§1. Топологические пространства
(предварительные сведения)
1.1. Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х
и Y
топологические пространства.
Определение 1.
Отображение f
: Х→Y
называется непрерывным
, если у всякого множества О
, открытого в пространстве Y
, полный прообраз f
–1
(О
) открыт в пространстве Х.
Замечание 1.
Для любого подмножества А
пространства Y
и отображения f
:
X
→
Y
справедливо следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1.
Отображение
f
: X
→
Y
является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества
F
, замкнутого в
Y
, полный прообраз
f
–
1
(F
) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость.
Пусть отображение f
: X
→
Y
является непрерывным, т.е. для любого множества О
, открытого в Y
, прообраз f
–1
(O
) открыт в Х
, и пусть F
произвольное замкнутое в Y
множество. Тогда множество CF
открыто в Y
, и множество открыто в Х
, в силу непрерывности отображения f
и равенства (1). Следовательно, множество f
–1
(F
) замкнуто в Х
.
Достаточность.
Пусть для любого множества F
, замкнутого в Y
, полный прообраз f
–
1
(F
) замкнут в Х
. Рассмотрим произвольное открытое в Y
множество О.
Тогда множество CO
будет замкнутым в Y
. Поэтому замкнутое в Х
множество. Следовательно, множество открыто в Х
. Таким образом, для любого множества О
, открытого в Y
, полный прообраз открыт в Х
и отображение f
: X
→
Y
непрерывное по определению. €
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4.
Топологическое пространство Х
называется несвязным
, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х
= О
1
О
2
.
Определение 5.
Пространство Х
называется связным
, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х
разбито на два непустых открытых множества О
1
и О
2
, не имеющих общих точек, то О
1
= CO
2
и O
2
= CO
1
. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6.
Топологическое пространство Х
называется связным
, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7.
Множество Н
в топологическом пространстве Х
называется связным
, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2.
Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1)
существуют непустые открытые множества
О
1
и О
2
, для которых О
1
∩ О
2
= Æ и
О
1
О
2
= Х
;
(2)
существуют непустые замкнутые множества
F
1
и
F
2
, для которых
F
1
∩ F
2
= Æ и
F
1
F
2
= Х
;
(3)
в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество
G;
(4)
существует непрерывная сюръективная функция
φ
: Х
® {1, 2}.
Доказательство. Из
(1) следует
(2). Пусть О
1
и О
2
непустые открытые множества, для которых О
1
∩ О
2
= Æ и О
1
О
2
= Х
. Рассмотрим множества F
1
= СО
1
и F
2
= СО
2
. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F
1
∩ F
2
= Æ и F
1
F
2
= Х.
Из
(2) следует
(3). Пусть F
1
и F
2
непустые замкнутые множества, для которых F
1
∩ F
2
= Æ и F
1
F
2
= Х
. Рассмотрим множество G
= F
1
Ì Х
. Множество F
1
замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F
2
(F
1
= CF
2
). Поэтому множество G
= F
1
является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х
.
Из
(3) следует
(4). Пусть G
нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х
. Тогда множество Q
= CG
тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х
.
Рассмотрим функцию φ
: Х
® {1, 2}, при которой
φ
(х
) =
Функция φ
является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G
и Q
, открытым в Х
.
Из
(4) следует
(1). Пусть φ
: Х
® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M
= {1, 2}, т.е. φ
(Х
) = М
. Множества A
= {1} и B
= {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М
и . Функция φ
сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х
= φ
–1
(М
) = φ
–1
(А
В
) = φ
–1
(А
) φ
–1
(В
),
причём φ
–1
(А
) и φ
–1
(В
) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ
непрерывная, множества О
1
= φ
–1
(А
) и О
2
= φ
–1
(В
) непустые, непересекающиеся открытые в Х
и Х
= О
1
О
2
. €
Теорема 1.3.
Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества
F
1
и
F
2
и непустое связное множество М, содержащееся в объединении
F
1
F
2
. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение,
т.е. либо в
F
1
, либо в
F
2
.
Доказательство. Пусть F
1
и F
2
дизъюнктные замкнутые в Х
множества и непустое связное множество М
Í F
1
F
2
. Тогда
М
= (М
∩ F
1
) (M
∩ F
2
).
Так как множества F
1
и F
2
замкнутые в Х
, то множества М
∩ F
1
и M
∩ F
2
замкнутые в М.
Но множество М
связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M
∩ F
2
, пустое. Тогда
М
= М
∩ F
1
Í F
1
. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4.
Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О
1
и
О
2
топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5.
Пусть
f
: Х→Y
непрерывное отображение и
f
(X
) = Y
. Тогда если
Х связно, то
Y
связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y
несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y
= O
1
O
2
.
В силу того, что f
непрерывное отображение и f
(X
) = Y
, прообразы G
1
= f
–1
(O
1
) и G
2
= f
–1
(O
2
) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х
, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8.
Топологическое пространство называется компактным
, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9.
Множество А
в топологическом пространстве Х
называется компактным
, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6.
Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7.
Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А
открытыми в Х
множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х
А
и получим открытое покрытие всего пространства Х
. В силу компактности пространства Х
, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х
А
. Пусть, например,
.
Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А
. €
Определение 10.
Топологическое пространство называется хаусдорфовым
, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8.
Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9.
Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если
f
: Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество
f
(Х
) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f
: Х→Y
– непрерывное отображение. Для открытого в Y
множества U
и точки y
ÎY
прообраз f
–1
(U
) называется трубкой
(над
U
), а прообраз f
–1
(y
) называется слоем
(над точкой
y
).
Определение 11.
. Непрерывное отображение f
: Х→Y
называется несвязным над точкой
y
ÎY
, если существует такая окрестность Oy
точки y
, что трубка f
–1
(U
) является несвязной над каждой окрестностью U
Í Oy
точки y
.
Замечание 2.
В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U
Í Oy
, т.к., если U
= U
1
U
2
, где U
1
, U
2
– непустые дизъюнктные открытые в U
(а значит и в Y
) множества, то
f
–1
(U
) = f
–1
(U
1
)
f
–1
(U
2
), f
–1
(U
1
) ∩ f
–1
(U
2
) = Æ,
т.е. f
–1
(U
) несвязно автоматически.
Определение 12.
Непрерывное отображение f
: Х→Y
называется связным над точкой
y
ÎY
, если оно не является несвязным над точкой y
, т.е. для любой окрестности Oy
точки y
существует такая связная окрестность U
Í Oy
точки y
, что трубка f
–1
(U
) связна.
Определение 13.
Непрерывное отображение f
: Х→Y
называется связным
, если оно связно над каждой точкой y
Î Y
.
Теорема 2.1 (критерии несвязности).
Пусть отображение
f
: Х→Y непрерывно и точка
y
Î Y
. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1)
отображение
f несвязно над точкой
y
Î Y;
(2)
существует такая окрестность
Oy
точки
y
Î Y
, что каждая трубка
f
–1
(U
) над окрестностью
U
Í Oy точки у
распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3)
существует такая окрестность
Oy
точки
y
Î Y
, что каждая трубка
f
–1
(U
) над окрестностью
U
Í Oy точки у
распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4)
существует такая окрестность
Oy точки
y
Î Y, что в каждой трубке
f
–1
(U
) над окрестностью
U
Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5)
существует такая окрестность
Oy точки
y
Î Y
, что для каждой трубки
f
–1
(U
) над окрестностью
U
Í Oy точки у
существует
непрерывная сюръективная функция
φ
: f
–1
(U
) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2).
Пусть непрерывное отображение f
: Х→Y
несвязное над точкой y
Î Y
, т.е. существует такая окрестность Oy
точки y
, что трубка f
–1
(U
) является несвязной над каждой окрестностью U
Í Oy
точки y
. Таким образом, трубка f
–1
(U
) над окрестностью U
Í Oy
распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f
–1
(U
) = О
1
О
2
, О
1
∩ О
2
= Æ.
Из (2) следует (3).
Пусть трубка f
–1
(U
) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f
–1
(U
) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4).
Пусть трубка f
–1
(U
) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f
–1
(U
) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5).
Пусть в трубке f
–1
(U
) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f
–1
(U
) существует непрерывная сюръективная функция φ
: f
–1
(U
) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1).
Пусть существует такая окрестность Oy
точки y
Î Y
, что для трубки f
–1
(U
) над некоторой окрестностью U
Í Oy
существует непрерывная сюръективная функция φ
: f
–1
(U
) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f
–1
(U
) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f
несвязно над точкой y
Î Y
.
€
Определение 14.
Отображение f
: Х→Y
называется послойно связным
, если каждый слой f
–1
(y
), где y
Î Y
, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности).
Пусть отображения
f
: X
® Y
и
g
: Z
® Y
непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение
φ
: X
® Z
, при котором
f
= g
φ
. Тогда, если отображение
f
связно над точкой
y
Î Y
(слой
f
–1
(y
) связен),
то и отображение
g
связно над точкой
y
Î Y (слой
g
–1
(y
) связен). В частности, если отображнение
f связно (послойно связно), то и отображение
g связно (послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения f
: X
®Y
связное над точкой y
Î Y
, тогда для любой окрестности Oy
точки y
существует связная окрестность U
Í Oy
точки y
, трубка над которой f
–1
(U
) связна. Отображение φ
непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f
–1
(U
) (связного слоя f
–1
(y
)) связен, т.е. множество φ
(f
–1
(U
)) (множество φ
( f
–1
(y
))) – связное.
Предположим, что отображение g
несвязно над точкой y
Î Y
, т.е. существует такая связная окресность Oy
точки y
, что трубка g
–1
(U
) является несвязной над каждой окрестностью U
Í Oy
точки y
. (Предположим, что слой g
–1
(y
) несвязен над точкой y
Î Y
).
По условию, f
= g
φ
, следовательно,
f
–1
(U
) = (g
φ
) –1
(U
) = φ
–1
(g
–1
(U
)).
Отсюда,
φ
(f
–1
(U
)) = φ
(φ
–1
(g
–1
(U
))) =g
–1
(U
)
(для слоя φ
( f
–1
(y
)) = g
–1
(y
)). Получили противоречие, т.к. множество φ
( f
–1
(U
)) связное (слой φ
( f
–1
(y
)) связен), а множество g
–1
(U
) (слой g
–1
(y
)) – нет.
Пусть отображнение f
связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y
Î Y
(каждый слой f
–1
(y
) связен). Возьмём произвольную точку y
Î Y
. Если отображение f
связно над этой точкой y
Î Y
(слой f
–1
(y
) связен), то и отображение g
связно над этой же точкой (слой g
–1
(y
) связен). В силу произвольности выбора точки y
, заключаем, что отображение g
связно над каждой точкой y
Î Y
(послойно связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15.
Отображение f
: X
→
Y
называется замкнутым
, если для каждого замкнутого множества F
Í Х
образ f
(F
) является замкнутым множеством в Y
.
Определение 16.
Отображение f
: X
→
Y
называется замкнутым над точкой
y
ÎY
, если для всякой окрестности О
слоя f
–
1
(y
) Ì Х
найдётся окрестность Oy
точки y
, трубка над которой f
–
1
(Oy
) содержится в данной окрестности О
слоя f
–
1
(y
):
f
–
1
(y
) Í f
–
1
(Oy
) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1.
Непрерывное отображение
f
: X
→
Y
замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой
y
ÎY
.
Доказательство. Необходимость.
Пусть отображение f
: X
→
Y
замкнуто. Возьмём произвольную точку y
Î Y
и рассмотрим окрестность О
множества f
–
1
(y
).
Множество F
=
X
О
замкнуто в Х
и F
∩ f
–1
(y
) = Æ. Поэтому множество f
(F
) замкнуто в Y
и точка y
Ï f
(F
).
Значит окрестность Oy
=
Y
f
(F
) точки y
обладает таким свойством f
–
1
(Oy
) ∩
F
= Æ, следовательно, f
–
1
(Oy
) Ì О.
Таким образом, отображение f
замкнуто над каждой точкой y
ÎY
в силу того, что точка y
взята произвольно.
Достаточность.
Пусть непрерывное отображение f
замкнуто над каждой точкой y
ÎY
. Предположим, что образ f
(F
) некоторого замкнутого в Х
множества F
не замкнут в Y
.
Пусть точка y
Î [f
(
F
)
] f
(F
), т.е. принадлежит границе множества f
(F
).
Множество X
F
является окрестностью множества f
–
1
(y
). Следовательно, существует такая окресность Oy
точки y
, что f
–
1
(Oy
) Ì X
F
.
Но тогда Oy
∩ f
(F
) = Æ и поэтому точка y
Ï [f
(F
)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f
замкнуто. €
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1.
Непрерывное отображение
f
: X
® Y компактного пространства
X в хаусдорфово пространство
Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F
, замкнутое в Х
. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f
(F
) компактного множества F
будет компактен в Y
(по теореме 1.9). Пространство Y
хаусдорфово, следовательно, множество f
(F
) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f
является замкнутым.
Следствие 2.1.
Биективное непрерывное отображение
f
: X
® Y компактного пространства
X на хаусдорфово пространство
Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F
компактного пространства X
. В силу предложения 2.1, образ f
(F
) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f
–1
является непрерывным, следовательно, f
– гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2.
Пусть отображение
f
: X
® Y замкнуто над точкой
y
Î Y и пусть множество
Z замкнуто в
X. Тогда подотображение
g =
f |
Z
: Z
® Y замкнуто над точкой
y. В частности, если отображение
f замкнуто (над каждой точкой
y
Î Y), то и отображение
g замкнуто.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y
Î Y
и рассмотрим окрестность U
Ì Z
слоя g
–1
(y
). Тогда в Х
найдётся открытое множество U
¢
такое, что U
= U
¢
Z
. Множество O
= U
¢
(X
Z
) будет окрестностью слоя f
–1
(y
) . Отображение f
замкнутое над точкой y
Î Y
, поэтому найдётся такая окрестность Oy
точки y
, что f
–1
(Oy
) Ì O
. Тогда g
–1
(Oy
) Ì Z
O
= Z
U
¢
= U
.
В силу произвольности выбора точки y
Î Y
, можно заключить, что если отображение f
замкнутое над каждой точкой y
Î Y
, то и отображение g
замкнутое над каждой точкой y
Î Y
.
Предложение 2.3.
Пусть отображение
f
: X
® Y
замкнуто над точкой
y
Î T
Í Y
, где
T
– произвольное множество в
Y
.
Тогда под-отображение
g
= f
|
: f
–1
(T
) ® T
замкнуто над точкой
y
. В частности, если отображение
f
замкнуто (над каждой точкой
y
Î T
), то и отображение
g
тоже замкнуто (над каждой точкой
y
Î T
).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y
Î T
Í Y
и некоторую окрестность О
слоя g
–
1
(y
) = f
–
1
(y
), такую что
O
= O
'
f
–1
(T
),
где О
¢
– открытое в Х
множество. Так как отображение f
замкнутое над точкой y
, найдётся такая окрестность O
'
y
в Y
точки y
, что f
–
1
(O
'
y
) Ì О'
. Тогда в Т
существует такая окрестность Oy
точки y
, что Oy
= Oy
'
T
, и f
–
1
(Oy
) = g
–
1
(Oy
) Ì O
'
f
–1
(T
) = О
. Следовательно, отображение g
будет замкнуто над y
Î Y
.
Если отображение f
замкнутое над каждой точкой y
, то и отображение g
будет замкнутым над каждой точкой y
.
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4.
Пусть отображение
f
: X→
Y
замкнуто над точкой
y
Î Y
и слой
f
–1
(y
) является несвязным множеством. Тогда отображение
f несвязное над точкой
y. В частности, если отображение
f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой
y
Î Y
.
Доказательство. Поскольку слой f
–1
(y
) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f
–1
(y
) множества О
1
и О
2
, что О
1
∩ О
2
= Æ и О
1
О
2
= f
–1
(y
). Тогда в Х
существуют открытые множества Q
1
и Q
2
такие, что
O
1
= Q
1
f
–1
(y
), O
2
= Q
2
f
–1
(y
).
Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х
. Их пересечение есть замкнутое множество, и F
f
–1
(y
) = Æ (т.к. О
1
и О
2
замкнутые в f
–1
(y
), как дополнения до открытых). Множество О
= (Q
1
Q
2
) F
открыто в Х
, причём f
–1
(y
) Ì О
. Для этой окрестности О
(в силу замкнутости отображения f
) найдётся такая окрестность Oy
точки y
, что f
–1
(Oy
) Ì О
. Пусть G
1
= f
–1
(Oy
) Q
1
и G
2
= f
–1
(Oy
) Q
2
– открытые в f
–1
(Oy
) множества. Так как
Ì Х
f
–1
(Oy
),
то G
1
∩ G
2
= Æ. Тогда f
–1
(Oy
) = G
1
G
2
. Следовательно, трубка f
–1
(Oy
) несвязна.
Пусть U
Í Oy
– произвольная окрестность точки y
. Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f
–1
(U
), и непустые, т.к. О
1
Ì и О
2
Ì . Следовательно, для любой окрестности U
Í Oy
трубка f
–1
(U
) несвязна. Отображение f
несвязно над точкой y
по определению.
Если отображение f
замкнутое над каждой точкой y
Î Y
и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y
, отображение f
будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y
Î Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2.
Пусть отображение
f
: X→
Y
замкнуто над точкой
y
Î Y
и связно
над точкой
y. Тогда слой
f
–1
(y
) является связным множеством. В частности, если
f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5.
Пусть отображение
f
: X→
Y
замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y
Î Y
и предположим, что отображение f
несвязно над точкой y
. Тогда существует такая окрестность Oy
точки y
, что трубка f
–1
(U
) является несвязной над каждой окрестностью U
Í Oy
точки y
. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U
, для которой выполняются следующие условия:
f
–1
(U
) = О
1
О
2
, О
1
∩ О
2
= Æ,
где О
1
и О
2
– непустые открытые в f
–1
(U
) множества.
Слой f
–1
(y
) связен и f
–1
(y
) Ì f
–1
(U
), отсюда, f
–1
(y
) содержится либо в О
1
, либо в О
2
(по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х
1
ÎО
1
. Образ этой точки f
(x
1
) = y
1
Ì U
. По условию, слой f
–1
(y
1
) связен и f
–1
(y
1
) Ì О
1
О
2
= f
–1
(U
). Поскольку О
1
∩ О
2
= Æ и х
1
ÎО
1
, следовательно (по теореме 1.4), f
–1
(y
1
) Ì О
1
. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О
1
, то и весь слой принадлежит этому множеству.)
Отсюда, так как точка х
1
произвольная, то О
1
= f
–1
( f
(O
1
)). Аналогично доказывается, что О
2
= f
–1
(f
(O
2
)).
Отображение f
замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g
= f
: f
–1
(Oy
) ® Oy
также замкнутое. Таким образом, множества f
(O
1
) = g
(O
1
) и f
(O
2
) = g
(O
2
) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U
и U
= f
(O
1
) f
(O
2
), т.е. окрестность U
несвязна. Это противоречит выбору окрестности U
.
Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:
Теорема 2.3.
Замкнутое отображение
f
: X→
Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:
Следствие 2.3.
Пусть отображение
f
: X→
Y замкнутое,
Z
Í X замкнуто в Х. Подотображение
g =
f |
Z
: Z
® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие 2.4.
Пусть отображение
f
: X→
Y замкнутое,
T
Í Y произвольное множество. Подотображение
g
= f |
: f
–1
(T
) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.
2.3. Связь между связностью пространств
и отображений
Пусть пространство Y
= {*} – одноточечное. В этом случае отображение f
: X→
Y
непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х
связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y
совпадают со всем пространством Х
.
Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.
Пример.
Рассмотрим отображение f
: [-1;1] ® R
, для которого f
(х
) = 0 при любом х
Î [-1;1]. Отображение f
связно тогда и только тогда, когда слой f
–1
(y
) над точкой y
= 0 связен. Но f
–1
(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y
= 0 совпадают, поэтому отображение f
является связным и послойно связным.
Если отображение f
: [-1;1]
[2;3] ® R
задано условием f
(х
) = 0 для любого х
Î [-1;1]
[2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y
= 0 в силу несвязности трубки (слоя) f
–1
(0) = [-1;1]
[2;3].
В рассмотренных примерах пространство Y
является связным. Это условие и условие связности отображения f
оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х
. Более того, имеет место
Теорема 2.4.
Пусть сюръективное отображение
f
: X→
Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство
Y связное.
Доказательство. Необходимость.
По теореме 1.5 (§1), если f
: Х→Y
непрерывное отображение, f
(X
) = Y
и Х
связно, то Y
связно.
Достаточность.
Пусть пространство Y
связно. Предположим, что пространство Х
несвязно. Тогда в Х
найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О
1
и О
2
, что О
1
О
2
= Х
. Допустим, что найдётся точка y
Î . Тогда в любой окрестности слоя f
–1
(y
) содержаться как точки множества О
1
, так и точки множества О
2
. С другой стороны, f
–1
(y
) Ì f
–1
(U
), где трубка f
–1
(U
) является связным множеством (в силу связности отображения f
над точкой y
) и должна содержаться либо в О
1
, либо в О
2
(по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,
= Æ,
т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f
(О
1
)
f
(О
2
) = Y
, значит,
= f
(О
1
) и = f
(О
2
),
т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.
Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х
неверно, а верно то, что требуется доказать. €
Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.
|
|
Примеры.
Пусть отображение f
: X→
Y
непрерывно. Если пространство Х
связно, то и его образ f
(X
) связен, но отображение f
не обязано быть связным. А именно, пусть f
: R
® [0; + ¥], и f
(х
) = х
2
для любого х
Î R
(рис. 1). Расмотрим произвольную точку y
Î (0; + ¥). Пусть окрестностью точки y
является любой интервал U
= (a
; b
) Í (0; + ¥), содержащий эту точку. Тогда трубка
f
–1
(U
) =
распадается на два непустых непересекающихся открытых в R
множества, т.е. f
–1
(U
) – несвязное множество. Таким образом, отображение f
несвязно по определению.
Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy
– прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω
с центром в начале координат и радиусами r
= a
, R
= b
(рис. 2). Пусть prX
: ω
→ [– b
; b
] – проекция этого кольца на ось Ox
, где prX
(x
; y
) = х
Î [– b
; b
] для любой точки (x
; y
) Î ω
. Возьмём произвольную точку х
Î (– a
; a
) Ì [– b
; b
]. Для любой окрестности U
Ì (– a
; a
) точки х
трубка
является несвязной, т.к. состоит из двух частей A
и B
(рис. 2). Таким образом, проекция prX
– является несвязным отображением.
|
|
| |
Может быть и наоборот, отображение f
связное, а пространства X
и Y
– несвязные.
Пусть, например, отображение f
: R
{0} ® R
{0} задано формулой f
(х
) = для любого х
Î R
{0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y
Î R
{0}. Для любой окрестности Oy
Ì R
{0} точки y
найдётся связная окрестность U
Í (0; + ¥) (или U
Í (– ¥; 0)), трубка f
–1
(U
) над которой связна (т.к. f
–1
(U
) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).
Пусть Х
= [0; 1], Y
= [0; 1]
[2; 3]. Рассмотрим проекцию : X
´ Y
® Y
(рис. 4), где prY
(x
; y
) = y
Î Y
для любой точки (x
; y
) Î X
´ Y
. Множества X
´ Y
и Y
являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).
Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.
Теорема 2.6.
Непрерывная функция
f
: [a
; b
] →
R
является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х
¢
Î [a
; b
], где х
£ х
¢, выполняется только одно из двух свойств:
f
(x
) £ f
(x
¢
) либо
f
(x
) ³ f
(x
¢
).
Доказательство. Необходимость.
Функция f
является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f
является послойно связной.
Предположим, что f
– не монотонна. Тогда найдутся такие точки х
1
, х
2
, х
3
Î [a
; b
] и х
1
< х
2
< х
3
, для которых выполняется система неревенств:
.
Положим f
(x
1
) = y
1
, f
(x
2
) = y
2
, f
(x
3
) = y
3
и y
3
³ y
1
(или y
1
³ y
3
). Тогда слой f
–1
(y
3
) является связным замкнутым подмножеством прямой y
= y
3
(рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х
¢
Î [x
1
; x
2
) и f
(x
¢
) = y
3
. В силу связности слоя f
–1
(y
3
), отрезок [А
; В
] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f
–1
(y
3
). Но точка (x
2
; y
2
), где x
¢ <
x
2
< x
3
, не принадлежит прямой y
= y
3
, поэтому слой f
–1
(y
3
) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f
–1
(y
3
) множества. Это противоречит послойной связности функции f.
Следовательно, f
– монотонна.
Достаточность.
Предположим, что функция f
не является связной. Следовательно, f
не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y
¢
Î R
, что слой f
–1
(y
¢) – несвязен, т.е. f
–1
(y
¢) = О
1
О
2
, где О
1
и О
2
– непустые дизъюнктные замкнутые в f
–1
(y
¢) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x
1
Î О
1
, x
2
Î О
2
и точка х
, где x
1
< x
< x
2
и x
Ï О
1
, x
Ï О
2
, что
.
Но это противоречит условию монотонности функции f.
Значит, функция f
является связной. ÿ
Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт обобщается на случай интервала (a
; b
). Если связная функция f
определена на R
с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f
будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17.
Пусть Х
и Y
– топологические пространства с топологиями tХ
и t
Y
соответственно. Топологическим произведением
этих пространств называется множество X
´ Y
с топологией tХ
´
Y
, образованной семейством всех множеств вида
U
´ V
= ,
и их всевозможных объединений, где U
Î tХ
, V
Î t
Y
и
: X
´ Y
® Х
, : X
´ Y
® Y
– это проекции, причём
(x
; y
) = x
и
(x
; y
) = y.
Множества вида U
´ V
= называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.
Определение 18.
Отображение f
: X
→
Y
называется открытым
, если для каждого открытого множества О
Í Х
образ f
(О
) является открытым множеством в Y
.
Лемма 2.2.
Проекции
: X
´ Y
®Х
и
: X
´ Y
® Y
являются непрерывными открытыми отображениями.
Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х
множество G
. Прообраз этого множества = G
´ Y
по определению топологии произведения открыт в X
´ Y
. Тогда проекции
и будут непрерывными отображениями.
Пусть точка z
Î X
´ Y
; Oz
– её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность
|
|
точки z
, где U
– окрестность точки , V
– окрестность точки . Точка является внутренней точкой множества U
, а значит и множества . Аналогично, точка – внутренняя точка множества . Следовательно, множества и открытые, и проекции
и – открытые отображения. ÿ
Лемма 2.3.
Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция
: X
´ Y
® Y является замкнутым отображением.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y
Î Y
и рассмотрим слой = {(x
; y
): x
Î X
} = X
´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х
, поэтому является компактным множеством. Пусть О
некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z
= (x
; y
) слоя Ì X
´ Y
и её элементарную окрестность
G
,
где Ox
– окрестность точки x
в X
, Oy
– окрестность точки y
в Y
. Так как точка z
произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть – это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём Ì О
, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть
U
= ,
где О
i j
= (Gi j
). Тогда
Í Ì О
,
т.е. проекция
является замкнутым над точкой у
, и, следовательно, замкнутым отображением. €
Теорема 2.7.
Пусть Х связное топологическое пространство.
Тогда проекция
: X
´ Y
® Y является связным отображением.
Доказательство. Пусть х
– произвольная фиксированная точка пространства Х
. Рассмотрим слой = = Y
´ {x
}. Он гомеоморфен связному пространству Y
, поэтому слой также связен. Предположим, что отображение
несвязное над точкой х
, т.е. существует такая окресность Ох
точки х
, что трубка
является несвязной для всякой окрестности U
Í Ox
точки x
. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U
. Для неё найдутся непустые открытые в множества О
1
и О
2
, что О
1
∩ О
2
= Æ и О
1
О
2
= . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О
1
, либо в О
2
.
Рассмотрим произвольную точку w
1
Î О
1
. Образ этой точки = х
1
Ì U
. Слой Ì О
1
О
2
= , и точка w
1
принадлежит множеству О
1
и слою , поэтому Ì О
1
(т.к. О
1
∩ О
2
= Æ). Поскольку w
1
– произвольная точка множества О
1
, то . Аналогично, .
Множества О
1
и О
2
дизъюнктные открытые в и – открытое отображение. Следовательно,
(O
1
) и
(O
2
) – непустые дизъюнктные открытые в U
множества и
(O
1
)
(O
2
) = U
. Отсюда окрестность U
несвязная, что противоречит выбору окрестности U.
Таким образом, отображение
связное над точкой х
и точка х
произвольная, поэтому проекция
является связным отображением. €
Следствие 2.5. Если пространства Х и
Y
связные, то и их произведение
X
´ Y
является связным множеством.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X
´ Y
несвязное, т.е. X
´ Y
= О
1
О
2
, где О
1
и О
2
– непустые дизъюнктные открытые в X
´ Y
множества.
Возьмём произвольную точку z
Î О
1
. Образ этой точки
(z
) = x
. Слой Ì О
1
О
2
связен, и точка х
Î О
1
, следовательно, Ì О
1
(так как О
1
О
2
= Æ). В силу того, что точка z
–
произвольная, получим . Аналогично, . Множества О
1
и О
2
– непустые дизъюнктные открытые в X
´ Y
, и отображение
– открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные открытые в Y
и = Y
. Это противоречит связности Y
.
Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х
связное, то проекция : X
´ Y
® Y
является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y
связное. Тогда, по теореме 2.4, X
´ Y
– связное множество.
Определение 19. Отображение f
: X
® Y
называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству
F
, если существует такое топологическое вложение i
: X
® Y
´ F
пространства Х
в топологическое произведение Y
´ F
, что (множество i
(X
) соответственно замкнуто, открыто в Y
´ F
и)
f
= prY
i
,
где prY
: Y
´ F
® Y
– проекция на сомножитель Y
.
Теорема 2.8. Пусть отображение
f
: X
® Y
послойно связное и параллельно пространству
F
. Тогда отображение
f
связное.
Доказательство. Отождествим Х
с i
(X
). Тогда f
можно отождествить с подотображением проекции prY
: Y
´ F
® Y
. Пусть y
Î Y
– фиксированная точка и Oy
– её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U
Í Oy
точки у
трубка f
–1
(U
) несвязна. Положим f
–1
(U
) = О
1
О
2
, где О
1
, О
2
– непустые дизъюнктные открытые в f
–1
(U
) множества и U
Í Oy
– некоторая фиксированная связная окрестность точки y
.
Пусть х
Î f
–1
(y
). Тогда х
Î О
1
или х
Î О
2
. Допустим х
Î О
1
. Найдётся такое открытое в Y
´ F
множество G
1
, что О
1
= G
1
X
. По определению топологии, в Y
´ F
найдутся окрестность Vx
Í U
точки y
и открытое в F
множество W
такие, что
х
Î = Vx
´ W
Í G
1
.
Так как множество f
–1
(y
) – связное по условию, то х
Î f
–1
(y
) Í О
1
.
Пусть х
¢
– произвольная точка из (Vx
´ W
) Х
. Тогда х
¢
Î О
1
и
f
–1
(f
(x
¢
)) Í О
1
.
Следовательно, О
1
содержит всякий слой f
–1
(y
¢
), где y
¢
Î Vx
(в силу послойной связности f
).
Таким образом, для каждой точки х
Î О
1
найдётся окрестность Vx
Í U
точки f
(x
), что х
Î f
–1
(Vx
) Í О
1
. Поэтому
.
Следовательно, множество является окрестностью точки y
и O
1
= f
–1
(V
1
). Аналогично устанавливается, что O
2
= f
–1
(V
2
), где V
2
непустое открытое в Y
множество. Откуда, U
= V
1
V
2
, что противоречит связности U
. Значит, отображение f
связное над точкой y
. €
Пример.
Если отображение f
: X
® Y
связное над точкой y
, то слой f
–1
(y
) необязательно является связным множеством. Например, пусть f
= prY
: X
´ Y
® Y
– проекция на Y
, где Х
= Y
= [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y
= Î Y
и слой f
–1
(y
) над точкой y
. Пусть точка z
= (x
; y
) Î X
´ Y
, где х
= , y
= . Тогда слой f
–1
(y
) {z
} – несвязное множество. Отображение f
= prY
при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U
точки y
трубка f
–1
(U
) – линейно связна, следовательно, трубка f
–1
(U
) – связна.
2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20.
Пусть f
: X
® Y
и g
: Z
® Y
– непрерывные отображения. Послойным произведением
f
´ g
этих отображений называется отображение h
: Т
® Y
, где
и
.
Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:
для любой точки y
Î Y
.
Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9.
Пусть отображения
f
: X
® Y
и
g
: Z
® Y
послойно связные. Тогда произведение
h =
f
´ g
также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4.
Пусть
f,
g
: X
® Y
непрерывные отображения в хаусдорфово пространство
Y. Тогда множество Т
= {x
Î X
: f
(x
) = g
(x
)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х
Т
открытое, т.е. для любой точки x
Î X
найдётся такая окрестность Ох
точки х
, что Ох
Ì Х
Т
.
Возьмём произвольную точку x
Î X
Т
. Тогда f
(x
) = y
1
Î Y
, g
(x
) = y
2
Î Y
. Так как пространство Y
хаусдорфово, то существуют окрестности О
y
1
точки y
1
и О
y
2
точки y
2
такие, что
О
y
1
О
y
2
= Æ. {*}
Отображения f
и g
– непрерывные, поэтому множества f
–1
(Oy
1
), g
–1
(Oy
2
) – открытые в Y
и x
Î f
–1
(Oy
1
), x
Î g
–1
(Oy
2
). Рассмотрим окрестность Ох
= f
–1
(Oy
1
) g
–1
(Oy
2
) точки х
. Предположим, что Ох
Т
≠ Æ, т.е. существует такая точка х
1
Î Ох
, что f
(x
1
) = g
(x
1
) = y
. Но точка y
должна принадлежать как окрестности Oy
1
, так и окрестности Oy
2
, что противоречит условию {*}. ÿ
Лемма 2.5. Если пространства Х и
Y
компактные, то и их произведение
X
´ Y
является компактным множеством.
Доказательство. Пусть х
– произвольная фиксированная точка пространства Х
, и пусть Ω
= – открытое покрытие пространства X
´ Y
. Рассмотрим слой
= Y
´ {x
}.
Он гомеоморфен связному пространству Y
, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия
Ω
(х
) = Í Ω
,
(где U
a
(x
) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x
) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω
(х
) = . Объединение
U
(x
) = (x
) (**)
есть открытое множество, содержащее слой , и prX
– замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y
и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох
точки х
, что Í U
(x
). Семейство {О
x
: x
Î X
} образует открытое покрытие пространства X
. В силу компактности X
, найдется конечное подпокрытие {Oxi
: i
= 1,.., k
}. Тогда семейство ω
= образует конечное подпокрытие пространства X
´ Y
. ÿ
Теорема 2.10.
Пусть
f
: X
® Y
и
g
: Z
® Y – связные отображения компактных пространств
X и
Z в хаусдорфово пространство
Y. Тогда произведение
h =
f
´ g
также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство. По определению послойного произведения, (, – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y
) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т
является замкнутым в пространстве Х
´ Z
, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т
компактно (по теореме 1.7), и его образ h
(T
) при непрерывном отображении h
замкнут в Y
(в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h
является замкнутым.
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h =
f
´ g
является связным. €
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х
. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и
Y
хаусдорфовы, то и их произведение
X
´ Y
является хаусдорфовым множеством.
Доказательство. Пусть z
1
и z
2
– произвольные фиксированные точки пространства X
´ Y
. Рассмотрим точки x
1
= prX
(z
1
), x
2
= prX
(z
2
) и y
1
= prY
(z
1
), y
2
= prY
(z
2
) пространств X
и Y
соответственно. Точки z
1
и z
2
различны, следовательно, x
1
¹ x
2
или y
1
¹ y
2
. Пусть y
1
¹ y
2
. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y
существуют такие окрестности Oy
1
и Oy
2
точек y
1
и y
2
соответственно, что Oy
1
Oy
2
= Æ. Проекция prY
является непрерывным отображением, поэтому множества и – открытые в X
´ Y
и непересекающиеся. Причём, z
1
Î и z
2
Î . Следовательно, пространство X
´ Y
– хаусдорфово по определению.
Теорема 2.11.
Непрерывное отображение
f
: X
® Y
компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство
Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h
= = f
´ i
: T
® Y
отображений f
: X
® Y
и i
: Y
® Y
, где i
– тождественное отображение и множество Т
= {(x
; y
): f
prX
= i
prY
= prY
}. По лемме 2.4, множество Т
замкнуто в X
´ Y
.
Пусть (x
1
; y
1
) Î T
– произвольная фиксированная точка. Тогда prY
(x
1
; y
1
) = y
1
= f
prX
(x
1
; y
1
). Отсюда, для точек (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) Î Т
выполняется неравенство prX
(x
1
; y
1
) ¹ prX
(x
2
; y
2
) при х
1
¹ х
2
. Следовательно, непрерывное отображение prX
: Т
® Х
биективно. Но пространство T
компактно как замкнутое подможество компактного пространства X
´ f
(X
) Í X
´ Y
(в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5).
Поэтому отображение g =
prX
: T
® X
по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т
Х
, и f
= prY
. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d
= g
–1
: X
® T
. Таким образом, множество d
(Х
) = Т
замкнуто в X
´ Y
, и f
= prY
d
. Отождествим множества Т
и Х
с помощью d.
. Тогда отображение f
замкнуто параллельно пространству Х
по определению.
Литература.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.
2. Александров П.С. Геометрия.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.