РефератыМатематикаСеСемейства решений с постоянной четной частью

Семейства решений с постоянной четной частью

Министерство образования Республики Беларусь


Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины






Курсовая работа




"Семейства решений с постоянной четной частью"




















Гомель, 2005


Реферат


В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.


В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.


Библиография – 5 названий.


Содержание


Введение


1. Определение и свойства отражающей функции


2. Простейшая система


3. Система чет-нечет


4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть


5. Семейства решений с постоянной четной частью


Заключение


Литература


Введение


Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».


При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.


В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.


Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.


1. Определение и свойства отражающей функции


Рассмотрим систему



, (1.1)


считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения


Пусть


.



Определение:
Отражающей функцией системы (1.1)
назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой (*)
или формулами .


Для отражающей функции справедливы свойства:


1). Для любого решения , системы верно тождество


; (1.2)


2). Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:


; (1.3)


3). Дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных


(1.4)


и начальному условию


. (
1.5)


Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.


► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*)
. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы (1.1), и следуют тождества (1.3).


Приступим к доказательству свойства 3). Пусть – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество



из которого в силу произвольности решения следует, что – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.


Пусть некоторая функция удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.


Основная лемма.
Пусть правая часть системы (1.1) – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле


,


и поэтому решение системы (1.1) будет – периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы


(1.6)


В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция – периодична и нечетна по , т. е. и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы (1.1) будет – периодическим и четным по .


Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы (1.1) будет – периодическим. Четность произвольного решения системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.



2. Простейшая система


Простейшей называют систему вида



(2.1),



где
отраж

ающая функция этой системы.


Теорема:
Пусть (2.2)
простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).


Если система простейшая,


;


.



Замечание.
Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.


3. Система чет-нечет


Рассмотрим систему


(3.1)


Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:


а.)
Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;


б.)
Правая часть системы (3.1) – периодична по .


Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а)
. и б).
Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет – периодическим тогда и только тогда, когда


,


где – есть нечетная часть решения .


Пусть – – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.


Пусть – решение системы (3.1), для которого . Тогда , и поэтому . Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – – периодическое.


Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части. Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:


(3.2)


Так как решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2) на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество


(3.3)


Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:


;


.


Таким образом, вектор-функция


(3.4)


Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка


: ;



При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.


4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть



1
.


Найдем решение:


;


;










Таким образом:


Сделаем проверку:


;


Четная часть общего решения:


2
.


Найдем решение:










Таким образом:


Сделаем проверку: ;


;, четная часть общего решения



3

.


Найдем решение:









.


Сделаем проверку:








Таким образом: Четная часть общего решения



Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:



где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.




(4.1)


Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.


5. Семейства решений с постоянной четной частью


Рассмотрим систему


(5.1)


Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда не будет зависеть от .


Рассмотрим уравнение . Его решение


.


Возьмем отражающую функцию системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:


(5.2)


Если четная часть будет представлена константой, то


. (5.3)


Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (
5.1), имеем:


.


Воспользуемся соотношением (1.4)



(5.4)


Таким образом, приходим к теореме:


Теорема: Если система вида (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество




(5.4)


Заключение


Мы исследовали понятие «отражающей функции».


Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.


Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.


На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.


Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.


Литература


1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.


2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.


3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.


4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.


5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Семейства решений с постоянной четной частью

Слов:1553
Символов:13330
Размер:26.04 Кб.