Содержание
Введение
§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле
§2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение
§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость
§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле
§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле
5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12
§6. Обобщенная гипотеза Римана
Библиографический список
Введение
Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.
В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.
Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.
В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.
В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия».
§1. Характеры Дирихле и
L
-функции Дирихле
Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.
Пусть k=ра
, где р> 2 — простое число, α≥1. Как известно, по модулю kсуществуют первообразные корни, и пусть g— наименьший из них. Через indnбудем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю kпри основании g, т. е. число γ = γ(п) = indnтакое, что
(modk).
Определение 1.1. Характером по модулю k= ра
, р>2 — простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что
где т — целое число.
Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом φ(k), т. е. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, ..., φ(k) - 1.
Пусть теперь k= 2α
, α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ0
= γ0
(п) и γ1
= γ1
(n) по модулю k, т. е. такие числа γ0
и γ1
, что
Таким образом, числа γ0
и γ1
определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2α-2
.
Определение 1.2. Характером по модулю к = 2α
, α≥1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:
Где m0
, m1
целые числа.
Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т0
и m1
является периодической по m0
и m1
, с периодами соответственно 2 и 2α-2
т. е. существует, вообще говоря, φ(k), =< φ(kα
) характеров по модулю k= 2α
, которые получаются, если брать m0
, равным 0, 1, а m1
равным 0, 1, ..., 2α-2
- 1.
Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ (п):
1. по модулю k— периодическая с периодом k функция, т. е.
;
2. —мультипликативная функция, т. е.
Очевидно также, что
χ(1) = 1.
L-ряды Дирихле — функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.
Пусть k— натуральное число и χ — какой-либо характер по модулю k.
Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:
Ввиду того, что|χ(n)|≤1, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости Res>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).
Лемма 1.1. При Res > 1 справедливо равенство
Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию
Так как Res > 1, то
следовательно,
(воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,
где σ=Res>l. Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.
Из (1) находим
т. е. L(s, χ)≠0 при Res>l. Если характер χ по модулю kявляется главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).
Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ 0
(n) по модулю k. Тогда при Res> 1
Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ0
(n).
Следствие. L(s, χ) — аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным
Если характер χ(n) является производным, aχ1
(n) — примитивный характер по модулю k1
, kt
k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ1
).
Лемма 1.3. Пусть χ1
— примитивный характер по модулю k1
и χ — индуцированный χ1
производный характер по модулю k, kt
≠ k. Тогда при Res> 1
Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ1
и χ.
Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Res> 1
Лемма 1.4. Пусть χ≠χ0
, тогда при Res>0 справедливо равенство
Где
Доказательство. Пусть N ≥1, Res>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь
Где
Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Res>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Res> 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.
§2. Функция θ(
x
,χ),
её функциональное уравнение
Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=–1
Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).
Лемма 2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством
а для нечетного характера х определим функцию θ1
(x, χ) равенством
Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ1
(x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):
где τ(χ)
Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством
где x > 0, α — вещественное.
Имеем
что доказывает равенство (6).
Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим
Отсюда, как и выше, выводим
Лемма доказана.
§3.
Аналитическое продолжение
L
-функции Дирихле
на комплексную плоскость
Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Res >0.
Лемма 3.1.Пусть χ(n) – неглавный характер по модулю m,
Тогда при Res > 1 справедливо равенство
Доказательство. Пусть N≥1, Res >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь
Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x , то, переходя к пределу N, получим
Что и требовалось доказать.
§4.
Функциональное уравнение для
L
-функции Дирихле. Тривиальные нули
L
-функции Дирихле
Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть χ— примитивный характер по модулю k,
Тогда справедливо равенство
Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).
Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем
Умножая последнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1 получим
Ввиду того, что χ — четный характер, имеем
Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем
Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом sи, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0, то L(s, χ) — регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 — s и χ на , правая часть (10) умножается на , так как χ(— 1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ()= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 0.
Предположим, что χ(—1) = —1. Имеем
Следовательно, при Res > 1
Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 — s и χ на, умножается на iввиду того, что
τ(χ) τ()= —k.
Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.
Следствие. L(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤ 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, —2, —4, ...;
если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) приRes≤ 0 являются полюсы Г т. е. точки s = —1, —3, —5, .. .
дирихле тривиальный вейерштрасс риман
§5. Нетривиальные нули
L
-функции Дирихле
Тривиальные нули L-функции Дирихле
ξ(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы ,т. е. точки s =0, —2. —4, ...; если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы т.е. точки s = —1,-3, -5, .. .
5.1
Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
Теорема 5.1
. Пусть a1
, ..., ап
, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем
0< |a1
| ≤ |a1
| ≤...≤|аn
|<...
И lim= 0.
Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа ап
(если среди ап
есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).
Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a1
, ..., ап
, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд
Тогда функция G1
(s),
удовлетворяет теореме5. 1.
Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде
где H(s) — целая функция, а числа 0, a1
,a2
, ..., а…,-— нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность аn
, п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то
Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1
(s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая
при s≠an
,
видим, что φ(s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = eH
(
s
)
, где H(s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, sn
— последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s1
| ≤ |s2
| ≤ ... ≤|sn
|≤ ... Тогда последовательность sn
имеет конечный показатель сходимости β≤α,
Где p≥0— наименьшее целое число, для которого
g(s)— многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r1
, r2
, ..., rn
, ..., rn
+∞, такая, что
max |G(s)|>, |s| = rn
, n = 1, 2, …,
то α=β и ряд расходится.
5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей
L
-функции Дирихле
Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ— примитивный характер, имеет в полуплоскости Res < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Res≤ 1.
Теорема 5.1. Пусть χ— примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρn
таких, что 0≤Re ρn
≤ 1, ρn
≠0, причем ряд расходится, а ряд
сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).
Доказательство. При Re≥1/2
Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства
справедлива также при Res<l/2; кроме того ξ(0, χ)≠ 0. Поскольку In Г(s) ~ slnsпри s-> +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Res>l, то из
следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Res < 0, т. о. нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ),лежащими в полосе 0≤Res≤l. Теорема доказана.
§6. Обобщенная гипотеза Римана
Функция ζ(s) определена для всех комплексных s≠1 , и имеет нули для отрицательных целых s = —2, —4, —6 .... Из функционального уравнения
,
и явного выражения
при Res >1 следует, что все остальные нули, т.е. нетривиальные, расположены в полосе 0≤Res ≤ 1 симметрично относительно критической линии . Гипотеза Римана утверждает, что:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .
Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть L-функций Дирихле
Библиографический список
1. А.Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.
2. С.М. Воронин, А.А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994. -376с.