Методы коллокаций и Галеркина

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию
, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

(2.50)

и линейными краевыми условиями

, (2.51)

причем

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

(2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция
удовлетворяет неоднородным краевым условиям

(2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A

=
B

=
0), то можно положить
и рассматривать лишь систему функций
.

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

. (2.55)

Тогда функция y

удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично

Составим функцию
.
Подставляя сюда вместо y

выражение (2.55), будем иметь

.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ci

выполнено равенство

при

то функция y

является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции
и коэффициенты ci

в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция
обращалась в нуль в заданной системе точек
из интервала [a

,b

], которые называются точками коллокации. Сама функция R

называетсяневязкой

уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты
, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

Пример
.Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

(2.58)

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

.

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям:
За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию

(2.59)

В точках коллокации
получим

.

Подставляя сюда (2.59), найдем

(2.60)

Решив эту систему, определимкоэффициенты
:

=
0.957,
=
− 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

.

Например, при x
=
0получим y

(0)=
0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h

=
1/2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая
, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

(2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y

0

и
. Полагая x

=
0и пользуясь симметричными формулами для производных

,

получим:

Аналогично, при x

=
1/2, то есть при i

=
1, получаем

Учитывая теперь (2.61),
найдем систему

Решая эту систему, отыщем y

0

=
0.967,y

1

=
0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y
0

=
0.957, а метод сеток y

0

=
0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными
краевыми условиями

, (2.62)

(2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(2.64)

где
– некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным
краевым условиям (2.63), а
– какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным
краевым условиям

(2.65)

и, кроме того функции
при
образуют в классе функций c

2

[a

,b

], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G

класс функций y

(
x

)
, принадлежащих c

2

[a

,b

](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a

,b

]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций
полна в классе G

, если для любого
и любой функции
можно указать такое n

и такие параметры
, что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции
найдется такая функция
, которая на [a

,b

]будет сколь угодно точно приближать функцию y

(
x

)
вместе с ее производными
и
.

Докажем, что если для некоторой функции F

(
x

)
и полной системы функций
выполняется соотношение ортогональности

(2.66)

то функция
. Для этого из полной системы
последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему

причем
иначе
были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F

(
x

)
, найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

(2.67)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

.

Полагая здесь k

=
1, получим
, и так как
, то
. Полагая k

=
2, получим
, и так далее. Следовательно, все коэффициенты
в разложении функции F

(
x

)

равны нулю и поэтому F

(
x

)

тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y

(
x

)
, удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы
было ортогонально
при любых
, то это означало бы, что
,и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при
, то в разложении
по системе
входят
и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности
к функциям полной системы
для
, то есть

(2.68)где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a

k
.
Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор
нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор
линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция
должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому
можно выбрать в виде

,

и коэффициенты
найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции
. Выберем, например, полную систему
в виде многочленов последовательных степеней:

.

Коэффициенты
найдем из однородных
краевых условий (2.65)

(2.65а
)

при всех
.

Так, для
и условия (2.65а
) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных:

и
. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например,
. Аналогично отыскивают коэффициенты
для
.

Для простых условий вида
то есть
функции
можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например,
линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak

уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L

.

Пример
1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения

с условиями

В качестве системы базисных функций
выберем

Ограничимся четырьмя функциями
, то есть k

=
0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде

Найдем функцию
.

Так как

, а
,
,

то получим

Потребует теперь ортогональности функции F

(
x

)
к функциям
. Это приводит к системе

Подставляя сюда вместо
выражение этой функции и производя интегрирования, найдем

Решение этой системы:

Следовательно,

Пример
2.

Решим задачу

Положим
и выберем полную систему функций

Ограничиваясь k

=1, легко получить

Если же взять два члена, то получим

Можно рассчитать следующую таблицу: