Файл
:
FERMA-n3
-
new
© Н. М. Козий, 200
9
Украина, АС № 2
8607
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
А
n
+ В
n
= С
n
(1)
где n
- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
А
n
= С
n
-В
n
(2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3.
В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
A3
= C3
– B3
= (C-B)∙(C2
+ C·B +B2
)
(3)
Обозначим: C – B
=
K
(4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K
(5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
A3
= K[C2
+ C∙(C-K) + (C-K)2
] =3K·C2
-3K2
∙C +K3
(6)
Отсюда:3K·C2
-3K2
∙C
– (
A3
– K3
) = 0
(7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А
и К
и переменной величиной С
.Решая его, получим:
C =
(8)
Число C
будет целым только при условии, если:
=3N∙K2
(9)
Отсюда: 12K∙A3
– 3K4
= 9N2
·K4
A3
= K3
∙
(10)
A = K
(11)
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A
могло быть целым числом, число N
должно быть нечетным числом.
Из анализа формулы (10) также следует, что если A
– целое число, то должно быть:
A3
= K3
∙ Y3
,
(12)
где: Y3
=
(13)
Отсюда: A = K∙ Y
=
K
(14)
Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:
Sn
= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1)
(15)
По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:
SN
= 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1),
(16)
где: N-
нечетное число, входящее в уравнение (14).
Тогда: SN
= 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} =
(17)
Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):
Y3
= 1 + 6∙SN
(18)
Из уравнения (18) следует, что все числа Y3
нечетные.
Из уравнений (17) и (18) получим:
Y3
= 1 + 6∙
=
,
т.е. получили уравнение (13). (19)
т.е. получили уравнение (13).
Из уравнения (19) следует: Y =
(20)
Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:
Y3
= 1 + 6∙
=
1 + 6∙SN
(21)
Из уравнения (21) следует: SN
=
(22)
Полагаем, что
Y
- целое число
. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN
была целым числом, число Y
должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y
,
определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы SN
:
Y
=
3,
SN
= 4,333…;
Y
=
5,
SN
= 20,666…;
Y
=
7
SN
1
= 57;
Y
=
9,
SN
= 121,333…; Y
=
11,
SN
= 221,666…;
Y
=
13
,
SN
2
= 366;
Y
=
15,
SN
=562,333…;
Y
=
17,
SN
= 818,666…;
Y
=
19,
SN
3
= 1143;
Y
=
21,
SN
=1543,333…;
Y
=
23,
SN
= 2027,666…;
Y
=
25,
SN
4
= 2604.
Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y
, для которых сумма SN
– дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y
в соответствии с формулами (13), (17) и (19)не существует целого числаN
,
т. е.:
N
=
- дробное число. (23)
Есть также такие значения числа Y
, для которых сумма SN
– целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:
Y
=
7
=1 +
6∙1
; Y
=
13
=1 +
6∙
2; Y
=
19
=1 +
6∙
3; Y
=
25
=1 +
6∙
4.
Отсюда следует, что для чисел:
Y
=
1 +
6∙
m,
где: m =1, 2, 3,…
,
сумма SN
– целое число.
Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:
N=
(24)
Подставляя ранее полученные значения целых чиселSN
, получим:
N=
= 21
,377…
N= = 54,120…
N= = 95,629…
N= = 144,336…
Отсюда следует, что и при целых числах SN
числоN
-
дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN
1
,
SN2
,
SN3
,
SN4
на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:
SN1
=57 ≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
p
;
SN2
=
366
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
r;
SN3
=
1143
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
s
;
SN4
=
2604
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
t.
Следовательно, в соответствии сформулами (19), (20) и (23) если N
-
целое число, тоY -
дробное число. И, наоборот, если Y
-
целое число,то N -
дробное число.
Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1
числоY
всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A
– также всегда дробное число.
При N
=
1
из уравнения (14) следует A
=
K
, а из уравнения (8): С=А=К.
В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.
Автор Козий Николай Михайлович
,
инженер-механик
E-mail: nik_krm@mail.ru