Содержание
1. Введение
2. Теоретическая часть
а) Основные понятия теории графов
б) Понятия смежности, инцидентности, степени
в) Маршруты и пути
г) Матрицы смежности и инцедентности
3. Алгоритм http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//www.fos.ru/matemat/9228.html&text=%CF%EE%E8%F1%EA+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE+%EF%F3%F2%E8+%E2+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC+%E3%F0%E0%F4%E5+%2C+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2&reqtext=%28%CF%EE%E8%F1%EA%3A%3A783+%26+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE%3A%3A22975+%26%26/%28-3+3%29+%EF%F3%F2%E8%3A%3A5309+%26+%E2%3A%3A0+%26+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC%3A%3A42191+%26+%E3%F0%E0%F4%E5%3A%3A31618+%26%26/%28-3+3%29+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2%3A%3A6724%29//6&dsn=530&d=2003257 - YANDEX_28поиска минимального пути из в в http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//www.fos.ru/matemat/9228.html&text=%CF%EE%E8%F1%EA+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE+%EF%F3%F2%E8+%E2+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC+%E3%F0%E0%F4%E5+%2C+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2&reqtext=%28%CF%EE%E8%F1%EA%3A%3A783+%26+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE%3A%3A22975+%26%26/%28-3+3%29+%EF%F3%F2%E8%3A%3A5309+%26+%E2%3A%3A0+%26+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC%3A%3A42191+%26+%E3%F0%E0%F4%E5%3A%3A31618+%26%26/%28-3+3%29+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2%3A%3A6724%29//6&dsn=530&d=2003257 - YANDEX_31ориентированном орграфе (алгоритм фронта волны)
4. Листинг программы
5. Примеры выполнения программы
6. Использованная литература
Введение
Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.
Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.
Благодаря своему широкому применению, теория о нахождении кратчайших путей в последнее время интенсивно развивается.
Нахождение кратчайшего пути - жизненно необходимо и используется практически везде, начиная от нахождения оптимального маршрута между двумя объектами на местности (напр. кратчайший путь от дома до академии),также используется в системах автопилота, используется для нахождения оптимального маршрута при перевозках коммутации информационного пакета Internet и мн. др.
Кратчайший путь рассматривается при помощи графов.
Цель курсовой работы:
Разработать программу поиска оптимального пути в ненагруженном ориентированном графе на любом языке программирования.
Теоретическая часть:
а) Основные понятия теории графов
Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы. Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки − вершины графа − города, линии, соединяющие вершины − ребра − дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).
Рис. 1.
Формальное определение графа таково. Пусть задано конечное множество V, состоящее из n элементов, называемых вершинами графа, и подмножество X декартова произведения V×V, то есть , называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом D называется совокупность (V,X). Неориентированным графом G называется совокупность множества V и множества ребер − неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству V.
Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;
Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.
Рис.2.
Например, кратность ребра {v1,v2} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v3,v4} − трем.
Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.
Мультиграф − псевдограф без петель.
Граф − мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.
Граф называется ориентированным, если пары (v,w) являются упорядоченными.
Ребра ориентированного графа называются дугами.
Итак, используемые далее обозначения:
V – множество вершин;
X – множество ребер или дуг;
v (или vi)– вершина или номер вершины;
G, G0 - неориентированный граф;
D, D0 – ориентированный;
{v,w} − ребра неориентированного графа;
{v,v} – обозначение петли;
(v,w) − дуги в ориентированном графе;
v,w - вершины, x,y,z – дуги и ребра;
n(G), n(D) количество вершин графа;
m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.
Примеры
1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v1, v2, v3, v4},
X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.
Рис. 3.
2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v1, v2, v3, v4, v5},
X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.
Рис. 4.
б) Понятия смежности, инцидентности, степени
Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребер.
Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w – конец дуги.
Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, если v является концом ребра x (началом или концом дуги x ).
Вершины v, w называются смежными, если {v,w}ÎX.
Степенью вершины v графа G называется число d (v) ребер графа G, инцидентных вершине v.
Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей.
Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа D называется число d+(v) (d-(v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).
Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в d+(v), так и в d-(v).
в) Маршруты и пути
Последовательность v1x1v2x2v3...xkvk+1, (где k³1, viÎV, i=1,...,k+1, xiÎX, j=1,...,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для ориентированного графа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).
Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).
г) Матрицы смежности и инцидентности
Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}.
Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица
A(D)=[aij] порядка n, где
Матрица инцидентности − матрица B(D)=[bij] порядка n´m, где
Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[aij] порядка n, где
.
Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[bij] порядка n´m, где
Алгоритм
http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//www.fos.ru/matemat/9228.html&text=%CF%EE%E8%F1%EA+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE+%EF%F3%F2%E8+%E2+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC+%E3%F0%E0%F4%E5+%2C+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2&reqtext=%28%CF%EE%E8%F1%EA%3A%3A783+%26+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE%3A%3A22975+%26%26/%28-3+3%29+%EF%F3%F2%E8%3A%3A5309+%26+%E2%3A%3A0+%26+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC%3A%3A42191+%26+%E3%F0%E0%F4%E5%3A%3A31618+%26%26/%28-3+3%29+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2%3A%3A6724%29//6&dsn=530&d=2003257 - YANDEX_28поиска минимального пути из в в
h
1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW1 (v). Полагаем k=1.
2) Если или k=n-1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.
В противном случае продолжаем:
3) Если , то переходим к шагу 4.
В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина равна k. Последовательность вершин
теория орграф матрица алгоритм
есть этот минимальный путь. Работа завершается.
4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).
Замечания
Множество называется фронтом волны kго уровня.
Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько минимальных путей из в .
Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу
http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//www.fos.ru/matemat/9228.html&text=%CF%EE%E8%F1%EA+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE+%EF%F3%F2%E8+%E2+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC+%E3%F0%E0%F4%E5+%2C+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2&reqtext=%28%CF%EE%E8%F1%EA%3A%3A783+%26+%EC%E8%ED%E8%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E3%EE%3A%3A22975+%26%26/%28-3+3%29+%EF%F3%F2%E8%3A%3A5309+%26+%E2%3A%3A0+%26+%EE%F0%E8%E5%ED%F2%E8%F0%EE%E2%E0%ED%ED%EE%EC%3A%3A42191+%26+%E3%F0%E0%F4%E5%3A%3A31618+%26%26/%28-3+3%29+%F0%E5%F4%E5%F0%E0%F2%3A%3A6724%29//6&dsn=530&d=2003257 - YANDEX_34
минимальных расстояний R(D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю (, i=1,..,n).
Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний (, если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.
Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины можно попасть в вершину за один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины в вершину можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.
Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int N=0,n=0,c=0,i=0,k=0;
cout<<" ----------------------------------------------"<<endl;
cout<<" |Poisk optimalnogo puti v nenagrujennom orgrafe|"<<endl;
cout<<" ----------------------------------------------"<<endl;
case1:
cout<<"Vvedite chislo vershin v orgrafe: ";
cin>>N;
if(N<=1)
{
cout<<"Kolichestvo vershin doljno bit'>1!!!"<<endl;
goto case1;
}
///МАТРИЦАсмежности::
cout<<"Zapolnite matricu smejnosti (esli puti net,vvedite 0; esli put' est',vvedite 1):";
float** A = new float*[N];
for(i;i<N;i++)
A[i] = new float[N];
for(i=0;i<N;i++)
for(int k=0;k<N;k++)
{
cout<<"V";
printf("%d",i+1);
cout<<"->V";
printf("%d",k+1);
cout<<'=';
scanf("%f", &A[i][k]);
if((A[i][k]!=0)&&(A[i][k]!=1))
{
cout<<"Vvodite tol'ko 0 ili 1!"<<endl;
return 0;
}
if((i==k)&(A[i][k]==1))
{
cout<<"Na glavnoi diagonali doljni bit' nuli!"<<endl;
return 0;
}
}
////Откуда и куда?(Начальная и конечная вершина в графе!!)
case2:
cout<<"Vvedite nachalnuiu vershinu: ";
cin>>n;
if(n>N)
{
cout<<"Net takoi vershini!"<<endl;
goto case2;
}
if(n==0)
{
cout<<"Net takoi vershini!"<<endl;
goto case2;
}
case3:
cout<<"Vvedite konechnuyu vershinu: ";
cin>>c;
if(c>N)
{
cout<<"Net takoi vershini!"<<endl;
goto case3;
}
if(c==0)
{
cout<<"Net takoi vershini!"<<endl;
goto case3;
}
///Массив,где записывается число шагов
int h=1;
float*B= new float[N];
for(i=0;i<N;i++)
{
B[i]=0;
}
//В массиве B[N-1] ищем вершины,которые достжимы из начала пути
//т.е за один шаг
for(k=0;k<N;k++)
{
if(A[n-1][k]==1)
B[k]=1;
}
//Элементы фронта волны
while(h<50)
{
for(i=0;i<N;i++)
{
for(k=0;k<N;k++)
{
if((B[i]==h)&&(A[i][k]==1)&&(B[k]==0))
B[k]=h+1;
}
}
h++;
}
B[n-1]=0;
if(B[c-1]!=0)
{
///Выводнаэкрантаблицу
cout<<"nTablica stoimosti minimalnogo puti:"<<endl;
for(i=0;i<N;i++)
{
printf("%f ",B[i]);
}
//Поискобратногопути
cout<<"nnOptimal'nii put'(v obratnom poryadke):n"<<"V";
printf("%d",c);
h=c-1;
int b=B[c-1];
while(b>0)
{
for(i=0;i<N;i++)
if((A[i][h]==1)&&(B[i]==B[h]-1))
{
cout<<"V";
printf("%d",i+1);
h=i;
b--;
}
}
cout<<"n";
}
else
{
cout<<"nPuti net!n";
}
delete A,B;return 0;
}
Примеры выполнения программы:
1.
2.
3.
Использованная литература:
1. «Теория графов». Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика». Сост.: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов. - Уфа, 2005 -37 с.
2. Курс лекций по дискретной математике Житникова В.П.
3. «Самоучитель С++», Перевод с англ. –3 изд.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005 – 688 с.
4. «Дискретная математика для программистов», Ф.А.Новиков.
5. «Введение в дискретную математику», Яблонский.
6. «Курс дискретной математики», Неферов, Осипова.
7. «Информатика» Л.З.Шауцукова.