Анализ дифференциальных уравнений

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений

Содержание

1. Основные понятия

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

2.2 Геометрические задачи

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением
называется уравнение, содержащее независимую переменную х
, неизвестную функцию y=y (x)
и ее производные y’, y’’,.y (
n)
F (x, y, y', y
’’
,.y (n))
= 0.

Порядком дифференциального уравнения
называется наивысший порядок входящей в него производной.

Решением дифференциального уравнения
называется всякая функция y=y (x),
которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, уравнение y’’=y’
представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C1
e
x
+ C2
являются его решениями при любых постоянных C1
и C2
.

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием
, а графики его решений - интегральными кривыми
.

Всякое дифференциальное уравнение порядка n
имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n
произвольных постоянных y =φ (x,C1
,C2
.Cn
).
Эта совокупность решений называется общим решением
дифференциального уравнения. Частным решением
дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1
,C2
.Cn
.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY
, а частное решение - конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения y
¢y x
=0
является функция y
=
. То есть, общее решение уравнения - это семейство окружностей x 2
+ y2
= C2
, а

Начальными условиями
для дифференциального уравнения порядка n
называется набор значений функции y (x)
и ее производных порядка n-1
включительно y
¢ (x), y
¢ (x),.y (n1) (x)
в некоторой точке x0
.

Задачей Коши
называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y
¢, y
¢,.y (n))
=0,
удовлетворяющего заданным начальным условиям:

y (
x0
) =
y0
,
y’ (
x0
) =
y1
,
y’’ (
x0
) =
y2
,.
y (
n-1) (
x0
) =yn-1
.

Геометрически это означает, что в общем решении уравнения

y
=
j (x,C1
,C2
.Cn
)
необходимо так подобрать константы C1
,C2
.Cn
, чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x0
, y0
) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1
. Например, решением задачи Коши y¢y x =0, y (0) =2 является окружность x 2
+ y2
= 4
. Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x 2
+ y2
= C2
подставить заданные начальные условия x=0
и у=2
и из него найти требуемое значение постоянной C=2.

Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ.

Теорема 1. (
существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция F (x, y, y
¢, y
¢,.y (n))
непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x0
, y0
), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y
¢, y
¢,.y (n))
= 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y (
x0
) =
y0
,
y’ (
x0
) =
y1
,
y’’ (
x0
) =
y2
,.
y (
n-1) (
x0
) =yn-1
.

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
2.1 Равноускоренное движение

Пусть в начальный момент времени t=0
материальная точка имеет начальное положение S (0) =0,
начальную скорость V (0) = V0
и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a
. Если S (t)
и V (t) -
соответственно путь, пройденный точкой за время t
, и ее скорость в момент времени t
, то, как известно S¢ (t)
=V (t) и V
¢ (t)
=a (t)
=a.

То есть, функция перемещения S (t)
является решением дифференциального уравнения S
¢¢ (t)
=a
. Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды.

V (t)
=S
¢ (t)
=
òS
¢' (t) dt
=
òadt
=at C, V (0)
=V0
ÞC
=V0
Þ
V (
t)
=
V0

at.

2.2 Геометрические задачи

Пусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2)
и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам.

Для решения этой задачи обозначим через y (x)
уравнение искомой линии и пусть M (x0
, y0
) -
ее произвольная фиксированная точка.

Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y - y (x0
) = y' (x0
) (x - x0
)

Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.

Ясно, что xB
= 0
и yC
= 0.
Тогда:

Так как x0
- произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальном

у уравнению первого порядка

Для произвольной постоянной С
функция удовлетворяет этому уравнению. Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2),
то подставив в это решение x=1
и y=2
, получим С=2
. Решением задачи является гипербола .

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида

F (x, y, y
¢)
=0.

Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: y
¢
=f (x, y).
Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме:

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x,y)
такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов.

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Так называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х
, и функции, зависящей только от у
.

Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы и перейдем к уравнению в дифференциалах

Теперь разделим переменные

(В последнем уравнении переменные х
и у
разделяет знак равенства).

Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:

G (y) =F (x) +C
.

Рассмотрим практический пример:
Найти общее решение уравнения

y' = y cos x.

Решение
. Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х

, а другая от у

. Следовательно - это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения:

Пример 2
. Решить задачу Коши

Решение
. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.

В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1
: 0=ln1=acrtg1+С=π /4+С.
Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4.
Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4
, или y = e arctg x - π / 4.

Однородные уравнения.

Так называются уравнение вида . С помощью замены переменной z (x) =y (x) /x
это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда

y
=x
×z,
Þy
¢
= (x
×z)
¢
Þy
¢
=z xz
¢

и для функции z (x)
получаем уравнение с разделяющимися переменными

Решив это уравнение, найдем функцию z (x),
а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).

Пример 1
. Найти общее решение уравнения

Решение
. Разрешим уравнение относительно производной

и обозначим . Тогда и для функции z (x)
получаем уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения

Отсюда

Подставив в последнее равенство z=y/x
, найдем общее решение исходного уравнения

Пример 2
. Решить задачу Коши

Отсюда z= 2
arctg (
Cx)
и, значит, y= 2
x×
arctg (
Cx).
Подставив в это

равенство начальные условия x=1
и y = π / 2
, получим arctg (C) = π / 4,
то есть С=1
. Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx.

Линейные уравнения.

Так называются дифференциальные уравнения вида

y
¢p (x) y
=q (x).

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x).
Тогда y
¢
=u
¢v uv
¢
и относительно функций u
и v
уравнение примет вид

u
¢v u (v
¢p (x) v)
=q (x).

Вместо одной неизвестной функции y (x)
мы ввели в рассмотрение две функции u
и v
, поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v
так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v
достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными

v
¢p (x) v
=0
.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию

При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v
для функции u
получаем уравнение

, или

Интегрируя последнее уравнение, получим

Когда функции u
и v
найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.

Уравнение Бернулли.

Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли

y
¢p (x) y
=q (x) y
.

Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.