Высшая математика
Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица
– совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минор
ом для элемента аig
называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет.
.
.
Bpq
согласовано с Amn
, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицыnm
равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1) Нет решения
2) . n-число неизвестных
а) r=n – одно решение
б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось:
Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’
B’
| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.
,
.
Скалярное произведение векторов
.
Признак перпендикулярности .
Векторное произведение векторов
; ;
Объем пирамиды ;
Смешанное произведение векторов
Если - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует
Условие коллинеарности
ab=0 – перпендикулярность
- коллинеарность
abc=0 – компланарность
Аналитическая геометрия
Плоскость в пространстве
Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
-
каноническое уравнение (1)
Общее уравнение плоскости
, где ,
где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.
Уравнение плоскости, проходящий через точку перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде
Уравнение плоскости в отрезках
Нормальное уравнение плоскости , где p – расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель
Расстояние от точки до плоскости
Угол между плоскостями
Условия параллельности и перпендикулярности ;
Уравнение пучка плоскостей:
Прямые линии в пространстве.
-уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой.
- каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки
Угол между 2 прямыми
Взаимное расположение 2 прямых.
1. (могут лежать и на одной прямой)
2. (могут скрещиваться)
3. . Если (3) , то скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости
1.
2.
3. Угол между прямой и плоскостью
4.
Аналитическая геометрия на плоскости
.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Расстояние между 2 точками .
Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .
Уравнение прямой на плоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой в отрезках .
Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки .
Уравнение прямой, проходящей через точк
Расстояние от точки до прямой
1.
2.
3.
Окружность
Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R
Уравнение окружности с центром в начале координат
Эллипс
Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1
и F2
; 2а – сумма расстояний от точки М до F1
и F2
(a – большая полуось эллипса). - малая полуось эллипса. .
Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид .
Число называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.
Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M (x;y) – точка гиперболы; F1
, F2
– фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы .
Гипербола пересекает ось Ох в точках и , с осью Оу пересечений нет.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .
Эксцентриситет гиперболы .
Парабола
Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение
имеет вид .
Эксцентриситет параболы - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
Общее уравнение второго порядка
- общее уравнение кривой второго порядка
Параллельный перенос
:
.
Поворот осей
:
- инварианты. - дискриминант
Если >0, то уравнение эллиптического вида
Если <0, то уравнение гиперболического типа
Если =0, то уравнение параболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
(1) (B=0)
1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в
(1)+
(2) (3)
а)
>0 – эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``<0, то получим эллипс в виде , где
б)
<0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0
A`=, , , тогда .
Если F0
=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.
Если F0
>0, то (гипербола)
Если F0
<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)
в)
(параболический тип) A`C`=0
(5)
а) D`=E`=0, пусть
б)
** в (5)
, где 2р=, если p>0, то парабола .
Теория пределов
Число а называется пределом последовательности
xn
для любого () сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .
Предел последовательности
Под числовой последовательностью
понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.
Число a называется пределом последовательности
xn
(x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N(), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .
1) , - натуральное число. Если xn
=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.
2) , где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn
+1
=
xn
+
d
– рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи.
(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1
, x2
=1 и .
(*);
- эпсилон – окрестность числа а.
1. .
2.
Основные теоремы пределах
1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
2. Предельный переход в неравенстве.
3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.