. Пусть . По определению m-сводимости из следует, что существует рекурсивная функция f такая, что: , откуда . Из утверждения 2.2 и того, что всякое р.п. множество m-сводимо к креативному следует, что: - наибольший элемент в Н, где k – креативно.
Тогда Н – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.
Рассмотрим множество всех m-степеней рекурсивных функций, то есть:
М={}.
Предположение 4.2: Данное множество М является главным идеалом полурешетки L.
Доказательство:
1. Берем две степени рекурсивных функций, их точной верхней гранью будет , где также рекурсивная функция.
2. Если , откуда существует рекурсивная функция h, такая, что , где также рекурсивная функция. Далее, посредством f(x) для любой рекурсивной функции f(x), отсюда - наибольший элемент в М.
М – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.
Литература
1. Дегтев А.Н. Сводимость частично-рекурсивных функций. – Сибирский математический журнал, 1975 т. 16, №5, с. 970-988.
2. Ершов Ю.Л. Теория нумераций. – М.: Наука, 1977.
3. Кагленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М.: Мир, 1983.
4. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1965.
5. Поляков Е.А., Розинас М.Г. Теория алгоритмов. – Иваново: ИвГУ, 1976.
6. Поляков Е.А., Маринина Н.В. Теория алгоритмов. – Шуя: ШГПУ, 2004.
7. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М.: Мир, 1972.