РефератыМатематикаУрУравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр

Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью


«Шаги в науку»


Научное общество учащихся «Поиск»


Муниципального образовательного учреждения


«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»


Научное направление: «Математика»


Уравнения, содержащие параметр


Соколова Александра Михайловна


ученица 10 класса МОУ


«СОШ №86 г.Омска»


Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,


учитель математики


Омск 2011


Содержание


Введение


1. Знакомство с параметрами


1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным


1.2 Решение линейных уравнений с модулем


1.3 Решение квадратных уравнений


2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С


Заключение


Введение


В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.


Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.


Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.


Я поставила перед собой следующие задачи:


1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.


2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.


3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.


В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:


1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;


2) решение линейных уравнений с модулем;


3) решение квадратных уравнений.


уравнение параметр неизвестное модуль


1. Знакомство с параметрами


Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.


Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:


1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);


2) получится условие, лишенное смысла.


В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.


Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).


К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения переходят к у равнению ; при m=записывают единственное решение . Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.


Пример 1. Решить уравнение .


Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:


1) a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;


2) при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;


3) при .


Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .


Пример 2. Решить уравнение


Очевидно, что , а , то есть х=b/2, но , то есть 2b/2, b4.


Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.


Пример 3. При каких а уравнение имеет единственное решение?


Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 , , а=1, а=6.


Ответ: при а=2, а=1, а=6.


1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным


Решить такое уравнение – это значит:


1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;


2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.


Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.


При уравнение имеет единственное решение , которое будет: положительным, если или ; нулевым, если ; отрицательным, если или .


Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.


Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение ; найти при каких а корни больше нуля.


Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.


Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:


а-1-х=0 а=х+1


Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.


Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.


Ответ: при а<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 корни положительны.


Пример 2. Решить уравнение (1).


Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых .


Приведём уравнение к простейшему виду:


9х-3k=kx-12


(9 – k)x =3k-12 (2)


Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:


Подставив в (2) , получим:


.


Если подставим , то получим так же .


Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).


1. Если , то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение , которое будет:


а) положительным, если , при 4<k<9, с учётом : ;


б) нулевым, если ;


в) отрицательным, если и k>9 с учётом


, получаем .


2. Если , то уравнение (2) решений не имеет.


Ответ: а) при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x<0 при ;


б) при уравнение не имеет решений.


1.2 Решение линейных уравнений с модулем


Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.


Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно,

т.е. привести примеры:


Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.


Так как, по определению модуля, |x-2|, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.


Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.


Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.


Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:


1) a;


2) 4.


1. Первый интервал:





;


Второй интервал:





, т.е. если а<4, то .


Третий интервал:





а=4, т.е. если а=4, то .


2. Первый интервал:





а=4, .


Второй интервал:


a>4,т.е. если 4<а, то


Третий интервал:



Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 .


Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.


Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.


1. , .


При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. , , , . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень при , а на остальных а корней не имеет.


2. . .


При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.


3. . .


При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а1, то х=1.


Ответ: при ; при а= – 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1.


1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида , где а, b и с – числа, причем, а0.


Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :


а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.


б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.


в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.


Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:


1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.


2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.


3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.


Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение : а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.


Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:



При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.


Пример2. Решить уравнение


При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.


При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.


При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня


; .


Ответ: и при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.


Пример3. Корни уравнения таковы, что . Найдите а.


По теореме Виета и . Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что , а , получаем: или , . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию.


Ответ:


2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С


Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.


1. Определить значения k, при которых корни уравнения положительны.


Сразу можно выделить, что , , из этого следует, что при уравнение не имеет смысла.



В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:



Итак, мы выяснили, что .


Выразим х: . Х будет больше нуля, если .



Учитывая, что , , . Ответ: , .


2. При каких значениях а уравнение имеет равные корни?


Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:



Ответ: при а=2 и а=2/35.


3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.


1) х+3=0 2) х+4=0


х= – 3 х= – 4 .


х+3 – – +



х+4 – -4 + -3 +


Рассмотрим 3 промежутка.


1.


а(-(х+3)+2(-(х+4)=2


-ах – 3а –2х – 8=2


х(- а – 2)=10+3а (при а- 2)


.


Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток .



Следовательно, на промежутке уравнение имеет единственный корень при .


2. .



=> При а2 х= -3


При а=2 .


3.



=> При а -2 х= -3


При а= -2 .


Ответ: 1. при


2. при а2 х= -3


при а=2 .


3. при а -2 х= -3


при а= -2 .


Заключение


Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.


Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Уравнения, содержащие параметр

Слов:2047
Символов:15418
Размер:30.11 Кб.