Методы решения уравнений в странах древнего мира

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения (“фальфивое правило”)

Уравнение первой степени с одним неизвестным мо­жно привести всегда к виду ах
+ Ь
== с,
в котором а, Ь, с
— целые числа. По правилам арифметических дейст­вий ах
= с
— b,

Если Ь
> с,
то с — b
число отрицательное. Отрицатель­ные числа были египтянам и многим другим более позд­ним народам неизвестны (равноправно с положитель­ными числами их стали употреблять в математике толь­ко в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем урав­нениями первой степени, был изобретен метод лож­ного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизве­стное количество” единиц). Теперь читают немного ме­нее неточно: “ага”.

bqt задача № 24 сборника Ахмеса:

“Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: “Делай как делается”, другими словами: “Делай, как люди делают”.

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7
куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прики­дывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвое­ния первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точ­ного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первона­чального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, склады­вая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение за­канчивается обычным для автора заключением: “Будет хорошо”.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах
== b
.
Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух лож­ных положений. Арабами этот метод был механи­зирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в “Арифме­тику” Магницкого. Магницкий называет способ решения “фальшивым правилом” и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И
. Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце пе­редать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадо­бится в житейской практике, но она решает и вопросы “высшие”, которые встают перед “мудрыми”.

Магницкий пользуется “фальшивым правилом” в форме, какую ему придали арабы, называя его “арифме­тикой двух ошибок” или “методой весов”.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто­рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только за­дачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд за­дач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи со­ставления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким об­разом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х,

другое же меньше, т. е. 10 — х.
Разность между ними 2х.
Отсюда уравнение

(1)

или же

Отсюда х
= 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х
= —2 для Диофанта не существует, так как греческая матема­тика знала только положительные числа.

(2)_

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность ис­комых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести за­дачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттаим”, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.

В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.

Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).

Формула решений квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax2
+ bx = c
умножением всех членов на а и

прибавлением к обеим половинам уравнения :

В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2
. Это даёт:

Индийские математики часто давали задачи в стихах.

Задача о лотосе.

Над озером тихим, с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой.

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос.

Ответ:

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное

В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячеле­тиях до н. э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения вто­рой степени. Вот одна из них.

. “Площади двух своих квадратов я сложил: .Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5”.

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у
в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, ко­торая ему, видимо, была известна, получает:

Подставляя это значение у
в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоя­щее время, автор находит х,
после чего определяет у.
Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвест­ных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким об­разом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его “Арифметики”.

Задача 21. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208”.

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину раз­ности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 —2.

Далее,

х2
+ у2
= (г +
lO)2
+ (10 — г)2
== 2z2
+
200.

Таким образом,

2z2
+ 200 = 208,

откуда

z
= 2; х
= 2 + 10 = 12; у
= 10 — 2 = 8.

Диофантовы уравнения.

Задача Диофанта №80 (Из II книги его “Арифметики”)

Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат,

Решение Диофанта

Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком случае вы­полняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает

s2
+ 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2
.

Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать

квадрат, то есть число (2s + I)2
+ s, равное

4s2
+ 5s + 1 == t2

Положим, что t = 2s — 2; тогда t2
= 4s2
— 8s + 4. Это выражение должно равняться 4s2
+ 5s + 1. Итак, должно быть:

4s2
— 8s + 4 == 4s2
+ 5s + l откуда s=

Значит, задаче удовлетворяют числа:

.

Проверка;

Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то или другое предположение, не давая никакого обоснования.

Вообще содержание 6 книг таково:

В “Арифметике” 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в нее ве­личин и даются решения.

Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к системе

х
— у
= а, х
= b.

Диофант выдвигает “условие формирования”: требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квад­ратом разности их, было квадратом, т. е. 4b
+ а2
= с2
.

В книге II решаются задачи, связанные с неопределен­ными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй.

Диофант применяет различные приемы. Пусть необхо­димо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2
(х, у)
==0. Если у него есть ра­циональное решение (x0
,
y0
),
то Диофант вводит подста­новку

x = x0
+ t,

y = y0
+ kt,

в которой k
рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t,
у которого свободный член f2
( x0
,
у
0
) =
0. Из уравнения получается t1
== 0 (это значение Диофант отбрасывает), t2
— рацио­нальное число. Тогда подстановка дает рациональные х
и у.

В случае, когда задача приводилась к уравнению у2
= ax2
+ bx
+ с,
очевидно рациональное решение x0
= О,y0
=±C
. Подстановка Диофанта выглядит так:

x = t,

y = kt ± c

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у2
== = a2
x2
+ bx
+ с.
Он делал подстановку

x= t,

y = at + k,

после чего х
и у
выражались рационально через параметр k:

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бес­численное множество, причем значения х
и у
могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра”

В книге II есть задачи, решаемые с помощью “двойного неравенства”, т. е. системы

ах
+ b
= и2
,

сх
+ d
== v2
.

Диофант рассматривает случай а
= с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а
: с
=
т2
,
Когда а
== с, Диофант почленным вычитанием одного ра­венства из другого получает и2
—и2
=
b —
d.
Затем раз­ность b
— d
раскладывается на множители b — d
=
п1
и приравнивает и
+ v
= I, и —
v
= п,
после чего нахо­дит

и
= (I + п)/2,
v
= (I -
n)/2, х
- (l2
+ п2
}/
4a
-
{b + d)/2a.

Если задача сводится к системе из двух или трех урав­нений второй степени, то Диофант находит такие рацио­нальные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения сущест­вовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределен­ные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональ­ные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у)
== 0, то можно найти и другие точки. Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы”

Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвер­той степеней от трех и более неизвестных. Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сум­му двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадра­ты должны удовлетворить определенным неравенствам.,

При решении задач Диофант дважды рассматривает урав­нение Пелля ax2
+ 1 = у2
.

Задачи книги VI касаются прямоугольных треуголь­ников с рациональными сторонами. К условию х2
+ у2
== z2
в них добавляются еще условия относительно площа­дей, периметров, сторон треугольников.

В книге VI доказывается, что если уравнение ax2
+ b
== у2
имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им спо­собы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

Неопределённое уравнение x2
+ y2
= z2

Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют “пифагоровыми тройками”, они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид:

Кубические уравнения

Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочи­нении “О шаре и цилиндре” (книга II, предложение 4) свел задачу о рас­сечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы за­данное отношение т : п (т > п),
к нахождению высоты х большего сегмен­та из пропорции

(1)

где а —
радиус шара.

Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а
на две части х
и а
—х
так, чтобы

(а — х) : с = S : х2
, (2)

где с
и S —
заданные отрезок и площадь.

Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные действительные решения), Архи­мед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи “в конце”, однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архи­меда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

Параболы

(3)

и гиперболы

(4)

(здесь положено S = pb).
Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению

x2
(a-x) = Sc (5)

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2
(а
— х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вер­немся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древ­них. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия сущест­вования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 43
/27, то на участке (0, а)
имеются два таких корня;

2) если Sc = 4aз
/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);

3) если Sc > 4aз
/27, то корня нет.

Здесь 4а3
/27 есть максимум х2
(а — х),
достигаемый при х = 2а/3.
В конце письма, предпосланного книге “О коноидах и сфероидах” (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными ко­ноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами — по­лости двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с по­мощью доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, напри­мер: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, прове­денной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид

x2
(a + x)=Sc

Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравне­ния вида х3
+ ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архи­меда, не мог справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных ку­бическим уравнениям, греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку прове­сти полный анализ всех уравнений третьей степени.

Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан но­вый решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифмети­ки. Это произошло в первые века нашей эры.

Литература:

1. “История математики в древности” Э. Кольман.

2. “Решение уравнений в целых числах” Гельфонд.

3. “В мире уравнений” В.А.Никифоровский.

4. “История математики в школе” Г.И.Глейзер.

5. “Рассказы о старой и новой алгебре” И.Депман.

6. “Пифагор: рассказы о математике” Чистаков.

7. “Краткий очерк истории математики” Стройк Д.Я.

8. “Очерки по истории математики” Болгарский Б.В.

9. “История математики” (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.

10. “Энциклопедический словарь юного математика” под редакцией Гнеденко.