Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.
1) ;
2)
3)
А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1) ;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
, .
А4. .
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1
.
Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .
Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1
.
Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым.▲
Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на
: для всех и .
Предложение1
.
Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;
2. Симметричность: ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:
т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .
Покажем корректность введённых операций:
Пусть , , тогда
▲
Теорема1
.
- коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение:
для и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для .
Так как
Класс является нейтральным по +:
Из равенства тогда .
Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.
умножение:
для и
1.
2.
Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для .
Пусть
Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .▲
Глава 2
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2
.
Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца :
10
- плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲
20
Если - плотный идеал и , то идеал плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲
30
Если и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.
Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 20
- плотный идеал. ▲
40
Если , то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение3
.
Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )
Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .
Введём так же дроби , положив и для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть и тогда
,
, .
Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:
1. Если , то .
Пусть , , тогда .
2. Если и , то . По условию .
Так как - коммутативное полукольцо, то .
. Таким образом, - идеал.
Покажем, что идеал явля
По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20
идеал является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
, .
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение
4
.
Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т.е. для .
Лемма 1.
тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если то и согласованы на . По свойству 30
идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале . Тогда если и , то отсюда в силу плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲
Лемма 2.
Отношение является конгруэнцией на системе .
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что - конгруэнция, нужно показать:
1. отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность: и согласованы на плотном идеале .
Симметричность: пусть , т.е. и согласованы на .
Транзитивность: пусть и , т.е. и согласованы на плотном идеале
и согласованы на плотном идеале . Значит и согласованы на идеале , являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1
Таким образом, - отношение эквивалентности.
2. отношение сохраняет полукольцевые операции.
- Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1
.
- Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1
.▲
Теорема2
.
Если - коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных полукольца )
Доказательство.
- разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2
все тождества выполняющиеся в справедливы и в .
Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения: и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:
пусть , где .
Тогда .
Областью определения является . По определению идеала: то для , а идеал (свойство 30
) то: . Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению
Аналогично .
Тогда:
Таким образом, где . По свойству 30
- плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .
2. Коммутативность.
Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале: .
Доказано ранее, что пусть элементы тогда
Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале .
Таким образом, по Лемме 1.
Наконец сопоставим дробь: с областью определения при которой переходит в .
Предложение2
.
Отображение является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Доказательство:
1. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (1)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (2)
Из (1) и (2) следует, что .
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (3)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (4)
Из (3) и (4) следует, что .
По свойству умножения смежных классов:
для .
Таким образом гомоморфизм.
Пусть , тогда
т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для , так как - плотный идеал, то отсюда - инъективно.
Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в .▲
Глава 3.
Определение5
.
Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал . Если , то элемент назовём классической дробью, полагая для .
Теорема3
.
Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .
Доказательство:
Рассмотрим отображение , т.е. .
1. Докажем, что - отображение: если и , , где , , то .
Имеем
Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов , т.е. и
Тогда , домножим на получим . Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то , отсюда для .
2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .
Пусть , .
для .
Следовательно .
2.2
.
Идеал содержит , покажем, что и согласованы на плотном идеале .
Пусть , . Тогда
для .
Значит .
Таким образом - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .
3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на получим:
т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.
Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .
Так как , то , где - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е. и . Поскольку - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .
Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .▲
Библиографический список
1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.