Введение
В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.
Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.
Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).
Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).
В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.
Глава
I
. Определение дуальных и двойных чисел
1.1 Дуальные числа
Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:
(1)
Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа на другое число будет вещественным лишь в том случае, когда ; если , то последнее равенство можно записать в виде . Вещественным, в частности, является произведение чисел и :
(2)
Число называют сопряжённым числу (и обратно, сопряжено ); корень квадратный из произведения (совпадающий с полусуммой сопряжённых чисел и ) называют модулем дуального числа и обозначают через (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма двух сопряжённых чисел является вещественной; разность является числом чисто мнимым (т.е. отличается от лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым , когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)
, , , (3)
полностью остаются в силе для дуальных чисел.
Правило деления на дуальное число мы теперь можем записать так:
. (4)
Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число необходимо, чтобы модуль этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные и являются числами новой природы, которые условимся обозначать через и ; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида , где вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:
при ; .
Правила действий над символом определяются следующими формулами:
, , , , , (5)
здесь - произвольное число, причём в среднем равенстве , а во втором и в двух последних ( в этих формулах может быть и числом вида ); правила действий над числами определяются так:
(6)
Положим ещё
, ; (6а)
тогда для расширенного (введением чисел , ) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство и все правила (3).
Число нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число , равное , произведение которого на число равняется нулю:
. (7)
Поэтому эти числа называют делителями нуля.
Дуальные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:
. (8)
Здесь есть модуль числа , а отношение называется аргументом этого числа и обозначается через Arg
z
(r
может быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; - произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа и имеют одинаковый модуль r
и противоположные аргументы и .
Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,
; (9)
следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей[1]
, а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:
. (10)
Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:
(11)
(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r
<0, и имеет два значения, еслиr
>0[2]
).
1.2 Двойные числа
В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид
и .
Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа , знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a
и b
, называется модулем числа и обозначается через . Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа , а равенство - чисто мнимые числа .
Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами
(12)
Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда . Двойные числа , модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что ). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные , и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c
и частные и . Правила действия над символами , , , и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:
(13)
и т. д. Естественно также положить
, , , , (13а)
что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).
Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть - модуль двойного числа; далее
.
Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что
, или , , (14)
где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и – гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .
Таким образом, имеем
или . (15)
величина называется аргументом двойного числа z
и обозначается через Arg
z
[3]
.
Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
(16)
Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
;
. (17)
Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n
и извлекать из него корень степени n
:
,
при
n
нечётном,
при n
чётном;
Глава
II
.
2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.
Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).
а б
Рис. 1
Под расстоянием от прямой a
до не пересекающей её прямой b
будем понимать ориентированное расстояние {a
,
b
} от a
до b
, т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a
до прямой b
; очевидно, что {a
,
b
}=-
{b
,
a
}, если a
иb
параллельны, и {a
,
b
}={b
,
a
}, если a
и b
противопараллельны.
Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O
(полюса системы координат) и проходящей через O
ориентированной прямойo
(полярной оси); координатами точки M
служат расстояние r
=
OM
этой точки от полюса и угол ={o
,
m
}, образованный с o
ориентированной прямой m
, соединяющей O
иM
.
Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o
(полярную ось) и лежащую на o
точку O
(полюс); координатами прямой l
служат угол ={o
,
l
}, образованный l
с полярной осью o
, и ориентированное расстояние s
=
{O
,
L
} от O
до точки L
пересечения l
и o
(рис. 2,а). Очевидно, что координатаs
ориентированной прямой l
может иметь любое значение, заключённое между и ; координата – любое значение, заключённое между 0 и 2. Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o
, и = для прямых, противопараллельных o
; если прямая не пересекает оси o
, то координаты s
она не имеет (можно считать, что в этом случае ).
Условимся сопоставлять ориентированной прямой l
с полярными координатами и s
дуальное число
, , (19)
(рис. 2). При этом параллельным o
прямым, для которых =0, естественно относить числа нулевого модуля, т.е. делители нуля . Чтобы установить точное соответствие между параллельными o
прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d
=
{O
,
l
} не параллельной o
прямой l
от полюса O
равно
(20)
(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o
прямой m
, отстоящей от o
на расстоянии {o
,
m
}=
d
, то этой прямой нужно сопоставить число
(т.е. , где u
=
0 и ).
Двум пересекающим o
прямым l
и l
, отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты () и (), отвечают дуальные числа
и
.
Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o
, условимся относить противопараллельной o
прямой m
, отстоящей от o
на расстоянии {o
,
m
}=d
, число
(заметим, что если расстояние {o
,
m
} от o
до параллельной o
прямой m
, совпадающей по положению на плоскости с прямой m
, равно d
, то d
=-
d
). Прямой o
, отличающейся только направлением от полярной оси o
(противооси), мы сопоставим число .
Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w
, где w
0 вещественно, и число .
Очевидно, что вещественным числам отвечают проходящие через полюс O
прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o
прямые; чисто мнимым числам v
(числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w
отвечают параллельные и противопараллельные оси o
прямые. Сопряжённым числам и отвечают прямые симметричные относительно полюса O
; противоположным числам и – прямые, симметричные относительно полярной оси o
(т.е. прямые, пересекающие o
в одной и той же точке L
и образующие сo
равные углы {o
,
z
}={-
z
,
o
}; см. рис. 2, б); числам z
и отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства
(а), (б), (в) (21)
можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O
, симметрии относительно прямой o
и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).
Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).
Параллельный перенос вдоль o
на расстояние t
переводит прямую, которой отвечает дуальное число
,
в прямую, которой отвечает число
(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:
, где , (22)
(т.к. ).
Параллельный перенос на расстояние t
в направлении, перпендикулярном o
, переводит прямую
в прямую
(рис. 3, б). Но
.
Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что
;
таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой
, где , . (22, а)
Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t
в направлении o
и на расстояние t
в направлении lo
, записывается формулой
, , ,
или, если ввести обозначение (т.е. ) и воспользоваться тем, что , , , формулой
, (23)
где , , , .
Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O
на угол переводит прямую в прямую , где (рис. 4). Таким образом,
(24)
(здесь используется то, что если z
иz
–
дуальные числа, то , и ). Далее, если d
иd
′– расстояния прямых z
иz
′ отполюса , то
поэтому
.
С другой стороны, поскольку , то
. (24а)
Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой
, (25)
где , .
Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O
на некоторый угол , причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):
.
В другом виде это преобразование можно записать так:
, (26а)
где , .
Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o
, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O
и параллельным переносом):
. (26б)
Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):
, (26в)
где , , или
, (26г)
где , .
Очевидно, что ориентированный угол {} между прямыми и равен (рис. 5, а)
Это можно записать так:
.
Полученный результат можно также представить в сл
. (27)
Найдём теперь ориентированное расстояние d
={[],[]} между точками [] и [] пересечения определённой прямой с двумя другими прямыми и (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d
между точками пересечения прямой o
с прямыми и равно
.
Пример движения, переводящего данную прямую в прямую o
, даётся формулой
;
это движение переводит прямые и в прямые и . Отсюда получаем
.(28)
Условием того, что прямые , и пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения и с , т.е., в силу формулы (28), вещественность отношения .
Это условие можно переписать ещё так:
. (29)
Следовательно, “уравнение точки”, т.е. условие, которому удовлетворяют прямые , проходящие через одну точку [], имеет вид
,
или
, A
– чисто мнимое (30)
(здесь , ).
Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки , , и принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l
, ориентированное расстояние {O
,
l
} которых от данной точки O
(центра окружности) имеет фиксированное значение r
. Число r
называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния {O
,
l
} от точки O
до прямой l
следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Можно показать, что четыре ориентированные прямые , , и в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если
{[],[]}{[],[]}={[],[]}{[],[]}. (31)
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные , , и ориентированной окружности S
, касающиеся S
соответственно в точках M
,N
,P
иQ
; точки [], [], [] и [] обозначены через A
, B
, C
иD
. При этом, очевидно, имеем
{A
,B
}{C
,D
}={A
,P
}{P
,B
}{C
,Q
}{Q
,D
}
и
{D
,A
}{B
,C
}={D
,M
}{M
,A
}{B
,N
}{N
,C
}
В силу известного свойства касательных к окружности
{A
,P
}={M
,A
}, {P
,B
}={B
,N
}, {C
,Q
}={N
,C
}, {Q
,D
}={D
,M
},
значит, во всех случаях выполняется условие (31)
{A
,B
}{C
,D
}={D
,A
}{B
,C
}.
Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.
Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:
,
или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,
.
Но
и
(т.к. и )
Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:
. (32)
Дуальное число естественно называть двойным отношением четырёх прямых , , и ; обозначать его будем символом W
(,,,). Таким образом, условием того, что четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W
(,,,)= этих четырёх прямых.
Последнему условию можно придать вид:
=, (33)
откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми , , и , имеет вид
=. (34)
Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):
, A
иC
– чисто мнимые. (35)
Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).
Прямую уравнение (35) выражает при
. (36)
2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского
В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o
ориентированной прямой l
, имеющей полярные координаты , s
, двойное число
, (37)
а расходящейся с o
прямой m
, направленной в ту же сторону, что и o
от их общего перпендикуляра PQ
, – число
, (37а)
где d
={m
,o
}={P
,Q
} – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m
и o
, т.е. ориентированное расстояние от o
проекции P
на прямую m
общего перпендикуляра прямых m
и o
, s
’={O
,Q
} – ориентированное расстояние от полюса O
системы координат до проекции Q
общего перпендикуляра на o
(рис. 6).
Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o
прямым l
и l
, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа
и
,
то прямой m
, отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o
прямой m
, сопоставим число
. (37б)
Прямые, параллельные оси o
, можно рассматривать как предельный случай пересекающих o
прямых, отвечающий равенству нулю угла , или как предельный случай расходящихся с o
прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d
.
Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o
прямым, направленным в ту же сторону, что и o
, делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o
в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или , а соотношение – равенству или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p
={O
,l
} от полюса O
до пересекающей o
прямой l
(рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения
. (38)
Поэтому двум параллельным o
прямым n
иn
'
, удалённым от O
на расстояние {O
, n
}={O
, n
'
}=p
, надо отнести числа (где ), для которых , т.е. числа
и .
Наконец, исходя из соотношения , связывающего двойные числа z
и z
, отвечающие пересекающим ось o
или расходящимся с o
прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o
прямым n
и n
(т.е. прямым, параллельным o
и противоположно направленным), удалённым от O
на расстояние {O
, n
}={O
,n
}=p
, числа
и ,
где и – числа, обратные делителям нуля: , (если n
и n
– две прямые, отличающиеся только направлением, то p
=
{O
, n
}=–{O
, n
}=–p
). Полярной оси o
и противооси o
(т.е. прямой, отличающейся от o
только направлением) сопоставим числа 0 и ∞.
Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z
, что (т.к. и ни при каком d
).
Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.
Такая прямая k
, не параллельная o
(т.е. отличная от касательных к в точках пересечения с o
), характеризуется тем, что d
={k
,o
}=; при этом следует считать, что d
=, если отвечающая k
бесконечно удалённая точка S
плоскости Лобачевского расположена справа от o
, и d
=– в противном случае. Общим перпендикуляром k
и o
естественно считать прямую SQ
, перпендикулярную o
; при этом величина s
'=
{O
,Q
} может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу , такому, что , можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k
. Бесконечно удалённым прямым i
и i
, параллельным o
(рис. 7), сопоставим числа и .
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами , , , и ). При этом прямые l
, пересекающие полярную ось o
, отвечают двойным числам , для которых , т.е. числам, изображаемым на (u
,v
)‑плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m
, расходящиеся с o
и направленные в ту же сторону, что и o
, от общего перпендикуляра o
и m
, отвечают числам z
, для которых , т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o
прямые m
, направленные в противоположную по сравнению с o
сторону от общего перпендикуляра m
и o
, отвечают числам z
, для которых , т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o
прямые n
отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми , а противопараллельные o
прямые n
отвечают числам , (эти числа не имеют изображений на (u
,v
)‑плоскости); бесконечно удалённые прямые k
отвечают таким числам z
, что , т.е. числам, изображаемым точками гиперболы , и ещё двум числам , .
Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения
(а), (б), (в) (21)
выражают симметрию относительно точки O
, симметрию относительно прямой o
и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:
, или , или , или ;
только в качестве переменных z
'
, z
и коэффициентов P
, Q
здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение было положительно (если P
и Q
– дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения и не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол {z
, z
} между прямыми z
и z
и ориентированное расстояние d
={[z
z
],[z
z
]} между точками пересечения прямых z
и z
с прямой z
определяются формулами (27) и (28):
, (27)
. (28)
Из (28) следует, что условием того, что три прямые z
, z
и z
пересекаются в одной точке, является вещественность отношения . Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид
, A
– чисто мнимое. (30)
Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:
а)–в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;
г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;
д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;
е) неориентированную бесконечно удалённую окружность .
При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z
, z
, z
и z
плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:
, A
иC
– чисто мнимые. (35)
Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом) (т.е. сколько решений имеет система , ) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:
цикл (35) является окружностью, если
, (39а)
цикл (35) является предельной линией, если
, , (39б)
является эквидистантой, если
, (39в)
параллельным пучком, если
(39г)
пучком равного наклона, если
(39д)
цикл (35) представляет собой абсолют , если
, (39е)
Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:
. (36)
Заключение
дуальное число модуль сопряженный
В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n
и извлекать из него корень степени n
. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.
Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.
Литература
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. – М.: Физматгиз, 1963
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979
[1]
Это утверждение остаётся в силе и в том случае, когда модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (т. к. если , то и ; так, например, ).
[2]
Нетрудно видеть, что корень целой степени n
>1 из дуального числа , модуль которого равен нулю (из числа, являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.
[3]
В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом
Arg
{r
(sh
j
+ech
j
)}=j
-i.
Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда
z
=|z|
[ch
(Arg z
)+esh
(Arg z
)]