Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
(5.1)
де Pi(x), i =1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок
y=y(x), який задовільняє початковим умовам .
Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним
(5.2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
(5.3)
Властивості оператора L :
a) L (xy)=k *L (y), k = const;
b) L ()=L () + L ();
c) L.
Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x), L (y) = 0 .
Означення 5.1.
Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (5.2)
L (y(x)) 0).
Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .
Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (5.4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння (5.5)
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.
Означення 5.2
Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).
Приклад 5.1.
Показати справедливість формул , . (5.6)
Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.
Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (5.7)
Приведемо формули для обчислення похідної :
а) ; (5.8)
Дійсно
б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула
; (5.9)
в) Використовуючи (5.9) можна показати , (5.10)
де - поліноми степеня n ;
г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула
. (5.11)
Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).
Означення 5.3.
Комплексна функція y (x) = (x) + i(x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо
L (y(x)) 0, a < x < b.
Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x).
Дійсно L (y(x)) = L ((x) + i(x)) = L((x)) + iL((x)) = 0 .
Звідки L((x)) = 0, L((x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).
а) Якщо (x) – розв’язок , тобто L() 0, то y=c(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5.5)
L(с) = сL() = 0.
б) Якщо (x), (x) - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то
у= (x)+(x) теж розв’язок . Дійсно L (+) = L ()+L () = 0.
в) Якщо (x), (x), ... , ) - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком
L= 0.
Приклад 5.2.
Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.
, =cos(x), =sin(x) - розв’язки, тоді y = ccos(x)+csin(x) - розв’язок .
3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.
Означення 5.4.
Функції (x), (x), ... , називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду
(x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , (5.13)
де , ... , - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), ... , називають лінійно залежними на (a,b).
Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b).
Зауваження 5.1.
Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.
Приклад 5.3.
Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення
+x + ... +x=0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.
Приклад 5.4.
Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з =.
Приклад 5.5.
Функції =sinx , =cosx , =1 – лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення
sinx + cosx – 1 = 0 .
Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .
Теорема 5.1.
Якщо функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут
W (x) = (5.14)
Доведення.
Згідно умови теореми
(x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , де не всі одночасно рівні нулю . Нехай , тоді
(5.15)
Диференціюємо (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14)
W (x) =(5.16)
Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже
W (x) 0 , a < x < b. Теорема доведена.
Нехай кожна з функцій (x), (x), ... , - розв’язок диференціального рівняння (5.5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих
розв’язків даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою .
Теорема 5.2.
Якщо функції (x), (x), ... , - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b)
Доведення.
Припустимо протилежне , що в точці (a,b). Складемо систему рівнянь
(5.17)
Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок
. Розглянемо функцію y =, (5.18)
яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).
Система (5.17) показує , що в точці розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.
З теорем 5.1. і 5.2. випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5):
а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними , то на (a,b).
Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2. функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1. на (a,b);
б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b) , то на (a,b) .
Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) на (a,b) , в тому числі і в точці (a,b) , що протирічить умові.
Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) .
4. Формула Остроградського – Ліувілля.
Ця формула має вигляд (5.19)
Доведення .
Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну
+ + .
Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі nстрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо = ,
Звідки маємо формулу (5.19) .
5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.
Означення 5.5.
Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .
З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .
Теорема 5.3.
(про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.
Доведення .
Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :
з початковими умовами ;
------------- // --------------- ;
... ------------- // --------------- ... ... ... ....
------------- // --------------- .
Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .
Теорема доведена .
З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.
Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .
Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту .
6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.
Теорема 5.4.
Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5) , то формула
y = , (5.20) де , , ... , - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,
, , ... , (5.21) , тобто в області визначення
диференціального рівняння (5.5).
Доведення.
Якщо (x), (x), ... , - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок .
Систему (5.22) можна розв’язати відносно , , ... ,
в області (5.21) , так як . Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) .
Теорема доведена .
Для знаходження частинного розв’язку такого , що (5.23)
необхідно все підставити в (5.22) і визначити , i=1,2,…,n .
Тоді - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці , то , тобто
(5.24) загальний розв’язок в формі Коші .
Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 5.1.
Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.
Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо nперших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як
, a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто =. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)
= 0
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною
, або (5.25)
Тоді
і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .