РефератыМатематикаОбОбщий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени


Валентин Подвысоцкий


Уравнение:





X4 + TX2 + PX + Q = 0


(1)



имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.


Известно, что:





X1 + X2 + X3 + X4 = 0,


(2)






X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,


(3)






X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,


(4)






X1X2X3X4 = Q.


(5)



Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:





X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,


(6)






(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P.


(7)



Составляем квадратное уравнение:





Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,


(8)



где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.


Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:


Y2 – (T + A)Y + Q = 0.


Решая уравнение (8) получаем:





X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),


(9)






X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A

]2 – 4Q)1/2).


(10)



Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:





X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.


(11)



Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:





X1X2 – X3X4 = Р/А1/2.


(12)



Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем





P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.


(13)



Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:





A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0.


(14)



Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:





X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,


(15)






X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.


(16)



Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:





X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,


(17)






X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.


(18)



Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Слов:541
Символов:4066
Размер:7.94 Кб.