РефератыМатематикаДлДлина дуги кривой в прямоугольных координатах

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах












Контрольная работа


По дисциплине:


«Высшая математика»



Тема:



«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»




1
. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу


Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:


Пусть функция непрерывна на . Составим для нее определенный интеграл . Пусть для определенности на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией .


Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования на , то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом .



Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен , а верхний может меняться, принимая значения , где . В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть . Если будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.


Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть или
.


Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: , что, в свою очередь, приведет к приращению функции: . Так как , а , то приращение функции определяется выражением:


.


Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:


, где .


Составим отношение . Чтобы получить производную , перейдем в составленном отношении к пределу: . Так как , то при стремлении точка будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: .


Из доказанной теоремы следует, что – это первообразная от , следовательно, определенный интеграл также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.


2
. Формула Ньютона–Лейбница


Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.


Теорема. Если какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула:
.


В предыдущем пункте было показано, что – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции , то .


Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную можно вычислить. Действительно, так как может принимать любые значения между и (п. 1), то пусть . Тогда: . Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, . Значит,


.


Положим теперь, что , тогда


.


Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:


.


Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .


Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.


3
. Замена переменной в определенном интеграле


При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.


Теорема. Если в определенном интеграле , где непрерывна на , сделать замену переменной и при этом:


1) , ;


2) и непрерывны на ;


3) непрерывна на и при изменении от до не выходит за пределы отрезка ,



то
.


Пусть – какая-то первообразная от , тогда . Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: . Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда . В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:


.


У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:


,


что и требовалось доказать.


Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.


4
. Интегрирование по частям в определенном интеграле


Пусть даны функции и , которые непрерывны со своими производными на . Составим их произведение и продифференцируем его:


.


Возьмем от обеих частей полученного равенства опр

еделенные интегралы:


.


Но , , . Следовательно, , откуда: . Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей и .


5
. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.


Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю
.



Итак, пусть кривая линия описывается функцией на отрезке . При этом пусть непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной . Разобьем кривую на частичных дуг точками . Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:


.


Обозначим: , ,…, ,…, . Кроме того, , ,…, ,…, . В таком случае можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому


.


Согласно теореме Лагранжа о среднем


, где ,


следовательно,


.


Отсюда длина ломаной линии равна


.


Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:


.


Данный интеграл существует, поскольку по условию производная непрерывна.


Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть


.


Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):


.


Отсюда следует, что


.


6
. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании


Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение от до приводит к изменению от до . Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке и при этом . Тогда , а . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):


.


В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:



Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле


.


7
. Длина дуги в полярной системе координат


Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией , где . Пусть непрерывна вместе со своей производной на отрезке .


Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: . Но так как , то получаем, что . Иначе говоря, и выражены через параметр , поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):



Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:


.


Обычно данную формулу записывают следующим образом:


.


8
. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений


Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.



Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси между точками и . Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь его любого поперечного сечения плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то . В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то будет непрерывной функцией.


Разобьем отрезок точками на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси . Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: .


Найдем приближенно величину объема -ого слоя . Для этого рассмотрим отрезок , длина которого равна . Возьмем некоторую точку и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если достаточно мало, то слой, соответствующий объему , можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным . Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, . Отсюда следует, что


.


Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция по условию непрерывна, то предел этой суммы при и существует и равен определенному интегралу:


.


Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:


.


9
. Объем тела вращения


Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси . Пусть основанием этой трапеции является отрезок , расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой . В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна .


Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:


.


Если трапеция вращается вокруг оси , то должна быть задана функция на отрезке . В этом случае объем тела вращения равен:


.




Литература



1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.


2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.


3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.


4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Слов:1762
Символов:13575
Размер:26.51 Кб.