Содержание
Введение
1. Нелокальная граничная задача Ι рода
2. Нелокальная граничная задача II рода
Литература
уравнение спектральный нелокальный дифференциальный
Введение
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].
Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.
Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения
(0.1)
он поставил следующую задачу: пусть область, ограниченная при гладкой кривой с концами в точках и оси а при характеристиками уравнения (0.1). Требуется найти функцию (отрезок оси ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в и принимающую заданные значения на Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения в гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.
М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение
(0.2)
Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.
Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .
В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.
Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:
Рассмотрим вырождающееся уравнение
(0.3)
где в прямоугольной области
заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
; (0.4)
; (0.5)
(0.6)
(0.7)
где и заданные достаточно гладкие функции, причём
Для того же уравнения исследована и следующая задача:
Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
(0.8)
; (0.9)
(0.10)
(0.11)
где и – заданные достаточно гладкие функции, причём
, ,
Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.
1. Нелокальная граничная задача Ι рода
Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа
(1)
где в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
; (2)
; (3)
(4)
(5)
где и заданные достаточно гладкие функции, причём
Пусть решение задачи (2) Рассмотрим функции
(6)
(7)
(8)
Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение
(9)
с граничными условиями
, (10)
(11)
Общее решение уравнения (9) имеет вид
где и функции Бесселя первого и второго рода соответственно,модифицированные функции Бесселя, и произвольные постоянные,
Подберём постоянные и так, чтобы выполнялись равенства
(13)
Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя
и модифицированных функций Бесселя
в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при и любых и , а второе равенство выполнено при
Подставим полученные выражения для постоянных и в (12), тогда функции примут вид
Отметим, что для функций (14) выполнено равенство
Отсюда и из равенств (13) вытекает, что является продолжением решения на промежуток и,наоборот, является продолжением решения на промежуток . Следовательно, функции (14) принадлежат классу и удовлетворяет уравнению (9) всюду на . Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения и :
(15)
Если определитель системы (15):
(16)
то данная система имеет единственное решение
(17)
. (18)
С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций
(19)
Где
(20)
(21)
(22)
(23)
Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции , получим однородное дифференциальное уравнение
(24)
с граничными условиями
(25)
Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид
(26)
Аналогично для функции получаем неоднородное уравнение
(27)
с граничными условиями
(28)
(29)
Общее решение уравнения (27) имеет вид
Равенства будут выполняться при следующих значениях постоянных
,
при любых и Подставим выражения для постоянных и в (30), тогда функции примут вид
(31)
Для нахождения и на основании (28) и (29) получим систем
(32)
Если выполнено условие (16), то и определяются по формулам:
(33)
, (34)
Найденные значения и по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции будут однозначно построены в явном виде:
(35)
Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)так как если на , то , для на Тогда из (6) имеем:
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве следует, что функция почти всюду на при любом .
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение задачи (2)то оно единственно только тогда, когда при всех
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых и нарушено условие (16), т. е. Тогда однородная задача (2) (где имеет нетривиальное решение
Выражение для на основании следующих формул
приводим к виду
Поскольку при любом и
где и положительные постоянные, то функция
где в силу теоремы Хилби имеет счётное множество положительных нулей.
Следовательно, при некоторых может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование и таких, что при любом и больших справедлива оценка
Представим (16) в следующем виде
(36)
где
Как известно функция строго убывает, функция строго возрастающая по , поэтому величина
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при больших . Поэтому рассмотрим только выражение
Используя асимптотическую формулу функции при
Получаем
Где
Отсюда видно, что если, например,где то при
Тем самым справедлива следующая
Лемма 1. Существует и постоянная такие, что при всех и больших справедлива оценка
(37)
Рассмотрим следующие отношения:
,
Лемма 2. При любом для достаточно больших n справедливы оценки:
;
;
где , здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.
Доказательство. С учётом (36) функция примет вид
Оценим функцию при и больших :
.
На основании поведений функций в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим
(38)
где здесь и далее произвольные постоянные.
При 0 и n>>1 в силу асимптотических формул имеем
(39)
Сравнивая (38) и (39) при любом получим
Далее вычислим производную
Оценим эту функцию при и больших :
(41)
При и больших фиксированных имеем
(42)
Из оценок (41) и (42) следует, что при всех
Вторую производную функции вычислим следующим образом:
Используя формулы ([1], стр. 90)
Получаем
Зная оценку (40) для из последнего равенства при всех имеем
Функция с учётом (36) примет вид:
.
Оценим её, используя лемму 1 при 0 и больших n:
(43)
При и больших фиксированных :
(44)
Из оценок (43) и (44) имеем:
(45)
Вычислим производную :
.
Оценим функцию при и :
(46)
При и имеем:
(47)
Сравнивая (46) и (47) при всех , получим
Теперь вычислим вторую производную функции
Используя формулы
Получим
Отсюда на основании оценки (45) будем иметь
(48)
Аналогично получаем оценку для функции и :
Лемма 3. При любом для достаточно больших справедливы оценки:
Доказательство. Используя и функцию , определяемую формулой (19), представим в следующем виде:
(49)
Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций и Аналогичные оценки справедливы и для функций и Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть то справедливы оценки:
(50)
При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на условию Гёльдера с показателем
Теорема 2. Пусть и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом
(51)
где функции , определены соответственно по формулам (26), (35), (19).
Доказательство. Поскольку системы функций
образуют базис Рисса, то если , тогда функцию можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом из мажорируется сходящимся рядом
поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция непрерывна на как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в мажорируются также сходящимся числовым рядом
Поэтому сумма ряда (51) принадлежит пространству и удовлетворяет уравнению (1) в . Следствие 1. Построенное решение задачи (2)-(5) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.
2. Нелокальная граничная задача II рода
Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.
Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:
(52)
; (53)
(54)
(55)
где и – заданные достаточно гладкие функции, причём , ,
Пусть решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами
Рассмотрим функции
, (56) (57)
(58)
Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение
(59)
с граничными условиями
(60)
(61)
Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде
(62)
C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции однородное дифференциальное уравнение
(63)
с граничными условиями
(64)
Решение задачи (63) и (64) имеет вид
(65)
Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции
(66)
с граничными условиями
, (67)
. (68)
Решение этой задачи определяется по формуле
(69)
Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если на то , , для на Тогда из (56)-(58) имеем:
, ,
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве следует, что функция почти всюду на при любом .
Теорема 3. Если существует решение задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых и нарушено условие (16), т. е. . Тогда однородная задача (52)-(55) (где ) имеет нетривиальное решение
Теорема 4. Если , и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда
где функции , определены соответственно по формулам (65), (62), (69).
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие 2. Построенное решение задачи (52)-(55) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.
Литература
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.М.: Наука, 1966. Т.
2. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ,
3. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.
4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /
А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.– 448 с.
5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.
6. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.
7. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.
8. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. – С.172 с.
9. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. – М.: МГУ, 1988. – 150 с.
10. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. – С. 176 – 184 с.
11. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой – полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. – 1996. – Т. 32, №4. – С. 565 – 567 с.
12. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова – Уфа.: Гилем, 2006. – 150 с.
13. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа – М.С. Салахитдинов. – Ташкент: Фан, 1974. – 156 с.
14. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.
15. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. – 1956. – Т. 20. – №2. – с. 196 –202 с.