Реферат з курсу “
Введение в численные методы
”
Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ”
Содержание
1. Метод последовательных приближений
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод обращения матрицы
4. Триангуляция матрицы
5. Метод Халецкого
6. Метод квадратного корня
Литература
1.
Метод последовательных приближений
Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.
Простая итерация
: уравнение приводится к виду , например, следующим образом:
,
где и содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к .
Если выбрать A=H+Q
так, чтобы у положительно определенной H
легко находилась , тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду:
.
В этом случае, при симметричной матрице A
и положительно определенной Q
итерационный процесс сходится при любом начальном .
Если взять H
в виде диагональной матрицы D=
, в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби
.
2.
Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя
отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:
.
Подстановка в и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре:
.
Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так:
.
Вторая форма требует существенно меньшее число итераций.
3.
Метод обращения матрицы
Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде , то предположим, что
,
тогда, умножив справа равенство на матрицу A
, получим
.
Отсюда можно сделать вывод, что матрицы должны последовательно сводить матрицу A
к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. , то вектор-столбец можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу в последней i-
тый столбец превратился в единичный . Для этого берут
и тогда .
Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагон
Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T
-матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части.
4.
Триангуляция матрицы
Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных матриц (триангуляция матрицы
) не является однозначной. В соответствии с этим имеется несколько различных методов, привлекательных с той или иной стороны.
Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц
в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов
.
Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть
,
где –
нижняя треугольная матрица,
–
верхняя треугольная матрица.
Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k-
той строки и m-
того столбца записать
.
Полученная система состоит из уравнений и содержит неизвестных коэффициентов. За счет лишних n
неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения.
5.
Метод Халецкого
Если положить , то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого
.
Элементы треугольных матриц L
и U
последовательно будут вычисляться по следующим формулам:
Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, и так, что. В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам:
6.
Метод квадратного корня
Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня
.
Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D
с элементами на диагонали .
Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: .
Каждое km
-тое уравнение, определяется произведением k-
того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m
-тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид:
.
Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i=
1), имеющем вид , полагают . В этом случае
.
Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления :
Литература
1. Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во: "Академия/Academia", 2004. – 384c.
2. Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.
3. Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.